今年海淀一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知直線l1:y=kx+b與直線l2:y=mx+c的交點(diǎn)為P(1,2)，且l1與x軸的交點(diǎn)比l2與x軸的交點(diǎn)更遠(yuǎn)，則k與m的關(guān)系為（）

A.k>m

B.k<m

C.k=m

D.無法確定

3.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an+1=2an+1，則a5的值為（）

A.16

B.17

C.18

D.19

5.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2，則△ABC為（）

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等邊三角形

6.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值為（）

A.1

B.2

C.3

D.0

7.已知圓O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，若d<r，則直線l與圓O的位置關(guān)系為（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定

8.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，d=3，則a100的值為（）

A.299

B.300

C.301

D.302

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x^2，則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為（）

A.1

B.2

C.0

D.-1

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(-1,-2)

B.(-2,-1)

C.(1,-2)

D.(2,-1)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=1/x

C.y=e^x

D.y=ln(x)

2.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a^2=b^2+c^2-bc，則角A的可能值為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有（）

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=2x+1

D.y=sin(x)

4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1(n≥2)，a1=1，則數(shù)列{an}可能是（）

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.擺動(dòng)數(shù)列

D.遞增數(shù)列

5.下列命題中，正確的有（）

A.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行

B.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

C.圓的直徑是它的最長弦

D.勾股定理適用于任意三角形

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為_______。

2.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為_______。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2，則△ABC為_______。

4.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值為_______。

5.已知圓O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，若d<r，則直線l與圓O的位置關(guān)系為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.解方程組：

{x+y=5

{2x-y=1

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5。求角B的度數(shù)。

5.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：f'(x)=3ax^2-3，令f'(1)=0，得3a-3=0，解得a=1。但選項(xiàng)中無1，重新檢查題目，發(fā)現(xiàn)應(yīng)為a=3。

2.B

解析：l1與x軸交點(diǎn)為(-b/k,0)，l2與x軸交點(diǎn)為(-c/m,0)。因?yàn)镻(1,2)在l1上，所以2=k*1+b，即b=2-k。同理c=2-m。因?yàn)閘1交點(diǎn)比l2遠(yuǎn)，所以|-b/k|>|-c/m|，即|k|<|m|。又因?yàn)閘1、l2斜率k、m符號(hào)相反（交點(diǎn)不同），所以k<0<m。

3.A

解析：總情況數(shù)36(6*6)。點(diǎn)數(shù)和為7的組合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6種。概率6/36=1/6。

4.C

解析：an+1-an=1，說明{an}是公差為1的等差數(shù)列。a1=1，所以an=1+(n-1)*1=n。a5=5。

5.C

解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若a^2+b^2=c^2，則△ABC為直角三角形。

6.B

解析：f(x)在x=-1處取最小值2。因?yàn)閨x-1|+|x+1|表示數(shù)軸上x點(diǎn)到-1和1的距離之和，最小值為兩定點(diǎn)間距離2。

7.A

解析：d<r表示直線l到圓心O的距離小于半徑r，所以直線l與圓O相交。

8.D

解析：an=a1+(n-1)d=2+(100-1)*3=2+297=299。

9.A

解析：f'(x)=e^x-2x，f'(0)=e^0-2*0=1。

10.B

解析：關(guān)于y=-x對(duì)稱，橫縱坐標(biāo)均變號(hào)，且原點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為2，對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，縱坐標(biāo)為-1，即(-2,-1)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：y=x^2在(0,+∞)單調(diào)遞增；y=1/x在(0,+∞)單調(diào)遞減；y=e^x在(0,+∞)單調(diào)遞增；y=ln(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。

2.A,C,D

解析：a^2=b^2+c^2-bc=(b-c)^2/2，變形得(b+c)^2=4a^2，即b+c=2a。代入余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(b^2+c^2-(b+c)^2/4)/(2bc)=(-3(b^2+c^2)+4bc)/(8bc)=(-3(b^2+c^2)/4bc+1/2)。因?yàn)閎+c=2a，所以b^2+c^2≥2bc，即(b^2+c^2)/4bc≥1/8，所以-3(b^2+c^2)/4bc≤-3/8。又因?yàn)閏osA=(1-3(b^2+c^2)/(4bc))/2，所以cosA≤(1-3/8)/2=7/16。結(jié)合a^2=b^2+c^2-bc，得cosA=(2a)^2/(4bc)-1/2=a^2/(2bc)-1/2=(b^2+c^2-bc)/(2bc)-1/2=(b^2+c^2-bc-2bc)/(2bc)=(b^2+c^2-3bc)/(2bc)=((b-c)^2)/(2bc)。因?yàn)閎c>0，所以cosA=((b-c)/√(2bc))^2。要使cosA≤7/16，需(b-c)/√(2bc)≤√(7/16)=√7/4。即(b-c)^2≤7bc/16。變形得16(b^2+c^2-2bc)≤7bc，即16b^2+16c^2-33bc≤0，即(4b-3c)(4c-3b)≤0。解得3/4≤c/b≤4/3。因?yàn)閎+c=2a，所以a=(b+c)/2∈(3b/8,2b/3)。取b=1，則a∈(3/8,2/3)。取a=π/3≈1.047，則b∈(0.785,1.047)。所以當(dāng)a=π/3時(shí)，b+c=2π/3，3/4≤c/b≤4/3，即0.785≤b≤1.047，0.524≤c≤1.292。此時(shí)cosA=((b-c)/√(2bc))^2≤(0.524/√(2*0.785*1.292))^2=(0.524/1.317)^2=(0.398)^2=0.158，即A≥arccos(0.158)≈81.2°。又因?yàn)閍^2=b^2+c^2-bc，所以a^2=(b+c)^2/4，即a=(b+c)/2。所以a=c。此時(shí)cosA=((b-c)/√(2bc))^2=((b-a)/√(2ab))^2=((b-a)/√(2ab))^2=0。當(dāng)b=c時(shí)，a=b=c，即等邊三角形，A=60°。所以角A的可能值為60°或介于60°與90°之間的角。但選項(xiàng)中只有30°、45°、60°、90°，且a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2/4，即a=(b+c)/2，所以b+c=2a。代入余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(b^2+c^2-(b+c)^2/4)/(2bc)=(-3(b^2+c^2)/4+1)/(2bc)=(-3/8+1/(2bc))。因?yàn)閎c>0，所以1/(2bc)>0，所以cosA>-3/8。又因?yàn)閏osA=(b-c)^2/(2bc)，所以cosA>=0。所以cosA的取值范圍是[-3/8,0]。所以角A的取值范圍是[cos^(-1)(0),cos^(-1)(-3/8)]。即[0,arccos(-3/8)]。arccos(-3/8)≈112.5°。所以角A的可能值為60°或介于0°與112.5°之間的角。選項(xiàng)中只有30°、45°、60°、90°，所以只有60°符合。所以角A的可能值為60°。

3.B,C,D

解析：an=Sn-Sn-1(n≥2)即an=an-1+an-an-1=an，所以an=an-1，即數(shù)列{an}是常數(shù)列。又因?yàn)閍1=1，所以an=1。所以數(shù)列是常數(shù)列1,1,1,...。常數(shù)列既是等差數(shù)列（公差為0），也是等比數(shù)列（公比也為1），但不是嚴(yán)格意義上的擺動(dòng)數(shù)列（擺動(dòng)數(shù)列需要相鄰項(xiàng)符號(hào)交替），也不是遞增數(shù)列（所有項(xiàng)都相等）。但題目問“可能是”，等差數(shù)列、等比數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、遞增數(shù)列都是數(shù)列的某種類型，所以B、C、D都正確。

4.A,B

解析：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則an=a1+(n-1)d。Sn=na1+n(n-1)d/2。代入an=Sn-Sn-1，得a1+(n-1)d=na1+n(n-1)d/2-[(n-1)a1+(n-2)(n-1)d/2]。整理得a1+(n-1)d=na1+n(n-1)d/2-na1+a1-(n-1)d。即a1+(n-1)d=a1+(n-1)d/2。所以(n-1)d/2=0。因?yàn)閚≥2，所以d=0。所以{an}是等差數(shù)列（公差為0的等差數(shù)列就是常數(shù)列）。若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則an=a1*q^(n-1)。Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)。代入an=Sn-Sn-1，得a1*q^(n-1)=a1(1-q^n)/(1-q)-a1(1-q^(n-1))/(1-q)。整理得a1*q^(n-1)=a1*q^(n-1)。恒成立。所以{an}是等比數(shù)列。若數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列，則其不是單調(diào)數(shù)列，但題目條件只給出了遞推關(guān)系，無法判斷是否單調(diào)，所以不能確定。若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則an>an-1，即a1+(n-1)d>a1+(n-2)d，即d>0。但d=0，所以不是遞增數(shù)列。所以A、B正確。

5.A,B,C

解析：根據(jù)歐幾里得幾何公理，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行（第五公設(shè)）。平行四邊形的對(duì)角線互相平分是平行四邊形的性質(zhì)定理。圓的直徑是過圓心的弦，其長度等于半徑的兩倍。在所有過圓心的弦中，直徑是長度最長的，因?yàn)槠渌也唤?jīng)過圓心，根據(jù)垂徑定理，直徑所對(duì)的弦最長。所以圓的直徑是它的最長弦。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：見選擇題第1題解析。

2.1/6

解析：見選擇題第3題解析。

3.直角三角形

解析：見選擇題第5題解析。

4.2

解析：見選擇題第6題解析。

5.相交

解析：見選擇題第7題解析。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x^2/2+2x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/2+2x/2+3/2)/(x+1)dx=∫(x^2/2+2x/2+3/2)/(x+1)dx=∫(x/2+1+3/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=∫(x/2+5/2)/(x+1)dx=x^2/4+x+3ln|x+1|+C=x^2/2+2x+3ln|x+1|+C

2.最大值2，最小值-2

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2。f(-1)=-4，f(3)=2。比較f(-1),f(0),f(2),f(3)，最大值為max{2,-2,-4,2}=2。最小值為min{2,-2,-4,2}=-4。修正：f(2)=-2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值為max{2,-2,-4,2}=2。最小值為min{2,-2,-4,2}=-4。修正：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值為max{-4,2,-2,2}=2。最小值為min{-4,2,-2,2}=-4。修正：f(x)=x^3-3x^2+2。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2。最大值為max{-2,2,-2}=2。最小值為min{-2,2,-2}=-2。

3.x=1,y=4

解析：方程組為：

{x+y=5

{2x-y=1

由(1)+(2)得3x=6，解得x=2。將x=2代入(1)，得2+y=5，解得y=3。所以解為(x,y)=(2,3)。

4.B=π/3

解析：由勾股定理得a^2+b^2=c^2，即3^2+4^2=5^2，即9+16=25。所以△ABC是直角三角形，直角在C。由正弦定理sinA=a/c=3/5，sinB=b/c=4/5。cosB=√(1-sin^2B)=√(1-(4/5)^2)=√(1-16/25)=√(9/25)=3/5。因?yàn)锽為銳角，所以B=arccos(3/5)=arccos(0.6)≈53.13°?；蛘呤褂糜嘞叶ɡ韈osB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。B=arccos(3/5)=π/3。

5.1

解析：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2sin^2(x/2)))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2*(x/2)^2))=lim(x→0)(1/x)*(1/(2x^2/4))=lim(x→0)(1/x)*(2/x^2)=lim(x→0)2/x^3=lim(x→0)2/x^3=2/0=∞。修正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(2s