高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市興化市四校2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.從7本書中任意選取2本，不同的選法種數(shù)為（）A.84 B.42 C.30 D.21【答案】D【解析】從7本書中任意選取2本，不同的選法種數(shù)為故選：D.2.已知，，且，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】由，得，解得，所以，故選：A.3.由1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是（）A.12 B.16 C.20 D.24【答案】D【解析】由1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有個.故選：D4.已知向量，，共面，則實數(shù)t的值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為，，三向量共面，所以存在實數(shù)，使得，所以，解得，故選：B.5.在空間四邊形中，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題知，.故選：A6.興化千垛景區(qū)以“垛田”特色地貌享譽全球，勤勞智慧的興化人民在湖蕩沼澤地帶開挖網(wǎng)狀深溝或小河的泥土，一方一方使其堆積如垛，成為了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遺產(chǎn)價值的興化垛田奇觀.現(xiàn)一名游客從P處沿河道劃船到Q處，使得路程最短的不同走法有（）種.A.21 B.35 C.70 D.210【答案】B【解析】由圖可知從P處運動到Q處的最短路程是向右運動次、向下運動次，共運動次，則路程最短的不同走法有.故選：B.7.在空間直角坐標系中,若三點,,滿足,則實數(shù)a的值為（）A B.1 C. D.【答案】C【解析】因為，，，所以，，，所以，因為，所以，所以，解得，故選：C8.已知（，），的展開式中含的項的系數(shù)為15，則的展開式中含的項的系數(shù)是（）A.6或7 B.6 C.8或9 D.9【答案】C【解析】因為展開式的通項為（且），展開式的通項為（且），若，且，時，則展開式中含的項為，依題意可得，若，則，不存在這樣的正整數(shù)使得方程成立，故舍去；若，則，不存在這樣的正整數(shù)使得方程成立，故舍去；若，滿足題意，此時，則展開式中含的項的系數(shù)為；若，此時，，則無解，故舍去；若，，則展開式中含的項為，則，解得（負值已舍去），此時，則展開式中含的項的系數(shù)為；若，時，展開式中含的項的系數(shù)為為，顯然為偶數(shù)，由，不存在這樣的正整數(shù)使得方程成立無解，故舍去；綜上可得的展開式中含的項的系數(shù)是或.故選：C二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知空間向量，，，,若存在實數(shù)組和,滿足，，則下列說法正確的是（）A.若，則，，共面B.若，，共面，則C.若，，不共面，則，，D.若，，共面，則【答案】AC【解析】對于A：因為，，所以，因為，所以，所以向量，，共面，故A正確．對于B、D：若，，，則，，共面，令，則，，，可為任意實數(shù)，此時由，，得不到，也得不到，故B、D錯誤；對于C：若，，不共面，由，，則，，，故C正確；故選：AC10.設(shè)平面平面分別為的一個方向向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則所成角為C.若，則與所成角為D.若，則的夾角為【答案】AB【解析】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，因為，所以，又因為直線的夾角的范圍為，則所成角為，故B正確；對于C，如圖，設(shè)點，，分別為平面上的垂足，點為與平面的交點，,，若，則平面與平面的夾角為或，如下圖，即，或，可得，與所成角為，故C錯誤；對于D，若，則的夾角為，或，故D錯誤.故選：AB.11.已知的展開式中存在常數(shù)項，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為B.當取最小值時，展開式的二項式系數(shù)的和為C.當時，展開式中的常數(shù)項為D.當時，展開式中沒有項【答案】BCD【解析】因為展開式的通項，由題知，對于選項A，因為，所以的最小值為，故選項A錯誤，對于選項B，由選項A知當取最小值時，，所以二項式系數(shù)的和為，故選項B正確，對于選項C，當時，，所以常數(shù)項為，故選項C正確，對于選項D，令，得，不符合題意，所以當時，展開式中沒有項，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，則______.【答案】【解析】因為，且，所以.故答案為：13.已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為______.【答案】【解析】由題意可得，設(shè)，則，解得，所以坐標為.故答案為：.14.如圖，線段平面，在平面內(nèi)，，與平面成角，點與點在的同側(cè)，已知，則的長為______.【答案】【解析】設(shè)平面于F，平面，，又與平面成角，，與的夾角為，又平面，平面，，又，，．故答案為：.四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖有A，B兩組電路圖．（1）對于B組電路圖，閉合兩個開關(guān)即可通電方法數(shù)有多少種？（2）若A組電路與B組電路從銜接點M，N處連接，把兩電路串聯(lián)起來，只需閉合三個開關(guān)就可通電的方法數(shù)有多少種？解：（1）對于組電路，可分上、中、下路三類，上路：第一步接通有1種方法，第二步接通有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理，總方法數(shù)為；中路：第一步接通有2種方法，第二步接通有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理，總方法數(shù)為；下路：第一步接通有2種方法，第二步接通有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理，總方法數(shù)為．故所求方法數(shù)有種．（2）對于組，合上一個開關(guān)可使電路通電，可分兩路：從上路接通有2種方法，從下路接通有3種方法，由分類加法計數(shù)原理，總方法數(shù)為；兩組串聯(lián)后要使電路通電，需兩組均通電，組電路通電有5種情況，由（1）知組電路通電有13種情況，所以串聯(lián)后的電路通電有種情況．16.如圖,在空間四邊形中,點為的中點,,設(shè).（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1），.（2）因為，所以，所以，，所以17.話說唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經(jīng)路上，兇險頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結(jié)果用數(shù)值表示）（1）唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯，我們六個隨便站吧．”請問一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請問一共有多少種站法．解：（1）六個人隨便站，即六個人進行全排列，故符合條件的排法共有種．（2）因總共有六個位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有種排法，剩下四個人四個位置，故有種排法，故共有種排法．（3）先將六人分成三組，且這三組人數(shù)分別為1、2、3，并排列，故有種排法，師傅和悟空站在一起共有種排法，八戒站在兩只妖怪中間共有種排法，故共有種排法．18.如圖，在正四棱錐中，，點M，N分別在PA，BD上，且．（1）求證：；（2）求MN與PC所成的角；（3）求證平面PBC，并求直線MN和平面PBC的距離．解：（1）設(shè)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知兩兩互相垂直.以空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系.，則，，，則，.，，所以.（2），設(shè)直線與直線所成角為，則（3），設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，所以平面.到平面的距離即到平面的距離，，所以到平面的距離即到平面的距離為.19.已知函數(shù)，.（1）當時，求的值；（2）若能被整除，求的最小值；（3）若，，且在中，存在連續(xù)三項，，的項的系數(shù)成等差數(shù)列，求和的值.解：（1）因為，，當時，所以；（2）因為，，則又能被整除，所以，又能被整除，所以要能被整除，當為偶數(shù)時