2025年運籌學(xué)對偶試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。---一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.在線性規(guī)劃的對偶理論中，若原問題有最優(yōu)解，則其對偶問題（）。A.可能有解，也可能無解B.一定有解C.一定無解D.無解或無界2.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，則原問題（）。A.可能有解，也可能無解B.一定有解C.一定無解D.無解或無界3.在對偶單純形法中，選擇離基變量時，通常選擇（）。A.最小比值B.最大比值C.最小絕對值D.最大絕對值4.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題有最優(yōu)解，則原問題（）。A.可能有解，也可能無解B.一定有解C.一定無解D.無解或無界5.在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是等式，則其對偶變量（）。A.必須是非負的B.可以是任意實數(shù)C.必須是非正的D.必須是零6.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題具有無界解，則原問題（）。A.可能有解，也可能無解B.一定有解C.一定無解D.無解或無界7.在對偶單純形法中，選擇入基變量時，通常選擇（）。A.最小比值B.最大比值C.最小絕對值D.最大絕對值8.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，且原問題有最優(yōu)解，則根據(jù)對偶理論，原問題的目標函數(shù)值（）。A.必定等于對偶問題的目標函數(shù)值B.必定不等于對偶問題的目標函數(shù)值C.可能等于，也可能不等于對偶問題的目標函數(shù)值D.無法確定9.在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是“≥”型不等式，則其對偶變量（）。A.必須是非負的B.可以是任意實數(shù)C.必須是非正的D.必須是零10.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題具有唯一最優(yōu)解，則原問題（）。A.可能有解，也可能無解B.一定有解C.一定無解D.無解或無界---二、填空題（每題2分，共20分）1.在對偶單純形法中，若某個檢驗數(shù)大于0，則對應(yīng)的對偶變量（）。2.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題有最優(yōu)解，且最優(yōu)解中某個對偶變量大于0，則原問題在該對偶變量對應(yīng)的約束條件上（）。3.在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是“≤”型不等式，則其對偶變量（）。4.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，且原問題有最優(yōu)解，則根據(jù)對偶理論，原問題的目標函數(shù)值（）。5.在對偶單純形法中，若某個檢驗數(shù)小于0，則對應(yīng)的基變量（）。6.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題具有無界解，則原問題（）。7.在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是等式，則其對偶變量（）。8.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題有唯一最優(yōu)解，則原問題（）。9.在對偶單純形法中，選擇離基變量時，通常選擇（）。10.若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，則原問題（）。---三、簡答題（每題5分，共25分）1.簡述對偶單純形法的步驟。2.簡述對偶理論的主要內(nèi)容。3.簡述原問題和對偶問題之間的關(guān)系。4.簡述對偶單純形法與普通單純形法的區(qū)別。5.簡述對偶理論在實際問題中的應(yīng)用。---四、計算題（每題10分，共40分）1.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\maxZ=3x_1+2x_2\\\text{約束條件：}\\x_1+x_2\leq4\\2x_1+x_2\leq5\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。2.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\minZ=2x_1+3x_2\\\text{約束條件：}\\x_1+x_2\geq1\\x_1-x_2\leq2\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。3.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\maxZ=5x_1+4x_2\\\text{約束條件：}\\3x_1+2x_2\leq8\\x_1+4x_2\leq12\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。4.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\minZ=2x_1+x_2\\\text{約束條件：}\\x_1+x_2\geq3\\2x_1+x_2\geq4\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。---答案及解析單項選擇題1.B-解析：根據(jù)對偶理論，若原問題有最優(yōu)解，則其對偶問題一定有解。2.C-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，則原問題一定無解。3.A-解析：在對偶單純形法中，選擇離基變量時，通常選擇最小比值。4.B-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題有最優(yōu)解，則原問題一定有解。5.A-解析：在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是等式，則其對偶變量必須是非負的。6.D-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題具有無界解，則原問題無解或無界。7.A-解析：在對偶單純形法中，選擇入基變量時，通常選擇最小比值。8.A-解析：根據(jù)對偶理論，若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，且原問題有最優(yōu)解，則原問題的目標函數(shù)值必定等于對偶問題的目標函數(shù)值。9.C-解析：在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是“≥”型不等式，則其對偶變量必須是非正的。10.B-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題具有唯一最優(yōu)解，則原問題一定有解。填空題1.必須是非負的-解析：在對偶單純形法中，若某個檢驗數(shù)大于0，則對應(yīng)的對偶變量必須是非負的。2.必須是緊束縛的-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題有最優(yōu)解，且最優(yōu)解中某個對偶變量大于0，則原問題在該對偶變量對應(yīng)的約束條件上是緊束縛的。3.必須是非正的-解析：在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是“≤”型不等式，則其對偶變量必須是非正的。4.必定等于對偶問題的目標函數(shù)值-解析：根據(jù)對偶理論，若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，且原問題有最優(yōu)解，則原問題的目標函數(shù)值必定等于對偶問題的目標函數(shù)值。5.必須是非負的-解析：在對偶單純形法中，若某個檢驗數(shù)小于0，則對應(yīng)的基變量必須是非負的。6.無解或無界-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題具有無界解，則原問題無解或無界。7.必須是非負的-解析：在對偶理論中，若原問題的某個約束條件是等式，則其對偶變量必須是非負的。8.一定有解-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題有唯一最優(yōu)解，則原問題一定有解。9.最小比值-解析：在對偶單純形法中，選擇離基變量時，通常選擇最小比值。10.無解或無界-解析：若原線性規(guī)劃問題的對偶問題無可行解，則原問題無解或無界。簡答題1.簡述對偶單純形法的步驟：-步驟1：找到原問題的初始對偶可行解，即檢驗數(shù)全為非正的對偶可行解。-步驟2：若所有檢驗數(shù)都為0，則已得到最優(yōu)解；否則，選擇一個檢驗數(shù)最大的變量作為離基變量。-步驟3：計算各約束條件的比值，選擇最小比值的變量作為入基變量。-步驟4：用初等行變換將入基變量對應(yīng)的系數(shù)列向量變?yōu)閱挝幌蛄?，得到新的對偶可行解?步驟5：重復(fù)步驟2至步驟4，直到所有檢驗數(shù)都為0，得到最優(yōu)解。2.簡述對偶理論的主要內(nèi)容：-對偶理論主要包括以下內(nèi)容：-原問題和對偶問題的定義及其關(guān)系。-對偶定理：若原問題有最優(yōu)解，則其對偶問題也有最優(yōu)解，且目標函數(shù)值相等。-對偶單純形法：一種基于對偶理論的求解方法，適用于檢驗數(shù)全為非正的情況。-對偶問題的經(jīng)濟解釋：對偶變量可以解釋為影子價格，表示資源的邊際價值。3.簡述原問題和對偶問題之間的關(guān)系：-原問題和對偶問題之間具有以下關(guān)系：-原問題的目標函數(shù)系數(shù)和對偶問題的約束條件系數(shù)互換。-原問題的約束條件系數(shù)和對偶問題的目標函數(shù)系數(shù)互換。-原問題的約束條件類型和對偶問題的約束條件類型互換（“≤”變“≥”，“≥”變“≤”，“=”不變）。-原問題的非負約束和對偶問題的非負約束互換。4.簡述對偶單純形法與普通單純形法的區(qū)別：-對偶單純形法與普通單純形法的主要區(qū)別在于：-普通單純形法從原問題的可行解出發(fā)，通過迭代逐步找到最優(yōu)解。-對偶單純形法從對偶問題的可行解出發(fā)，通過迭代逐步找到最優(yōu)解。-普通單純形法要求初始解是原問題的可行解，而對偶單純形法要求初始解是對偶問題的可行解。-普通單純形法在每一步迭代中，選擇入基變量和離基變量，而對偶單純形法在每一步迭代中，選擇離基變量和入基變量。5.簡述對偶理論在實際問題中的應(yīng)用：-對偶理論在實際問題中的應(yīng)用主要包括：-資源優(yōu)化配置：通過對偶變量的經(jīng)濟解釋，可以確定資源的影子價格，幫助決策者進行資源優(yōu)化配置。-成本最小化：通過對偶問題的求解，可以找到成本最小化的方案。-敏感性分析：通過對偶問題的求解，可以分析原問題中參數(shù)變化對最優(yōu)解的影響。計算題1.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\maxZ=3x_1+2x_2\\\text{約束條件：}\\x_1+x_2\leq4\\2x_1+x_2\leq5\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。對偶問題：\[\begin{cases}\minW=4y_1+5y_2\\\text{約束條件：}\\y_1+2y_2\geq3\\y_1+y_2\geq2\\y_1,y_2\geq0\end{cases}\]用對偶單純形法求解原問題：-初始對偶可行解：\(y_1=3,y_2=0\)，檢驗數(shù)全為非正。-選擇離基變量：最小比值為3，選擇\(y_1\)。-選擇入基變量：最小比值為1，選擇\(y_2\)。-進行初等行變換，得到新的對偶可行解。-重復(fù)上述步驟，直到所有檢驗數(shù)都為0，得到最優(yōu)解。2.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\minZ=2x_1+3x_2\\\text{約束條件：}\\x_1+x_2\geq1\\x_1-x_2\leq2\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。對偶問題：\[\begin{cases}\maxW=y_1+2y_2\\\text{約束條件：}\\y_1+y_2\leq2\\y_1-y_2\leq3\\y_1\geq0,y_2\text{無符號限制}\end{cases}\]用對偶單純形法求解原問題：-初始對偶可行解：\(y_1=2,y_2=0\)，檢驗數(shù)全為非正。-選擇離基變量：最小比值為2，選擇\(y_1\)。-選擇入基變量：最小比值為1，選擇\(y_2\)。-進行初等行變換，得到新的對偶可行解。-重復(fù)上述步驟，直到所有檢驗數(shù)都為0，得到最優(yōu)解。3.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\maxZ=5x_1+4x_2\\\text{約束條件：}\\3x_1+2x_2\leq8\\x_1+4x_2\leq12\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。對偶問題：\[\begin{cases}\minW=8y_1+12y_2\\\text{約束條件：}\\3y_1+y_2\geq5\\2y_1+4y_2\geq4\\y_1,y_2\geq0\end{cases}\]用對偶單純形法求解原問題：-初始對偶可行解：\(y_1=5,y_2=0\)，檢驗數(shù)全為非正。-選擇離基變量：最小比值為5，選擇\(y_1\)。-選擇入基變量：最小比值為1，選擇\(y_2\)。-進行初等行變換，得到新的對偶可行解。-重復(fù)上述步驟，直到所有檢驗數(shù)都為0，得到最優(yōu)解。4.已知線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\minZ=2x_1+x_2\\\text{約束條件：}\\x_1+x_2\geq3\\2x_1+x_2\geq4\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\]求其對偶問題，并用對偶單純形法求解原問題。對偶問題：\[