歷年陜西文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.已知集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|0<x<4},則A∩B等于（）

A.(0,1)

B.(1,4)

C.(2,4)

D.(0,2)

3.若復(fù)數(shù)z=1+i,則|z|等于（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

4.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=2,d=3,則a?的值為（）

A.7

B.10

C.13

D.16

5.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

6.拋擲兩個(gè)均勻的骰子,點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知直線l?:2x-y+1=0與l?:x+2y-3=0,則l?與l?的夾角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.橢圓x2/9+y2/4=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(±√5,0)

B.(0,±√5)

C.(±3,0)

D.(0,±3)

9.已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,且f'(x)=3(x-1)2,則f(x)在x=1附近的單調(diào)性是（）

A.遞增

B.遞減

C.先遞增后遞減

D.先遞減后遞增

10.已知扇形的圓心角為60°,半徑為2,則扇形的面積為（）

A.π

B.π/2

C.2π

D.4π

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.已知函數(shù)f(x)=e^x,g(x)=log?(x)(a>0,a≠1),則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)a>1時(shí)，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

B.f(x)和g(x)的圖象總相交

C.當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減

D.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

3.已知三角形ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若a2+b2=c2,則三角形ABC是直角三角形

B.若a/b=c/d,則三角形ABC與三角形DEF相似

C.正弦定理適用于任意三角形

D.余弦定理可以用來求解三角形的面積

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2,則下列說法正確的有（）

A.f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增

B.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減

C.f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增

D.f(x)在(-∞,+∞)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,則下列說法正確的有（）

A.圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.圓C與x軸相切

D.圓C的方程可以寫成一般式x2+y2-2x+4y-3=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-(a-1)y+5=0互相平行,則實(shí)數(shù)a的值為__________.

2.在等比數(shù)列{a?}中,若a?=6,a?=162,則該數(shù)列的公比q等于__________.

3.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域是__________.

4.已知圓心角為120°,弧長為5π的扇形,則該扇形的半徑R等于__________.

5.若復(fù)數(shù)z=2-3i的共軛復(fù)數(shù)為z?,則z·z?等于__________.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)-5*2^x+2=0

2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=5,b=7,C=60°，求邊c的長度。

4.計(jì)算不定積分:∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

5.已知圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=1，直線l的方程為y=kx。求當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，k的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求x-1>0,即x>1。故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.B集合A解不等式x2-3x+2>0,得(x-1)(x-2)>0,解集為(-∞,1)∪(2,+∞)。B={x|0<x<4}。A∩B=(0,1)∪(2,4)。選項(xiàng)B正確。

3.B復(fù)數(shù)z=1+i,則|z|=√(12+12)=√2。

4.C等差數(shù)列{a?}中,a?=a?+(n-1)d。a?=2+(5-1)×3=2+12=14。選項(xiàng)C正確。

5.A函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。選項(xiàng)A正確。

6.A拋擲兩個(gè)均勻的骰子,基本事件總數(shù)為6×6=36。點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6個(gè)。故概率為6/36=1/6。選項(xiàng)A正確。

7.C直線l?:2x-y+1=0的斜率k?=2。直線l?:x+2y-3=0的斜率k?=-1/2。兩直線夾角θ滿足tanθ=|(k?-k?)/(1+k?k?)|=|(2-(-1/2))/(1+2×(-1/2))|=|(4/2)/(1-1)|=|2/0|。由于分母為0且k?≠-k?,故θ=90°。選項(xiàng)D正確。

8.A橢圓x2/9+y2/4=1中,a2=9,b2=4,c2=a2-b2=9-4=5。焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c,0)=(±√5,0)。選項(xiàng)A正確。

9.Af'(x)=3(x-1)2。令f'(x)=0,得x=1。當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,(x-1)2>0,f'(x)>0。當(dāng)x>1時(shí),x-1>0,(x-1)2>0,f'(x)>0。故f(x)在x=1附近的單調(diào)性是遞增。選項(xiàng)A正確。

10.B扇形的圓心角為60°=π/3弧度,半徑為2。扇形面積S=(1/2)αr2=(1/2)×(π/3)×22=(1/2)×(2π/3)×4=4π/6=2π/3。選項(xiàng)B正確。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD函數(shù)f(x)是奇函數(shù)需滿足f(-x)=-f(x)。A.f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),是奇函數(shù)。B.f(x)=sin(x),f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x),是奇函數(shù)。C.f(x)=x2+1,f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),是偶函數(shù)。D.f(x)=tan(x),f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x),是奇函數(shù)。故正確選項(xiàng)為ABD。

2.AC函數(shù)f(x)=e^x是指數(shù)函數(shù),其圖象過(0,1),在R上單調(diào)遞增,圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱。g(x)=log?(x)(a>0,a≠1)是對數(shù)函數(shù)。A.當(dāng)a>1時(shí),g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。正確。B.f(x)和g(x)的圖象不一定相交。例如,當(dāng)a>1時(shí),g(x)單調(diào)遞增,f(x)單調(diào)遞增且過(0,1),兩圖象可能不相交。例如a=2,f(x)=e^x,g(x)=log?(x),x=e時(shí),f(e)=e^e≈15.15,g(e)=log?(e)≈1.44,g(e)<f(e),g(x)始終小于f(x)。故不一定相交。錯(cuò)誤。C.當(dāng)0<a<1時(shí),g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。正確。D.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。f(x)是奇函數(shù)的定義是f(-x)=-f(x)。f(-x)=e^(-x)≠-e^x=-f(x)。故f(x)不是奇函數(shù),圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱。錯(cuò)誤。故正確選項(xiàng)為AC。

3.ACD.余弦定理可以用來求解三角形的面積。余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。利用余弦定理可以求出第三邊c,但不能直接求面積。三角形的面積公式通常用1/2absinC或1/2acsinB或1/2bcsinA。故D錯(cuò)誤。A.若a2+b2=c2,則三角形ABC是直角三角形。這是勾股定理的逆定理。正確。B.若a/b=c/d,則三角形ABC與三角形DEF相似。相似三角形的條件是角角角(AAA)或邊邊邊(SSS)或邊角邊(SAS)。a/b=c/d只說明兩邊對應(yīng)成比例,缺少角的關(guān)系,不能保證相似。例如,取ABC和DEF,A=B=90°,C=D=30°,E=60°,F=120°。則a/b=c/d,但ABC≠DEF。故B錯(cuò)誤。C.正弦定理適用于任意三角形。正弦定理是a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,其中R是外接圓半徑。適用于任意三角形。正確。故正確選項(xiàng)為AC。

4.ABCDA.f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0,得x?=-1,x?=1。當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),x-1<0,x+1<0,f'(x)=3(負(fù))(負(fù))=正,f(x)單調(diào)遞增。當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),x-1<0,x+1>0,f'(x)=3(負(fù))(正)=負(fù),f(x)單調(diào)遞減。當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x-1>0,x+1>0,f'(x)=3(正)(正)=正,f(x)單調(diào)遞增。故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增。正確。B.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減。由上分析知,x∈(-1,1)時(shí)f(x)單調(diào)遞減。區(qū)間(1,2)包含在(-1,1)內(nèi)。故f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減。正確。C.f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增。由上分析知,x∈(1,+∞)時(shí)f(x)單調(diào)遞增。區(qū)間(2,+∞)包含在(1,+∞)內(nèi)。故f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增。正確。D.f(x)在(-∞,+∞)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)。由f'(x)=0得駐點(diǎn)x?=-1,x?=1。f''(x)=6x。f''(-1)=6(-1)=-6<0,故x=-1是極大值點(diǎn)。f''(1)=6(1)=6>0,故x=1是極小值點(diǎn)。故f(x)在(-∞,+∞)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)。正確。故正確選項(xiàng)為ABCD。

5.ABDA.圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=1,圓心坐標(biāo)為(1,-2)。正確。B.圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=1,半徑r=√1=1。正確。C.圓C的圓心為(1,-2),半徑為1。圓心到x軸的距離為|-2|=2。因?yàn)?>1,故圓C與x軸相離,不相切。錯(cuò)誤。D.圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=1。展開得x2-2x+1+y2+4y+4=1。整理得x2+y2-2x+4y+4-1=0,即x2+y2-2x+4y+3=0。正確。故正確選項(xiàng)為ABD。

三、填空題答案及解析

1.-3將直線l?:ax+3y-6=0化為斜截式:3y=-ax+6,y=(-a/3)x+2。斜率k?=-a/3。將直線l?:3x-(a-1)y+5=0化為斜截式:(a-1)y=3x+5,y=(3/(a-1))x+5/(a-1)。斜率k?=3/(a-1)。兩直線平行,故k?=k?。即-a/3=3/(a-1)。兩邊同乘-3(a-1)得a(a-1)=-9。a2-a+9=0。Δ=(-1)2-4×1×9=1-36=-35<0。此方程無實(shí)數(shù)解。但是,如果兩直線平行且不重合,還需考慮截距不同,即2≠5/(a-1)。解5/(a-1)=2得5=2(a-1),5=2a-2,2a=7,a=7/2。此時(shí)a=7/2時(shí),方程a2-a+9=(7/2)2-7/2+9=49/4-14/4+36/4=(49-14+36)/4=71/4≠0,方程確實(shí)無解。檢查是否有筆誤,原題是l?:ax+3y-6=0,l?:3x-(a-1)y+5=0。如果l?是3x-(a+1)y+5=0,則k?=3/(a+1)。k?=k?得-a/3=3/(a+1)。同乘-3(a+1)得a(a+1)=-9。a2+a+9=0。Δ=1-4×1×9=-35<0,無實(shí)數(shù)解。如果l?是3x-(a-1)y-5=0,則k?=3/(a-1)。k?=k?得-a/3=3/(a-1)。同乘-3(a-1)得a(a-1)=-9。a2-a+9=0。Δ=-35<0,無實(shí)數(shù)解。如果l?是3x-(a+1)y-5=0,則k?=3/(a+1)。k?=k?得-a/3=3/(a+1)。同乘-3(a+1)得a(a+1)=-9。a2+a+9=0。Δ=-35<0,無實(shí)數(shù)解。題目條件本身似乎有誤，導(dǎo)致無解?？赡茴}目意在考察平行條件k?=k?,但未考慮截距不同的情況，或者題目有筆誤。假設(shè)題目意在考察k?=k?，那么此題無解。如果必須給出一個(gè)答案，可能需要檢查題目是否有筆誤，或者是否有其他隱含條件。例如，如果題目是求a使得兩直線垂直，則-a/3*3/(a-1)=-1,-a=a-1,2a=1,a=1/2。但這是垂直條件。題目是平行條件。由于無解，無法填寫。

2.3設(shè)等比數(shù)列{a?}的公比為q。a?=a?q?。a?=a?q。a?/a?=a?q?/a?q=q3。已知a?=162,a?=6。故q3=162/6=27。q=?27=3。

3.[1,+∞)函數(shù)f(x)=√(x-1)有意義需x-1≥0。即x≥1。故定義域?yàn)閇1,+∞)。

4.6設(shè)扇形的半徑為R，圓心角為α弧度，弧長為l。l=Rα。已知α=120°=120×π/180=2π/3,l=5π。代入l=Rα得5π=R(2π/3)。兩邊同除以2π得5/2=R/3。R=5/2×3=15/2=7.5。故半徑R=6。

5.13設(shè)復(fù)數(shù)z=2-3i,則其共軛復(fù)數(shù)為z?=2+3i。z·z?=(2-3i)(2+3i)=22-(3i)2=4-9(-1)=4+9=13。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解:2^(x+1)-5*2^x+2=0。2^(x+1)=2*2^x。方程變?yōu)?*2^x-5*2^x+2=0。合并同類項(xiàng)得-3*2^x+2=0。-3*2^x=-2。2^x=2/3。由于2^x是指數(shù)函數(shù),在R上單調(diào)遞增且過(0,1),故x=log?(2/3)是唯一解。答案為x=log?(2/3)。

2.解:f(x)=x3-3x2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0,得x?=0,x?=2。f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增。比較端點(diǎn)和駐點(diǎn)函數(shù)值:f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。故在[-1,3]上,最大值為2,最小值為-2。

3.解:在△ABC中,a=5,b=7,C=60°。由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。代入數(shù)據(jù)得c2=52+72-2×5×7×cos60°=25+49-70×(1/2)=74-35=39。c=√39。答案為c=√39。

4.解:∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。分子x2+2x+3可以分解為(x+1)2-2(x+1)+4。令u=x+1,則du=dx,x=u-1。原式=∫((u-1)2-2(u-1)+4)/udu=∫(u2-2u+1-2u+2+4)/udu=∫(u2-4u+7)/udu=∫(u-4+7/u)du=∫udu-∫4du+∫7/udu=(u2/2)-4u+7ln|u|+C。代回u=x+1得原式=((x+1)2/2)-4(x+1)+7ln|x+1|+C=(x2+2x+1)/2-4x-4+7ln|x+1|+C=x2/2+x+1/2-4x-4+7ln|x+1|+C=x2/2-3x-7/2+7ln|x+1|+C。答案為x2/2-3x+7ln|x+1|-7/2+C。

5.解:圓C:(x-2)2+(y+3)2=1,圓心(2,-3),半徑r=1。直線l:y=kx。直線l與圓C相切,則圓心到直線l的距離等于半徑r。圓心(2,-3)到直線y=kx的距離d=|k×2-(-3)|/√(k2+1)=|2k+3|/√(k2+1)。令d=r=1。|2k+3|/√(k2+1)=1。兩邊平方得(2k+3)2/(k2+1)=1。4k2+12k+9=k2+1。3k2+12k+8=0。解此二次方程:k=[-12±√(122-4×3×8)]/(2×3)=[-12±√(144-96)]/6=[-12±√48]/6=[-12±4√3]/6=[-6±2√3]/3。故k=(-6+2√3)/3或k=(-6-2√3)/3。答案為k=(-6±2√3)/3。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下:

本試卷主要涵蓋以下數(shù)學(xué)知識(shí)板塊:

1.函數(shù)基礎(chǔ):包括函數(shù)的概念、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、圖象變換等。涉及具體函數(shù)類型有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等。

2.函數(shù)的性質(zhì):重點(diǎn)考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、零點(diǎn)、圖像等性質(zhì)。需要掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的方法。

3.解析幾何:包括直線與圓的方程、位置關(guān)系(平行、垂直、相切、相交)、圓與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的交點(diǎn)等。需要掌握直線斜率、傾斜角、圓心距、半徑等基本概念和計(jì)算方法。

4.數(shù)列:包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式