高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故直線的傾斜角.故選：B.2.如圖，在平行六面體中，是的中點，設(shè)，，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為在平行六面體中，是的中點，所以.故選：A.3.若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓經(jīng)過點，，可得線段的中點為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.4.光線從點射出，到軸上的點后，被軸反射到軸上的點，又被軸反射，這時反射線恰好過點，則所在直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，做出如圖的光線路徑，則點關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，則所在直線的方程即為直線方程，由兩點是方程得直線方程為：，整理得：故選：A.5.已知橢圓與直線交于A，B兩點，點滿足，則的值為（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】因為A，B兩點在直線上，故可設(shè)，故，因為，故即，因為A，B兩點在橢圓上，故即，故，等式兩邊同時減去1，整理得到，解得或.而，故，故,故選：A.6.在四邊形中，，將折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.平面平面 D.平面平面【答案】D【解析】對于B，如圖①，因為，所以，又因為，，所以，所以，所以，故B正確；對于A，由B選項知，又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于C，由選項A知，平面，因為平面，所以平面平面，故C正確;對于D，如圖②過點A作，垂足為，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，顯然平面，所以平面與平面不垂直，故D錯誤.故選：D.7.已知直線與圓的交點為、，點是圓上一動點，設(shè)點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，則圓心，，設(shè)，且直線過定點，所以，，，所以.故選：A.8.已知右焦點為F的橢圓E：上的三點A，B，C滿足直線AB過坐標(biāo)原點，若于點F，且，則E的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，因為點平分，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以，故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)橢圓的焦點為、，點在橢圓上，則（）A.焦點、坐標(biāo)為， B.的最大值為7，最小值為1C. D.為直角三角形的頂點有4個【答案】BC【解析】由橢圓，可知，且焦點在軸上，則，焦點坐標(biāo)為0,3，，故A錯誤；由橢圓的性質(zhì)知，的最大值為，最小值為，故B正確；由橢圓的定義知，，故C正確；因為，所以以為直徑的圓與橢圓有4個交點，當(dāng)為直角頂點時，為直角三角形有4個，當(dāng)或垂直軸時，為直角三角形有4個，故為直角三角形的頂點共有8個，故D錯誤.故選：BC.10.已知圓：和圓：的交點為，，直線：與圓交于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的取值范圍是B.圓上存在兩點和，使得C.圓上的點到直線的最大距離為D.若，則【答案】AC【解析】A選項：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為,半徑為，因為直線：與圓交于，兩點，所以圓到直線的距離為，即，解得，所以的取值范圍是，故A正確；B選項：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，根據(jù)兩圓的方程有直線方程為，圓到直線AB的距離為，所以，圓上任意兩點，，，故B錯誤；C選項：圓上的點到直線的距離的最大值為，故C正確；D選項：因為，所以為等邊三角形，圓到直線的距離為，所以，故或，故D錯誤.故選：AC.11.已知正方體的棱長為2，如圖，為棱上的動點，平面，則下列說法正確的是（）A.直線AB與平面所成角的正弦值范圍為B.當(dāng)點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.當(dāng)點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得的截面圖形是等腰梯形D.已知為的中點，當(dāng)?shù)暮妥钚r，則【答案】ACD【解析】對于A選項，以點D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點A2,0,0、、設(shè)點，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；對于B選項，當(dāng)與重合時，連接，在正方體中，平面，平面，，∵四邊形是正方形，則，，平面，平面，平面，，同理可證，，平面，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.分別取棱,,,,,的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；對于C選項，設(shè)平面交棱于點，點，，平面，平面，，即，得，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；對于D選項，將矩形與矩形沿攤平為一個平面，如下圖所示：若最短，則三點共線，，，又，，D選項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】∵方程表示焦點在x軸上的橢圓，∴由，解得：或，∴實數(shù)的取值范圍是.13.如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則______.【答案】【解析】因為二面角的大小為，所以與的夾角為，又因為，所以，所以.14.下列命題①若兩直線與平行，則實數(shù)的值為1.②圓上的動點與定點所連線段的中點的軌跡方程為.③若圓上恰有兩點到點的距離為1，則的取值范圍是.④已知動點在直線上，圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則四邊形面積的最小值為4.正確的是______（請?zhí)钚蛱枺敬鸢浮竣冖邰堋窘馕觥慨?dāng)兩直線與平行，則，解得或，經(jīng)檢驗，或時，兩直線不重合，故實數(shù)的值為1或，故①錯誤；設(shè)Mx,y，則，代入圓的方程可得，故②正確；圓上恰有兩點到點的距離為1，問題轉(zhuǎn)化為以為圓心，半徑為1的圓與圓相交即可，所以，解得，故③正確；因為,所以當(dāng)PC最小時，四邊形面積有最小值，由圓性質(zhì)知，PC的最小值即為圓心到直線的距離，所以四邊形面積的最小值為，故④正確.故答案為：②③④.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.分別求適合下列條件的曲線方程（1）已知圓經(jīng)過三點O0,0，，，求圓的方程；（2）經(jīng)過點，兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）已知橢圓的離心率為，短軸長為，求其標(biāo)準(zhǔn)方程；解：（1）設(shè)圓的方程為，由圓經(jīng)過三點O0,0，，，得，解得，所以圓的方程為.（2）設(shè)橢圓方程為，則有，解得，所以所求橢圓方程為.（3）由得，又，故，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.16.如圖，在四棱錐中，底面，底面四邊形為菱形且，，為的中點，為的中點.（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點到平面的距離.（1）證明：作于點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，取，解得；所以，平面，平面；（2）解：設(shè)與所成的角為，，，，與所成角的余弦值為；（3）解：設(shè)點到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對值，由，得，所以點到平面的距離為．17.若橢圓和橢圓滿足，則這兩個橢圓相似，稱為其相似比.（1）求經(jīng)過點，且與橢圓相似的橢圓方程；（2）設(shè)過原點的一條射線分別與（1）中兩個橢圓交于兩點（其中點在線段上），求的取值范圍.解：（1）假定所求的橢圓方程為，則有，解得，所以所求的橢圓方程為;(2)當(dāng)射線與軸重合時，，此時.當(dāng)射線不與軸重合時，由于對稱性，僅考慮第一象限的情形.假定射線的方程為，設(shè)，則有由，解得，∴.同理.則.綜上.18.已知半徑為2的圓的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切.（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知，為圓上任意一點，問在軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求出定點坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由.（3）在（2）的條件下，若點，試求的最小值.解：（1）由題意設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，因為直線與圓相切，所以點到直線的距離，因為，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；.（2）假設(shè)存在定點B，設(shè)，如圖，設(shè)，則，則，當(dāng)，即或（舍去）時，為定值，且定值為，故存在定點B使得為定值，B的坐標(biāo)為；（3）由（2）知，故，從而，當(dāng)且僅當(dāng)P、B、三點共線時，最小，且，所以的最小值為.19.如圖，在平行六面體中，平面ABCD，，，（1）求證：；（2）求三棱錐的體積；（3）線段上是否存在點E，使得平面EBD與平面的夾角為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：解法一：因為⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，，所以，，因為，所以，又因為，.所以，化簡得.所以，所以.解法二：在平面ABCD內(nèi)過點D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)，則，所以，，由得，所以，又因為，所以，解得，所以，，，，所以，所以.解法三：在平面ABCD中，過B作DC的垂線，垂足為G，連結(jié)交于F.因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，，在中，，，，所以，在中，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以.（2）解：因為，由（1）知，所以，過作于H，則.因為直棱柱中平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面，所以.（3）解：解法一：假設(shè)存在點E滿足條件，因為⊥平面ABCD，，所以以D原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面E