石家莊市石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線，其中旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為．（1）若，求原拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）條件下，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求的值；（3）探究滿足什么條件時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形?請(qǐng)說明理由．2．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：????其中，．（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)．（4）直線經(jīng)過，若關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．3．如圖，拋物線（）交直線：于點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，且過點(diǎn)，連接，.（1）求此拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1：y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0）、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)C（0，﹣2）．拋物線W2與拋物線W1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)C在W2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′．（1）求拋物線W1的表達(dá)式；（2）寫出拋物線W2的表達(dá)式；（3）若點(diǎn)P在拋物線W1上，試探究：在拋物線W2上是否存在點(diǎn)Q，使以C、C′、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并且其面積等于24？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．綜合與探究如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，，直線是拋物線的對(duì)稱軸，在直線右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：（2）若點(diǎn)在軸的下方，當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí)，求的面積；（3）在直線上有一點(diǎn)，連接，，則的最小值為______；（4）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第四象限內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BPQ∽△CAB．若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．7．綜合與探究如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)Q是線段PD的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是直線BC上一點(diǎn)，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以P，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．8．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．如果拋物線恰好經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)之中的兩個(gè)點(diǎn)．（1）試推斷拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C之中的哪兩個(gè)點(diǎn)？簡(jiǎn)述理由；（2）求常數(shù)a與b的值：（3）將拋物線先沿與y軸平行的方向向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再與沿x軸平行的方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)．設(shè)這個(gè)新拋物線的頂點(diǎn)是D．試探究的形狀．9．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)N，過A點(diǎn)的直線l：y=kx+n與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線y=﹣x2+bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)為D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P點(diǎn)為拋物線y=﹣x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)．（1）直接寫出拋物線和直線l的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，連接PA、PD，①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是；②當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)．（3）設(shè)M為直線l上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個(gè)函數(shù)．下面是小云對(duì)其探究的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，隨的增大而，且；對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而，且；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而．（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：012301綜合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．在平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖象．（3）過點(diǎn)(0，m)（）作平行于軸的直線，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最大值是．二、中考幾何壓軸題11．如圖1，已知直角三角形，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，．（1）發(fā)現(xiàn)問題：線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；的度數(shù)為______；（2）拓展與探究：若將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：如圖3所示，若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，邊上另有一點(diǎn)，，，連接，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．12．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，若∠ADE＝60°，則AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究如圖2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上．若∠ADE＝α，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（3）解決問題如圖3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿B→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PM，在PM右側(cè)作∠PMG＝30°，該角的另一邊交射線CA于點(diǎn)G，連接PC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△APG為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．13．綜合與實(shí)踐問題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H、連接EG．特例分析:(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，“智敏”小組提出如下問題，請(qǐng)你解答：①求證：AF=CD；②用等式表示線段CG與EG之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；拓展探究:(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且DE=AD時(shí)，“博?！毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG．請(qǐng)你證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且AE=AB時(shí)，的值為_______；推廣應(yīng)用:(4)當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則的值為______用含m.n的式子表示)．14．（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)15．我們定義：連結(jié)凸四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的“準(zhǔn)中位線”．（1）概念理解：如圖1，四邊形中，為的中點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，滿足，試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線，并說明理由．（2）問題探究：如圖2，中，，，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以每秒6個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．為線段上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問為何值時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）應(yīng)用拓展：如圖3，為四邊形的準(zhǔn)中位線，，延長(zhǎng)分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中與相等的角并證明．16．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長(zhǎng)．17．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，∠BCD的度數(shù)是；線段BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系是．類比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？；拓展延伸：（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若點(diǎn)P滿足PB＝PC，∠BPC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng)度．18．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．19．（1）（操作）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓的圓心，保留作圖痕跡，不要求寫作法；（2）（探究）如圖，若（1）中的圓的半徑為2，放入平面直角坐標(biāo)系中，使它與軸，軸分別切于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與圓有唯一公共點(diǎn)（與不重合）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）（拓展）如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），過點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓，交第一象限角平分線于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，求出此時(shí)，并探索在變化過程中的值有變化嗎？為什么？20．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．B解析：（1）（2）；（3）時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，理由見解析【分析】（1）因?yàn)?，所以，將代入得關(guān)于b和c的二元一次方程組，解方程組得到b和c即可求得原拋物線的解析式；（2）連接，延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)題（1）可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，繼而求出直線BC的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)題意易知四邊形是平行四邊形，繼而可知，由此可知ME＝10，繼而即可求解點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)，應(yīng)有，故點(diǎn)在之間，繼而可證根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴將代入得：解得：∴原拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）連接，并延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的項(xiàng)點(diǎn)為直線的解析式為：拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)四邊形是平行四邊形，（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)，應(yīng)有，故點(diǎn)在之間，當(dāng)時(shí)，即二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，，∴，所以時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意挖掘題目中的隱藏條件．2．（1）-6；（2）答案見解析；（3）①該函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②該函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)；（4）．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱可得m=-6；（2）用平滑的曲線連接各點(diǎn)即可畫出圖形；（3）認(rèn)真觀察圖象，總結(jié)出2條性質(zhì)即可；（4）畫出兩函數(shù)圖象即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由表格可知：圖象的對(duì)稱軸是y軸，∴m=-6，故答案為：-6；如圖所示該函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱該函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)；（4）由圖象可知：關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，即y=kx+b時(shí)，與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以，由圖象可以得出，當(dāng)時(shí)，直線與圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題和一元二次方程的根的情況，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想，理解一元二次方程與拋物線的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．3．A解析：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）存在，，；（3）或或.【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化為頂點(diǎn)式可求得結(jié)果.（2）先求出BC所在直線的解析式，設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形可分類討論，分為AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三種情況.（3）分兩種情況討論，一是F在拋物線上方，過點(diǎn)作軸，可得FH=4，設(shè)，可得，求出n代入即可；二是F在拋物線下方，可得，求出n的值即可，最后的結(jié)果綜合兩個(gè)結(jié)果即可.【詳解】解：（1）∵當(dāng)時(shí)，,∴;∴，;二次函數(shù)過點(diǎn)、，設(shè);∵過點(diǎn),∴;∴;∴;∵,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）存在.設(shè)過、,;設(shè)解得：;∴;設(shè)、;在中，解得;①當(dāng)時(shí);;解得：（不合題意舍去），;∴;②當(dāng)時(shí);;解得：，（不合題意舍去）;∴;③當(dāng)時(shí);;解得：（不合題意舍去）;∴，;（3）當(dāng)在拋物線上方時(shí)，，時(shí);過點(diǎn)作軸，與全等;則;設(shè);則;解得；，；或;當(dāng)在拋物線下方時(shí)，;（不合題意舍去），;∴;∴或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題目條件，利用了等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.4．A解析：（1）y＝；（2）y＝；（3）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，10）或（6，﹣4）．【分析】（1）待定系數(shù)法：把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，解方程組即可；（2）兩拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則其大小和形狀相同，開口方向相反，則只要求出W1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線W2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得W2的解析式；（3）按是對(duì)角線和邊分類，根據(jù)面積確定點(diǎn)P或Q的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式，從而求得Q的坐標(biāo)．【詳解】解（1）把點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y＝x2+bx+c中，得：，∴b＝，c=－2，∴y＝；（2）∵拋物線w1：y＝＝（x+1）2﹣的頂點(diǎn)是（﹣1，﹣），∴w2的頂點(diǎn)是（1，），∴w2的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+x+2；（3）存在．由題意知，，則．①若CC′是對(duì)角線，如圖，∵W1和W2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴P、Q也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為h，∵平行四邊形的面積=2∴CC′?h＝24，∴4?h＝24，∴h＝6，即P點(diǎn)橫坐標(biāo)是6或﹣6，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝×62+×6﹣2＝10，∴Q（﹣6，10），當(dāng)x＝﹣6時(shí)，y＝×（﹣6）2﹣×6﹣2＝4，∴Q（6，﹣4），②當(dāng)CC′是邊時(shí)，PQ∥CC′，PQ＝CC′，如圖，設(shè)點(diǎn)Q（x，），P（x，），由①知：x＝6或﹣6，當(dāng)P（6，10）時(shí)，∵y＝﹣×62+×6+2＝﹣4，∴Q（6，﹣4），∴PQ＝14≠4，當(dāng)x＝﹣6時(shí)，y＝﹣×（﹣6）2+×（﹣6）+2＝﹣10，∴PQ＝14，∴PQ≠CC′，∴CC′不能為邊，綜上所述，當(dāng)C、C′、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并且其面積等于24時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（﹣6，10）或（6，﹣4）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，用到了分類討論思想，本題第三問的關(guān)鍵是根據(jù)已知兩個(gè)點(diǎn)，按邊和對(duì)角線分類．5．A解析：（1）；（2）；（3）；（4）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或【分析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可得答案；（2）過作軸于，交于，根據(jù)拋物線解析式可得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式，設(shè)，根據(jù)BC解析式可表示出點(diǎn)H坐標(biāo)，即可表示出DH的長(zhǎng)，根據(jù)△BCD的面積列方程可求出x的值，即可得點(diǎn)D坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，可得BC為AP+CP的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得答案；（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MB//ND，MB=ND，分MB為邊和MB為對(duì)角線兩種情況，結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)即可得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）如圖，過作軸于，交于，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)的解析式為，則，解得，∴的解析式為：，設(shè)，則，∴，∵的面積是，∴，∴，解得：或3，∵點(diǎn)在直線右側(cè)的拋物線上，∴，∴的面積；（3）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，∴BC為AP+CP的最小值，∵B（4，0），C（0，-6），∴AP+CP的最小值=BC==．故答案為：（4）①當(dāng)MB為對(duì)角線時(shí)，MN//BD，MN=BD，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于E，過當(dāng)D作DF⊥x軸于F，∵點(diǎn)D（3，），∴DF=，在△MNE和△BDF中，，∴△MNE≌△BDF，∴DF=NE=，∵點(diǎn)D在x軸下方，MB為對(duì)角線，∴點(diǎn)N在x軸上方，∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，把y=代入拋物線解析式得：，解得：，，∴（，），（，）如圖，當(dāng)BM為邊時(shí)，MB//ND，MB=ND，∵點(diǎn)D（3，），∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，∴，解得：，（與點(diǎn)D重合，舍去），∴（，），綜上所述：存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，首先要掌握待定系數(shù)法求解析式，其次要添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，靈活運(yùn)用面積公式和平行四邊形的判定和性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解題．6．A解析：（1）；（2）的最大值為；（3）或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）構(gòu)造出△AGE∽△DEH，可得，而DE和AG都可以用含自變量的式子表示，最后用二次函數(shù)最大值的方法求值．（3）先發(fā)現(xiàn)△ABC是兩直角邊比為2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，構(gòu)造出△BPQ，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解即可．【詳解】解：（1）分別將C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）過A作AG∥y軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH∥y軸交BC于點(diǎn)H，∵B（2，0）C（0，1），∴直線BC：y＝x+1，∵A（-，0），∴G（-，），設(shè)D（），則H（），∴DH＝（）﹣（），＝﹣m2+2m，∴AG=，∵AG∥DH，∴，∴當(dāng)m＝1時(shí)，的最大值為．（3）符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（）．∵l∥BC，∴直線l的解析式為：y＝-x，設(shè)P（n，-n），∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∵△BPQ∽△CAB，∴，分兩種情況說明：①如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，∠NBP+∠MBQ＝90°，∠MQB+∠MBQ＝90°，∴∠NBP＝∠MQB．∴△NBP∽△MQB，∴，∵，∴，∴BN＝2﹣n，∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，∴OM＝OB+BM＝2+n，∴Q（2+n，2n﹣4），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，2n2+9n﹣8＝0，解得：∴P()．②如圖4，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵△PNB∽△BMQ，又∵△BPQ∽△CAB，∴，∵，∴Q（2﹣n，4﹣2n），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，化簡(jiǎn)得：2n2﹣9n+8＝0，解得：，∴P()．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．B解析：（1）；（2）P（2，1）；（3），，，【分析】（1）求出點(diǎn)B，帶入求解即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)分類討論即可；【詳解】（1）令，解得：，∴，令，則，∴，把，代入中，∴，∴，，∴；（2）設(shè)，，，∵Q為PD中點(diǎn)，∴，∴，∴，（舍），∴；（3）①如圖，由題意可得：為菱形的邊，為菱形的對(duì)角線，由（2）可得：，，設(shè)，，由可得：整理得：解得：檢驗(yàn)：不合題意舍去，取如圖，為菱形的邊，同理可得：或②如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由，，可得：重合，重合時(shí)，四邊形為菱形，綜上：，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．8．A解析：（1）點(diǎn)A、B在拋物線上，理由見解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，算出AC的解析式，交y軸于點(diǎn)，拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀．【詳解】（1）∵軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，∵，交y軸于點(diǎn)．且拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求．∴點(diǎn)A、B在拋物線上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了與待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及判斷點(diǎn)是否在圖像上，平移變換勾股定理等知識(shí)，求解析式是解題的關(guān)鍵．9．A解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA=4；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3．【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大．即當(dāng)直線y=-x+m與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足條件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；②過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由題意得，m+1=-m2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對(duì)角線，兩種情況分別求解即可．【詳解】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得：，故直線l的表達(dá)式為：y=﹣x﹣1，將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+3x+4；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大，所以P點(diǎn)在與直線AD平行并且與拋物線相切的直線上，即P點(diǎn)是這兩個(gè)圖像的唯一交點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，依題意有：，∴x2-4x+m-4=0∵直線y=-x+m與拋物線相切，即只有一個(gè)交點(diǎn)，∴42+4(m-4)=0∴m=8，∴x2-4x+4=0，∴x1=x2=2∴y=6由此得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6)②過P作PE⊥x軸于E點(diǎn)，由直線AC的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1，可得A(-1，0)C(0，-1)，∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠DAB=45°，∴當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，∠BAP=∠DAB，則∠BAP=45°，∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE=EA設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，依題意有m+1=﹣m2+3m+4，∴m1=3，m2=-1(舍去)，∴PE=EA=4，∴PA=4（3）NC=5，①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，﹣x2+3x+4)、則點(diǎn)M(x，﹣x﹣1)，由題意得：|yM﹣yP|=5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|=5，解得：x=2或0或4(舍去0)，則點(diǎn)M坐標(biāo)為(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)；②當(dāng)NC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則NC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，2)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m，﹣m2+3m+4)、則點(diǎn)M(n，﹣n﹣1)，N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則NC的中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，即：，2=，解得：m=0或﹣4(舍去0)，故點(diǎn)M(﹣4，3)；故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（1）減小，減小，減?。唬?）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案；（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，進(jìn)行描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，在函數(shù)中，∵,∴函數(shù)在中，隨的增大而減?。弧?，∴對(duì)稱軸為：，∴在中，隨的增大而減?。痪C合上述，在中，隨的增大而減??；故答案為：減小，減小，減?。唬?）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線，如圖：（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，無最大值；由（1）可知在中，隨的增大而減??；∴在中，有當(dāng)時(shí)，，∴m的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出函數(shù)圖像，并求函數(shù)的最大值．二、中考幾何壓軸題11．（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)解析：（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、角的和差即可求出的度數(shù)；（3）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再分別在和中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）在中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，同理可得：，，在中，，，，又，，，，，，，；（2）結(jié)論成立，理由如下：如圖，分別取AB的中點(diǎn)為M，取AD的中點(diǎn)為N，連接FM、CM、EN、FN，，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，是的中位線，，，同理可得：，，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，，，，，，，，，同理可得：，，在和中，，，，，是等邊三角形，，，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)G作，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，，，在中，，，，則在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，解析：（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，即可得到結(jié)論；（3）解決問題:可證△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示線段的長(zhǎng)，當(dāng)G點(diǎn)在線段AC上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，則AP＝AG，代入計(jì)算即可；當(dāng)G點(diǎn)在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，則△APG為等邊三角形，代入計(jì)算得到t．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴．故答案為：．（2）拓展探究（1）中的結(jié)論成立，∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴；（3）解決問題∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∵∠PMG＝30°，∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BPM＝∠CMG，又∠B＝∠C＝30°，∴△PBM∽△MCG，∴，由題意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，如圖1，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2BH＝4cm，∴MC＝（4t）cm，∴，即CG＝3t，當(dāng)G點(diǎn)在線段AC上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，則AP＝AG，如圖2，此時(shí)AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，∴4﹣3t＝t，解得：t＝1，當(dāng)G點(diǎn)在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，如圖3，此時(shí)∠PAG＝180°﹣120°＝60°，則△APG為等邊三角形，AP＝AG，此時(shí)AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，∴3t﹣4＝t，解得：t＝2，∴當(dāng)△APG為等腰三角形時(shí)，t的值為1或2．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握分類的思想方法是解題的關(guān)鍵．13．(1)①見解析；②CG=2EG；(2)見解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，解析：(1)①見解析；②CG=2EG；(2)見解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，再證明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；(2)先證得四邊形ABEC為正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得證；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，證得△AFG△BCG，即可求解；(4)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD，繼而得到，由△AFG△BCG，即可求解．【詳解】(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AD，∠DAF=90°，∴∠GAF=∠GAD=45°，在△AFG和△ADG中，，∴△AFG△ADG，∴AF=AD，∴AF=CD；②CG=2EG，理由如下：由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，∴AF∥BC，2AF=BC，∴△AFG△BCG，∴，∴CG=2FG，∵△AFG△ADG，∴FG=DG，即FG=EG，∴CG=2EG；(2)連接EB、EC，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE=AD，∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，∴四邊形ABEC為正方形，∴BC=AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AE，∠EAF=90°，∴∠GAF=∠GAE=45°，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG△AEG，∴AF=AE=BC，F(xiàn)G=EG，在△AFG和△BCG中，，∴△AFG△BCG，∴FG=CG，∴FG=CG=EG，∴CF=2EG；(3)同理得：FG=EG，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴，即，同理得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；(4)同理可得：FG=EG，BC=2AD，AF=AE，∵，∴，同理可得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長(zhǎng)BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求：BE＝16，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．15．（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根解析：（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根據(jù)平行線分線段成比例列方程即可求解；（3）連接，取的中點(diǎn)，連接，得兩條中位線，根據(jù)中位線定理，得平行，可找到相等角和線段，從而可得是等腰三角形，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）是四邊形的準(zhǔn)中位線，理由如下：∵，∴．又∵，，∴，∴，∴．又∵為中點(diǎn)，∴為四邊形的準(zhǔn)中位線．（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時(shí)．①如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：；②如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：，．綜上：當(dāng)或或時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）．證明如下：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，．，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題圍繞線段的中點(diǎn)考查了等腰三角形判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．解（2）的關(guān)鍵是由準(zhǔn)中位線圖形特征得出四邊形有一組對(duì)邊平行，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出和中位線定理相關(guān)的圖形．16．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．17．（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關(guān)系，得到BD解析：（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關(guān)系，得到BD,AC之間的關(guān)系.（2）類比（1）的解法，找線段之間的關(guān)系.(3)分情況進(jìn)行討論，畫出符合題意得圖形進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，設(shè)BC=m．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m，BC=m，∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，∴==，故BD=AC．故答案為：120°；BD=AC．（2）不成立，理由如下：設(shè)BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD為等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC=2n，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，∴==，，故BD=AC．答案為：90°；BD=AC．故結(jié)論不成立．（3）AP的長(zhǎng)為或．；解答如下：∵PB=PC，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四點(diǎn)共圓，以線段BC的中點(diǎn)為圓心構(gòu)造⊙O，如圖4，圖5，分類討論如下：①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，如圖4，作PM⊥AC，垂足為M，設(shè)PM=x．∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP為等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，解得：，（舍），∴AP==；②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，如圖5，作PN⊥AB的延長(zhǎng)線，垂足為N，設(shè)PN=y．同上可得PB=，△PAN為等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2，在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2，PB=，∴，解得：，（舍），∴AP==．故AP的長(zhǎng)度為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握類比思想解題是解決本題的關(guān)鍵．18．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題．【詳解】解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）點(diǎn)A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH