上海民辦協(xié)和雙語尚音學(xué)校八年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點(diǎn)P在線段AB上以1的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．2．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）3．閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側(cè)作等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F．請?zhí)骄烤€段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠DFC的度數(shù)可以求出來．”小強(qiáng)：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段DF和CF之間存在某種數(shù)量關(guān)系．”小偉：“通過做輔助線構(gòu)造全等三角形，就可以將問題解決．”......老師：“若以AB為邊向AB右側(cè)作等邊△ABE，其它條件均不改變，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形,探究線段EF、AF、DF三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．”（1）求∠DFC的度數(shù)；（2）在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在圖2中補(bǔ)全圖形，探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（1）填空①把一張長方形的紙片按如圖①所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長線上，那么的度數(shù)是________；②把一張長方形的紙片按如圖②所示的方式折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長線上，那么的度數(shù)是_______．（2）解答：①把一張長方形的紙片按如圖③所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長線上左側(cè)，且，求的度數(shù)；②把一張長方形的紙片按如圖④所示的方式折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長線右側(cè)，且，求的度數(shù)．（3）探究：把一張四邊形的紙片按如圖⑤所示的方式折疊，，為折痕，設(shè)，，，求，，之間的數(shù)量關(guān)系．5．學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．（初步思考）我們不妨將問題用符號語言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．（深入探究）第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡要說明．6．如圖，若要判定紙帶兩條邊線a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來進(jìn)行探究．（1）如圖1，展開后，測得，則可判定a//b，請寫出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線a，b互相平行，折疊后的邊線b與a交于點(diǎn)C，若將紙帶沿（，分別在邊線a，b上）再次折疊，折疊后的邊線b與a交于點(diǎn)，AB//，，求出的長．7．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．①當(dāng)α＝70°時，∠BDC度數(shù)＝度（直接寫出結(jié)果）；②∠BDC的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE角平分線交于點(diǎn)F，求∠BFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點(diǎn)M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．8．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長線上的一點(diǎn)，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過點(diǎn)作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛_______）所以（等量代換）所以（________）所以9．在《經(jīng)典幾何圖形的研究與變式》一課中，龐老師出示了一個問題：“如圖1，等腰直角三角形的三個頂點(diǎn)分別落在三條等距的平行線，，上，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長度”.在研究這道題的解法和變式的過程中，同學(xué)們提出了很多想法：（1）小明說：我只需要過B、C向作垂線，就能利用全等三角形的知識求出AB的長.（2）小林說：“我們可以改變的形狀.如圖2，，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長.”（3）小謝說：“我們除了改變的形狀，還能改變平行線之間的距離.如圖3，等邊三角形ABC三個頂點(diǎn)分別落在三條平行線，，上，且與之間的距離為1，與之間的距離為2，求AB的長、”請你根據(jù)3位同學(xué)的提示，分別求出三種情況下AB的長度.10．在中，若存在一個內(nèi)角角度，是另外一個內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個內(nèi)角的度數(shù)是另外一個內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．11．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長線交于點(diǎn)F，此時∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長線上，AE=CD，BD與EC的延長線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代數(shù)式表示）．12．如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對稱，AE與CD垂直交BC的延長線于點(diǎn)E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側(cè)，EF⊥AF．（1）依題意補(bǔ)全圖形．（2）①在AE上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B，點(diǎn)C的距離和最短；②求證：點(diǎn)D到AF，EF的距離相等．13．（概念認(rèn)識）如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（問題解決）（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；（延伸推廣）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）14．如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對邊四邊形．（1）如圖2，在等腰中，AE=BE，四邊形ABCD是互補(bǔ)等對邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如圖3，在非等腰中，若四邊形ABCD仍是互補(bǔ)等對邊四邊形，試問∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．15．（閱讀材料）：（1）在中，若，由“三角形內(nèi)角和為180°”得．（2）在中，若，由“三角形內(nèi)角和為180°”得．（解決問題）：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)．已知軸，交y軸于點(diǎn)E，連接CE，CF是∠ECO的角平分線，交AB于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)D．過E點(diǎn)作EM平分∠CEB，交CF于點(diǎn)M．（1）試判斷EM與CF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，過E點(diǎn)作PE⊥CE，交CF于點(diǎn)P．求證：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，作EN平分∠AEP，交OC于點(diǎn)N，如圖③．請問隨著C點(diǎn)的運(yùn)動，∠NEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請說明理由．16．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．17．直線與相互垂直，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，點(diǎn)、點(diǎn)均不與點(diǎn)重合．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點(diǎn)．①若，則______度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點(diǎn)在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點(diǎn)、，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，請直接寫出的度數(shù)．18．已知在中，，點(diǎn)在上，邊在上，在中，邊在直線上，；（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，將沿射線的方向平移，當(dāng)點(diǎn)在上時，求度數(shù)；（3）將在直線上平移，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，直接寫出度數(shù)．19．已知ABCD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E的位置如圖1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，則∠F=°；②探究∠F與∠BED的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數(shù)量關(guān)系式是．（3）若點(diǎn)E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且，設(shè)∠F=α，則α的取值范圍為．20．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點(diǎn)在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)在線段上時，求證：；（3）當(dāng)動點(diǎn)在直線上時，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，試判斷是否為定值？并說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）全等，垂直，理由詳見解析；（2）存在，或【解析】【分析】（1）在t=1的條件下，找出條件判定△ACP和△BPQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)，可證∠CPQ=90°，即可判斷線段PC和線段PQ的位置關(guān)系;（2）本題主要在動點(diǎn)的條件下，分情況討論，利用三角形全等時對應(yīng)邊相等的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【詳解】(1)當(dāng)t=1時，AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，解得;②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，解得：綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等與動點(diǎn)問題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，是解決本題的關(guān)鍵.2．（1）∠AFE=60°；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）通過證明得到對應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對應(yīng)邊相等，等量代換得到比值.(通過將順時針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過一定等量代換為本題的關(guān)鍵.3．（1）60°；（2）EF=AF+FC，證明見解析；（3）AF=EF+2DF，證明見解析．【解析】【分析】（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得2α＋60＋2β＝180°，從而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度數(shù)；（2）在EC上截取EG＝CF，連接AG，證明△AEG≌△ACF，然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，證明方法類似（2），先證明△ABG≌△EBF，再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE為等邊三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可設(shè)∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，證明如下：∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，則∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，連接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG為等邊三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）補(bǔ)全圖形如圖所示，結(jié)論：AF=EF+2DF．證明如下：同（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE為等邊三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字圖可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG為等邊三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．4．，；，；，.【解析】【分析】（1）①如圖①知，得可求出解.②由圖②知得可求出解.（2）①由圖③折疊知，可推出，即可求出解.②由圖④中折疊知，可推出，即可求出解.（3）如圖⑤-1、⑤-2中分別由折疊可知，、，即可求得、.【詳解】解：（1）①如圖①中，，，，故答案為.②如圖②中，，，故答案為.（2）①如圖③中由折疊可知，，，，，；②如圖④中根據(jù)折疊可知，，，，，，；（3）如圖⑤-1中，由折疊可知，，；如圖⑤-2中，由折疊可知，，.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換中折疊屬全等變換，圖形的角度及邊長不變及一些角度的計(jì)算問題，突出考查學(xué)生的觀察能力、思維能力以及動手操作能力，本題是代數(shù)、幾何知識的綜合運(yùn)用典型題目.5．（1）HL；（2）見解析；（3）如圖②，見解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．【詳解】（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等運(yùn)用的是HL．（2）證明：如圖①，分別過點(diǎn)C、F作對邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．∵∠ABC、∠DEF都是鈍角∴G、H分別在AB、DE的延長線上．∵CG⊥AG，F(xiàn)H⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．6．（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)B1在B的左側(cè)時，如圖2，當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3，分別求出的長，即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當(dāng)B1在B的左側(cè)時，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線間的平行線段長度相等”是解題的關(guān)鍵．7．（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【解析】【分析】（1）①由三角形內(nèi)角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求∠BDC；②由三角形內(nèi)角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推導(dǎo)方法即可求解；（2）由三角形外角性質(zhì)得，然后結(jié)合角平分線的定義求解；（3）由折疊的對稱性得，結(jié)合（1）②的結(jié)論可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分別為125°，90°+α．（2）∵BF和CF分別平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由軸對稱性質(zhì)知：，由（1）②可得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．見解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，然后證明，寫出證明過程和依據(jù)即可．【詳解】解：過點(diǎn)作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵（已知）∴（等邊對等角）∴（等量代換）∴（等角對等邊）∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的條件，從而進(jìn)行證明.9．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）分別過點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點(diǎn)，證明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分別過點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，證明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通過△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的長；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交l3于點(diǎn)P，過A作l3的垂線，交l3于點(diǎn)Q，證明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，從而得到PC，結(jié)合BP算出BC的長，即為AB.【詳解】解：（1）如圖，分別過點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點(diǎn)，由題意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=；（2）分別過點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于P，Q兩點(diǎn)，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=BM，NQ=NC，∵PB=1，CQ=2，設(shè)PM=a，NQ=b，∴，，解得：，，∴CN=AM==，∴AB===；（3）如圖，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交于點(diǎn)P，過A作l3的垂線，交于點(diǎn)Q，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，，∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，，即，解得：NP=，∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，，即，解得：QM=，∴AM==CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=，在△BPC中，BP2+CP2=BC2，即BC=，∴AB=BC=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線之間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用平行線構(gòu)造全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解.10．（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答即可得到答案；(3)可設(shè)未知數(shù)表示2倍角三角形的各個內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設(shè)其中一個內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內(nèi)角為：①當(dāng)小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當(dāng)時，解得：，此時：=，因此為最小內(nèi)角，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．(3)設(shè)最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．【解析】【分析】（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【詳解】（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60．（2）如圖②中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案為60．（3）如圖③中，∵點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②詳見解析．【解析】【分析】（1）本題考查理解題意能力，按照題目所述依次作圖即可．（2）①本題考查線段和最短問題，需要通過垂直平分線的性質(zhì)將所求線段轉(zhuǎn)化為其他等量線段之和，以達(dá)到求解目的．②本題考查垂直平分線的判定以及全等三角形的證明，繼而利用角的平分線性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形，如圖1所示（2）①如圖2，連接BD，P為BD與AE的交點(diǎn)∵等邊△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等價于PB+PD最短故B,D之間直線最短，點(diǎn)P即為所求．②證明：連接DE，DF．如圖3所示∵△ABC，△ADC是等邊三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴點(diǎn)D到AF，EF的距離相等．【點(diǎn)睛】本題第一問作圖極為重要，要求對題意有較深的理解，同時對于垂直平分線以及角平分線的定義要清楚，能通過題目文字所述轉(zhuǎn)化為考點(diǎn)，信息轉(zhuǎn)化能力需要多做題目加以提升．13．（1）85或100；（2）45°；（3）m或m或m＋n或m－n或n－m【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得的三分線有兩種情況，畫圖根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得的度數(shù)；（2）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進(jìn)而可求的度數(shù)；（3）根據(jù)的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn)．分四種情況畫圖：情況一：如圖①，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況二：如圖②，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況三：如圖③，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況四：如圖④，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，再根據(jù)，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，當(dāng)是“鄰三分線”時，；當(dāng)是“鄰三分線”時，；故答案為：85或100；（2），，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，．（3）分4種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：情況一：如圖①，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況二：如圖②，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況三：如圖③，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況四：如圖④，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角性質(zhì)．注意要分情況討論．14．（1）見解析；（2）仍然成立，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和互補(bǔ)等對邊四邊形的定義可利用SAS證明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，從而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠AEB，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）如圖3所示：過點(diǎn)A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)，根據(jù)互補(bǔ)等對邊四邊形的定義可利用AAS證明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，進(jìn)一步即可根據(jù)HL證明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互補(bǔ)等對邊四邊形的定義、平角的定義和四邊形的內(nèi)角和可得∠AEB+∠DHC=180°，進(jìn)而可得∠AEB=∠BHC，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四邊形ABCD是互補(bǔ)等對邊四邊形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=（180°?∠AEB）=90°?∠AEB，∴∠ABD=90°?∠EAB=90°?(90°?∠AEB)=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）∠ABD=∠BAC=∠AEB仍然成立；理由如下：如圖3所示：過點(diǎn)A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)，∵四邊形ABCD是互補(bǔ)等對邊四邊形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+∠ADG=180°，∴∠BCA=∠ADG，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∠AGD=∠BFC，∠ADG=∠BCA，AD=BC∴△AGD≌△BFC（AAS），∴AG=BF，在Rt△ABG和Rt△BAF中，∴Rt△ABG≌Rt△BAF（HL），∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【點(diǎn)睛】本題以新定義互補(bǔ)等對邊四邊形為載體，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等知識，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．15．（1）EM⊥CF，理由見解析；（2）證明見解析；（3）不變，且∠NEM=45°，理由見解析．【解析】【分析】（1）EM⊥CF，分別利用角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求證即可；（2）根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理證得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和對頂角相等即可證得結(jié)論；（3）不變，且∠NEM=45°，先利用平行線的性質(zhì)得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，進(jìn)而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分線的定義∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，再根據(jù)同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代換證得∠NEM=45°，是定值．【詳解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF=∠FCO=，∠FEM=∠CEM=∵AB∥x軸∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由題得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不變，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x軸∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN===45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、同（等）角的余角相等、對頂角相等、垂線性質(zhì)等知識，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，結(jié)合圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，確定解題思路，進(jìn)而探究、推理、論證．16．（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②，理由詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，進(jìn)而得出∠BCE=∠ACD，判斷出（SAS），即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法判斷出（SAS），（SAS），即可得出結(jié)論；②先判斷出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，證明是等邊三角形，進(jìn)而判斷出（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．17．（1）135°；（2）①45°；②不變；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】靈活運(yùn)用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和；（1）求出，，根據(jù)，即可解決問題；（2）①求出，，根據(jù)，即可求出的值；②根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）首先證明，，再分四種情況討論①當(dāng)時，②時，③時，④時，分別計(jì)算，符合題意得保留即可．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，又平分，平分，，，，（2）如圖2中：①（三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和），平分，平分，，，，；②結(jié)論：點(diǎn)A、B在運(yùn)動過程中，，理由：點(diǎn)A、B在運(yùn)動過程中，的角度不變，；（3）如圖3中，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點(diǎn)、，，，又為平角，，，，又在中：，﹤，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，則：①當(dāng)時，，此時，②時，，，此時（不符合題意舍去），③時，，此時，④時，，此時（不符合題意舍去），綜上所述，當(dāng)或時，在中，有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想的理解及應(yīng)用，分類討論時，沒有討論完全是本題的易錯點(diǎn)．18．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出，即可得出結(jié)論；（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理求出，即可得出結(jié)論；（3）分和兩種情況求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，，，，；（2）由（1）知，，，，，；（3）當(dāng)時，如圖3，由（1）知，，；當(dāng)時，如圖4，，點(diǎn)，重合，，，由（1）知，，，即當(dāng)以、