第05講圓的方程題型梳理題型梳理易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式把握不準(zhǔn)致誤易錯(cuò)點(diǎn)二忽視方程表示圓的條件致誤題型方法題型一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型三對(duì)圓的一般方程的理解題型四求圓的一般方程知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)01圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑.知識(shí)點(diǎn)02圓的方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(xa)2+(yb)2=r2(r>0)叫作以點(diǎn)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別地，當(dāng)a=b=0時(shí)，方程為x2+y2=r2(r>0)，表示以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓.2.圓的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)叫作圓的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x+D22+y+E22=D①當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)?D②當(dāng)D2+E24F<0時(shí)，方程不表示任何圖形；③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓時(shí)，B=0，A=C≠0.知識(shí)點(diǎn)03點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(yb)2=r2(r>0)或一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)，設(shè)所給點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上MC=r(x0a)2+(y0b)2=r2(或x02+y02+Dx點(diǎn)在圓內(nèi)MC<r(x0a)2+(y0b)2<r2(或x02+y02+Dx點(diǎn)在圓外MC>r(x0a)2+(y0b)2>r2(或x02+y02+Dx易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析【易錯(cuò)點(diǎn)一】對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式把握不準(zhǔn)致誤【答案】A【分析】求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可得解.故選：A【答案】BC故選：BC【變式2】（多選）（2122高二·江蘇·單元測(cè)試）已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且被y軸分成兩段，弧長(zhǎng)之比為2∶1，則圓C的方程為（

）【答案】CD【分析】由題意，設(shè)C(a,0)，結(jié)合被y軸分成兩段的弧長(zhǎng)比有|a|＝，根據(jù)弦長(zhǎng)、半徑、弦心距的幾何關(guān)系求參數(shù)a，即可寫(xiě)出圓的方程.【詳解】由圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，可設(shè)圓心C(a,0)，又圓C被y軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為2∶1，∴|a|＝，則()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，故選：CD．【易錯(cuò)點(diǎn)二】忽視方程表示圓的條件致誤【答案】B【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件列不等式求解即可.故選：B.【答案】B故選：B.【分析】根據(jù)二元二次方程與圓的一般式方程之間的關(guān)系直接列式求解即可.【答案】分類討論，詳見(jiàn)解析題型方法題型方法【題型一】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法【答案】B【分析】由題可得兩直線交點(diǎn)，即可根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)求解圓的方程.故選：B解題技巧求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)幾何法：確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過(guò)圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．(2)待定系數(shù)法：【答案】B又圓的半徑與對(duì)稱圓的半徑相等都為2，故選：B.【分析】首先分析題意，利用圓的基本性質(zhì)即可得出答案.【變式3】（2324高二上·江蘇淮安·階段練習(xí)）分別根據(jù)下列條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：【分析】（1）首先由題意可以先求出圓的半徑，然后結(jié)合圓心即可直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）首先由待定系數(shù)法求出圓的一般方程，然后將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可.【題型二】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．與a的取值有關(guān)【答案】C∴點(diǎn)P在圓外.故選：C．解題技巧判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大?。?2)代數(shù)法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．【答案】C【分析】通過(guò)方程表示圓及點(diǎn)在圓外，構(gòu)造不等式求解即可.故選：C.【答案】故答案為：【分析】由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立不等關(guān)系，解不等式即可得答案.【題型三】對(duì)圓的一般方程的理解【答案】A故選：A.解題技巧圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．【答案】A【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓心坐標(biāo).故選：A.C．曲線圍成的圖形的面積大于5【答案】ACD

C選項(xiàng)，曲線圍成的圖形的面積可分割為邊長(zhǎng)為的正方形和4個(gè)半徑為的半圓，

故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究曲線方程其圖形的對(duì)稱性，作出圖形，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解曲線方程問(wèn)題常用技巧.【答案】【分析】將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到半徑.故答案為:.【題型四】求圓的一般方程【例4】（2223高二·江蘇）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.故選：A解題技巧應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問(wèn)題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).【分析】用待定系數(shù)法先設(shè)圓C的一般方程，再將圓C經(jīng)過(guò)的點(diǎn)代入方程求出未知量即可得解.(2)若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線的距離．(2)【分析】（1）設(shè)外接圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得解；（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D，再由點(diǎn)到直線的距離求解即可.好題必刷好題必刷一、單選題【答案】D【分析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑．故選：D．【答案】B【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫(xiě)出圓心即可.故選：B【答案】D故選：D【答案】A【分析】根據(jù)條件，直接求出圓心和半徑，即可求解.故選：A.【答案】D故選：D.二、多選題A． B．0 C． D．【答案】BC【分析】配方后，利用半徑的平方大于0，得到不等式，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：BCA．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上D．所有圓的面積均為4【答案】AB故答案為：AB.三、填空題【分析】設(shè)圓的一般方程，然后將點(diǎn)代入組成方程組解出即可.【答案】【分析】利用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.故答案為：【答案】2故答案為：2四、解答題(1)求圓的方程；【分析】（1）計(jì)算的垂直平分線，計(jì)算交點(diǎn)得到圓心，再確定半徑得到答案.13．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）某河上有一座圓拱橋，其跨度為30m，圓拱高為5m，一船寬為10m，上面載有貨物，水面到船頂高為4m，問(wèn)該船能否順利通過(guò)該橋？【答案】能以圓拱橋的橫截面與水面的交線所在的直線為x軸，過(guò)圓拱最高點(diǎn)且垂直于水面的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，∵