1.3.1空間幾何體的表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的研究，掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力.知識(shí)點(diǎn)一直棱柱和正棱錐的表面積思考1直棱柱和正棱錐的特征是什么？思考2下圖是直六棱柱的展開(kāi)圖，你能根據(jù)展開(kāi)圖歸納出直棱柱的側(cè)面面積公式嗎？思考3下圖是正四棱錐的展開(kāi)圖，設(shè)底面周長(zhǎng)為c，你能根據(jù)展開(kāi)圖，歸納出正n棱錐的側(cè)面面積公式嗎？思考4如何求多面體的表面積？梳理(1)直棱柱的側(cè)面積①側(cè)棱和底面________的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)c，寬等于直棱柱的高h(yuǎn)，因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝______.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.(2)正棱錐的側(cè)面積①如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是____________，那么稱(chēng)這樣的棱錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.②棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開(kāi)圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.如果正棱錐的底面周長(zhǎng)為c，斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h′，它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)＝__________.知識(shí)點(diǎn)二正棱臺(tái)的表面積思考1什么是正棱臺(tái)？正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是怎樣的圖形？思考2如圖是正四棱臺(tái)的展開(kāi)圖，設(shè)下底面周長(zhǎng)為c，上底面周長(zhǎng)為c′，你能根據(jù)展開(kāi)圖，歸納出正n棱臺(tái)的側(cè)面面積公式嗎？思考3正棱臺(tái)的側(cè)面積除了用展開(kāi)圖的方法求外，你還有其他方法嗎？棱臺(tái)的表面積如何求？梳理正棱錐被________________________所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái).與正棱錐的側(cè)面積公式類(lèi)似，若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為c′，c，斜高為h′，則其側(cè)面積是S正棱臺(tái)側(cè)＝________________.知識(shí)點(diǎn)三圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積思考1圓柱OO′及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？思考2圓錐SO及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？思考3圓臺(tái)OO′及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？梳理圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝ 側(cè)面積：S側(cè)＝ ，表面積：S＝ 圓錐底面積：S底＝，側(cè)面積：S側(cè)＝，表面積：S＝ 圓臺(tái)上底面面積：S上底＝ ，下底面面積：S下底＝，側(cè)面積：S側(cè)＝ ，表面積：S＝ 類(lèi)型一求多面體的側(cè)面積和表面積例1正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為a和b(a<b).(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺(tái)的側(cè)面積；(2)若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.引申探究若四棱臺(tái)的高是12cm，兩底面邊長(zhǎng)之差為10cm，表面積為512cm2，求底面的邊長(zhǎng).反思與感悟(1)求棱錐、棱臺(tái)及棱柱的側(cè)面積和表面積的關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，高，斜高，側(cè)棱.求解時(shí)要注意直角三角形和梯形的應(yīng)用.(2)正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的所有側(cè)面都全等，因此求側(cè)面積時(shí)，可先求一個(gè)側(cè)面的面積，然后乘以側(cè)面的個(gè)數(shù).(3)棱臺(tái)是由棱錐所截得到的，因此棱臺(tái)的側(cè)面積也可由大小棱錐側(cè)面積作差得到.跟蹤訓(xùn)練1已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高為3，求它的表面積.類(lèi)型二求旋轉(zhuǎn)體的表面積引申探究若本例條件改為：圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，求圓臺(tái)較小底面的半徑.例2圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺(tái)的表面積是________cm2.(結(jié)果中保留π)反思與感悟(1)求圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積，只需求出上、下底半徑和母線長(zhǎng)即可，求半徑和母線長(zhǎng)時(shí)常借助軸截面.(2)解答旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積問(wèn)題可先把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即在展開(kāi)圖內(nèi)求母線的長(zhǎng)，再進(jìn)一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進(jìn)而求出表面積.(3)旋轉(zhuǎn)體的軸截面是化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題的重要工具，因?yàn)樵谳S截面中集中體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)體的“關(guān)鍵量”之間的關(guān)系.在推導(dǎo)這些量之間的關(guān)系時(shí)要注意比例性質(zhì)的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2若圓錐的母線長(zhǎng)為2cm，底面圓的周長(zhǎng)為2πcm，則圓錐的表面積為_(kāi)_______cm2.類(lèi)型三簡(jiǎn)單組合體的表面積例3牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示(單位：m)，請(qǐng)你幫助算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少篷布？(精確到0.01m2)反思與感悟(1)組合體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個(gè)簡(jiǎn)單組合體的基本量，注意方程思想的應(yīng)用.(2)在實(shí)際問(wèn)題中，常通過(guò)計(jì)算物體的表面積來(lái)研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面實(shí)際沒(méi)有.跟蹤訓(xùn)練3有兩個(gè)相同的直棱柱，高為eq\f(2,a)，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3a,4a,5a(a>0).用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，求a的取值范圍.1.將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是________.2.已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長(zhǎng)為_(kāi)_______.3.若正三棱錐的斜高是高的eq\f(2,3)eq\r(3)倍，則該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的________倍.4.已知一個(gè)正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)是9cm，表面積等于144cm2，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______cm2.5.以圓柱的上底中心為頂點(diǎn)，下底為底作圓錐，假設(shè)圓柱的側(cè)面積為6，圓錐的側(cè)面積為5，求圓柱的底面半徑.1.多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和.棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面積.2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解.而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解.3.S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱；正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心．思考2S直棱柱側(cè)面積＝ch，即直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和高的乘積．思考3S正棱錐側(cè)面積＝eq\f(1,2)nah′＝eq\f(1,2)ch′，即正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半．思考4一般地，我們可以把多面體展開(kāi)成平面圖形，求出展開(kāi)圖中各個(gè)小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積．梳理(1)①垂直②ch(2)①底面中心②eq\f(1,2)ch′知識(shí)點(diǎn)二思考1正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)．正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰梯形．思考2S正棱臺(tái)側(cè)面積＝eq\f(1,2)n(a＋a′)h′＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.思考3可以用求兩個(gè)正棱錐側(cè)面積之差的方法得出．棱臺(tái)的表面積等于側(cè)面積與底面積的和．梳理平行于底面的平面eq\f(1,2)(c＋c′)h′知識(shí)點(diǎn)三思考1S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．思考2底面周長(zhǎng)是2πr，利用扇形面積公式得S側(cè)＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．思考3由題圖知，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，則，eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．梳理2πr22πrl2πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)πr′2πr2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)題型探究例1解(1)如圖所示，設(shè)O1、O分別上、下底面的中心，過(guò)C1作C1E⊥AC于E，過(guò)E作EF⊥BC，連結(jié)C1F，則C1F為正四棱臺(tái)的斜高．由題意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f(\r(2),2)(b－a)．在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝eq\f(\r(2),2)(b－a)，又EF＝CE·sin45°＝eq\f(1,2)(b－a)，∴C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)b－a))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))2)＝eq\f(\r(3),2)(b－a)．∴S側(cè)＝eq\f(1,2)(4a＋4b)×eq\f(\r(3),2)(b－a)＝eq\r(3)(b2－a2)．(2)∵S側(cè)＝S底，S底＝a2＋b2，∴eq\f(1,2)(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，∴h斜＝eq\f(a2＋b2,2a＋b).又EF＝eq\f(b－a,2)，∴h＝eq\r(h\o\al(2,斜)－EF2)＝eq\f(ab,a＋b).引申探究解如圖，設(shè)上底面邊長(zhǎng)為xcm，則下底面邊長(zhǎng)為(x＋10)cm，在Rt△E1FE中，EF＝eq\f(x＋10－x,2)＝5(cm)．∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.∴S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512，解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm、12cm.跟蹤訓(xùn)練1解如圖，設(shè)PO＝3，PE是斜高，∵S側(cè)＝2S底，∴4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2，∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE，∴9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PE,2)))2＝PE2，∴PE＝2eq\r(3).∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12，S側(cè)＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S側(cè)＝12＋24＝36.例21100π引申探究解設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為r，則另一底面半徑為3r，由題意知母線長(zhǎng)l＝3，∵S側(cè)＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7.跟蹤訓(xùn)練23π例3解上部分圓錐體的母線長(zhǎng)為eq\r(1.22＋2.52)m，其側(cè)面積為S1＝π×eq\f(5,2)×eq\r(1.22＋2.52)(m2)．下部分圓柱體的側(cè)面積為S2＝π×5×1.8(m2)．∴搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要的篷布為S＝S1＋S2＝π×eq\f(5,2)×eq\r(1.22＋2.52)＋π×5×1.8≈50.05(m2)．跟蹤訓(xùn)練3解兩個(gè)相同的直棱柱拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，有四種情況：四棱柱有一種，邊長(zhǎng)為5a的邊重合在一起，表面積為24a2＋28.三棱柱有三種，邊長(zhǎng)為4a的邊重合在一起，表面積為24a2＋32；邊長(zhǎng)為3a的邊重合在一起，表面積為24a2＋36；兩個(gè)相同的直三棱柱豎直放在一起，表面積為12a2＋48.最小的是一個(gè)四棱柱，即24a2＋28<12a2＋48，即a2<eq\f(5,3)，又a>0，∴0<a<eq