數(shù)學(xué)平面向量多選題專項(xiàng)訓(xùn)練的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案一、平面向量多選題1．正方形的邊長為，記，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解解析：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示：對于A選項(xiàng)，四邊形為正方形，則，，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，則，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，則，則，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，D選項(xiàng)錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量相關(guān)命題正誤的判斷，同時也考查了平面向量加、減法法則以及平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.2．已知是同一平面內(nèi)的三個向量，下列命題中正確的是（）A．B．若且，則C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是答案：AC【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積定義可判斷A；由向量垂直時乘積為0，可判斷B；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，化簡可判斷C；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)關(guān)系，可判斷D.【詳解】對于A，由平面向量數(shù)量積定義可知解析：AC【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積定義可判斷A；由向量垂直時乘積為0，可判斷B；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，化簡可判斷C；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)關(guān)系，可判斷D.【詳解】對于A，由平面向量數(shù)量積定義可知，則，所以A正確，對于B，當(dāng)與都和垂直時，與的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯誤，對于C，兩個非零向量，，若，可得，即，，則兩個向量的夾角為，則與共線且反向，故C正確；對于D，已知，且與的夾角為銳角，可得即可得，解得，當(dāng)與的夾角為0時，，所以所以與的夾角為銳角時且，故D錯誤；故選:AC.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積定義的應(yīng)用，向量共線及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.3．已知的三個角，，的對邊分別為，，，若，則該三角形的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：D【分析】在中，根據(jù)，利用正弦定理得，然后變形為求解.【詳解】在中，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得?故是直角三角形或等腰三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解析：D【分析】在中，根據(jù)，利用正弦定理得，然后變形為求解.【詳解】在中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，即，所以或，解得?故是直角三角形或等腰三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，.當(dāng)是線段的一個三等分點(diǎn)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案：AD【分析】設(shè)，則，然后分點(diǎn)P靠近點(diǎn)，靠近點(diǎn)兩種情況，利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)時，，則，解得，所以，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)時，，則，解得，所以，故選：解析：AD【分析】設(shè)，則，然后分點(diǎn)P靠近點(diǎn)，靠近點(diǎn)兩種情況，利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)時，，則，解得，所以，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)時，，則，解得，所以，故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在中,內(nèi)角的對邊分別為若,則角的大小是()A． B． C． D．答案：BD【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得,,而,,,故或.故選:BD.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握解析：BD【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得,,而,,,故或.故選:BD.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判斷,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.6．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且()∥，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b方向上的投影為C．2m+n=4D．mn的最大值為2答案：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結(jié)論，2m+n=4，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(解析：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結(jié)論，2m+n=4，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有mn(2m?n)()2=2，即mn的最大值為2，正確；故選：CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．中，，，則下列敘述正確的是（）A．的外接圓的直徑為4.B．若，則滿足條件的有且只有1個C．若滿足條件的有且只有1個，則D．若滿足條件的有兩個，則答案：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項(xiàng)，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構(gòu)造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項(xiàng)：如圖解析：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項(xiàng)，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構(gòu)造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項(xiàng)：如圖：以為圓心，為半徑畫圓弧，該圓弧與射線的交點(diǎn)個數(shù)，即為解得個數(shù)．易知當(dāng)，或即時，三角形為直角三角形，有唯一解；當(dāng)時，三角形是等腰三角形，也是唯一解；當(dāng)，即，時，滿足條件的三角形有兩個．故，正確，錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查已知兩邊及一邊的對角的前提下，三角形解得個數(shù)的判斷問題．屬于中檔題．8．下列結(jié)論正確的是（）A．已知是非零向量，，若，則⊥（）B．向量，滿足||＝1，||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影向量為C．點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)P是△ABC的外心D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）為頂點(diǎn)的四邊形是一個矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因?yàn)椋?，故可得，故，故選項(xiàng)正確；對：因?yàn)閨|＝1，||＝2，與的夾角為解析：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因?yàn)?，又，故可得，故，故選項(xiàng)正確；對：因?yàn)閨|＝1，||＝2，與的夾角為60°，故可得.故在上的投影向量為，故選項(xiàng)正確；對：點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)為三角形的重心，故選項(xiàng)錯誤；對：不妨設(shè)，則，故四邊形是平行四邊形；又，則，故四邊形是矩形.故選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的有：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.9．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，則a邊為（）A．8+ B．8C．8﹣ D．答案：AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【詳解】在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，由余弦定理：，即，解得.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【詳解】在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，由余弦定理：，即，解得.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理，考查了基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．中，，，面積，則邊（）A． B． C． D．答案：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因?yàn)?，，面積，所以，所以，解得或，當(dāng)時，由余弦定理得：，解得，當(dāng)時，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因?yàn)?，，面積，所以，所以，解得或，當(dāng)時，由余弦定理得：，解得，當(dāng)時，由余弦定理得：，解得所以或故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11．在中，，，，則=（）A． B． C． D．答案：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得的值.【詳解】由正弦定理，可得，，則，所以，為銳角或鈍角.因此，.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理與同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得的值.【詳解】由正弦定理，可得，，則，所以，為銳角或鈍角.因此，.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．已知、是任意兩個向量，下列條件能判定向量與平行的是（）A． B．C．與的方向相反 D．與都是單位向量答案：AC【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則與平行，A選項(xiàng)合乎題意；對于B選項(xiàng)，若，但與的方向不確定，則與不一定平行，B選項(xiàng)不合乎題意；對于C選項(xiàng)，若與的方向相反，解析：AC【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則與平行，A選項(xiàng)合乎題意；對于B選項(xiàng)，若，但與的方向不確定，則與不一定平行，B選項(xiàng)不合乎題意；對于C選項(xiàng)，若與的方向相反，則與平行，C選項(xiàng)合乎題意；對于D選項(xiàng)，與都是單位向量，這兩個向量長度相等，但方向不確定，則與不一定平行，D選項(xiàng)不合乎題意.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的判斷，考查共線向量定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13．在下列結(jié)論中，正確的有（）A．若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合 B．平行向量又稱為共線向量C．兩個相等向量的模相等 D．兩個相反向量的模相等答案：BCD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.若兩個向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定不重合，故錯誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確解析：BCD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.若兩個向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定不重合，故錯誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確；C.相等向量方向相同，模相等，正確；D.相反向量方向相反，模相等，故正確；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的定義和性質(zhì)，屬于簡單題.14．已知為非零向量,則下列命題中正確的是()A．若,則與方向相同B．若,則與方向相反C．若,則與有相等的模D．若,則與方向相同答案：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當(dāng)不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當(dāng)同向時解析：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當(dāng)不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當(dāng)同向時有,.當(dāng)反向時有,故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算與三角不等式,屬于基礎(chǔ)題型.15．題目文件丟失！二、平面向量及其應(yīng)用選擇題16．題目文件丟失！17．在中，若，那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形解析：B【分析】利用兩角和與差公式化簡原式，可得答案．【詳解】因?yàn)?，所以所以所以所?所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查兩角和與差公式以及兩角和與差公式的逆用，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．18．如圖，在直角梯形中，，為邊上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則＝（）A． B．C． D．解析：C【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則和共線定理即可得答案.【詳解】解：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查用基底表示向量，向量的線性運(yùn)算，是中檔題.19．已知菱形ABCD邊長為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為()A． B．－ C． D．－解析：A【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，建立方程即可得到結(jié)論．【詳解】法一：由題意可得·＝2×2cos＝2，·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]＝(1－λ)2－·＋(1－λ)··－2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵＝λ，∴λ＝.故選A.【點(diǎn)睛】1.已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.2.通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計算.20．已知是兩個非零向量，且，，則的最大值為A． B． C．4 D．解析：B【分析】先根據(jù)向量的模將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求極值，研究單調(diào)性，進(jìn)而得最大值.【詳解】,,,，令,則，令，得當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值，故選B.【點(diǎn)睛】向量的兩個作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.21．在梯形中，，，，，則（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：根據(jù)向量加法、減法法則將轉(zhuǎn)化為即可求解.詳解：由題可得：=,故選A.點(diǎn)睛：考查向量的線性運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為已知的信息是解題關(guān)鍵.22．如圖所示，矩形的對角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B．C． D．解析：A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，將用和表示，可得出和的值，由此可計算出的值.【詳解】為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，所以，，，，.因此，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加減法法則，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.23．中，，，則此三角形的外接圓半徑是（）A．4 B． C． D．解析：C【分析】在中，根據(jù)，，由余弦定理求得，再由平方關(guān)系得到，然后由正弦定理求解.【詳解】在中，，，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圓半徑是故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理，正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.24．在中，則的值等于（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進(jìn)而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.25．在△中，M為BC上一點(diǎn)，，則△的面積的最大值為（）A． B． C．12 D．解析：A【分析】由已知條件，令，，則在△中結(jié)合余弦定理可知，根據(jù)三角形面積公式即可求最大值【詳解】由題意，可得如下示意圖令，，又，即有∴由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∴有∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，利用向量的知識判斷線段的長度及比例關(guān)系，再由余弦定理并應(yīng)用基本不等式求三角形兩邊之積的范圍，進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式求最值26．已知，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是()A． B． C． D．解析：B【分析】根據(jù)方程有實(shí)根得到，利用向量模長關(guān)系可求得，根據(jù)向量夾角所處的范圍可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于的方程有實(shí)根