估值定理相關(guān)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù),則$f(x)$在$[a,b]$上的平均值為()A.$\frac{f(a)+f(b)}{2}$B.$\frac{1}{b-a}\int_{a}^f(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx$D.$f(\frac{a+b}{2})$答案：B2.若$m\leqf(x)\leqM$,$x\in[a,b]$,則$\int_{a}^mdx\leq\int_{a}^f(x)dx\leq$()A.$\int_{a}^Mdx$B.$M(b-a)$C.$m(b-a)$D.$\frac{M+m}{2}(b-a)$答案：A3.設(shè)$f(x)=x^2$在區(qū)間$[0,1]$上,利用估值定理可得$\int_{0}^{1}x^2dx$的取值范圍是()A.$[0,1]$B.$[0,\frac{1}{3}]$C.$[0,\frac{1}{2}]$D.$[0,\frac{1}{4}]$答案：B4.已知函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且$f(x)\geq0$,若$\int_{a}^f(x)dx=0$,則()A.$f(x)$在$[a,b]$上恒為$0$B.$f(x)$在$[a,b]$上不恒為$0$C.$f(x)$在$[a,b]$上有正有負(fù)D.無(wú)法確定答案：A5.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$,$m=\min_{x\in[a,b]}f(x)$,則$\int_{a}^f(x)dx$與$M(b-a)$的大小關(guān)系是()A.$\int_{a}^f(x)dx\gtM(b-a)$B.$\int_{a}^f(x)dx=M(b-a)$C.$\int_{a}^f(x)dx\ltM(b-a)$D.不確定答案：C6.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上()A.至少有一個(gè)零點(diǎn)B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.沒(méi)有零點(diǎn)D.零點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定答案：A7.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$f(x)\geq0$,且$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上()A.恒大于$0$B.恒小于$0$C.恒等于$0$D.不恒等于$0$答案：C8.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$M=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|$,則$|\int_{a}^f(x)dx|$()A.$\leqM(b-a)$B.$\gtM(b-a)$C.$=M(b-a)$D.無(wú)法比較答案：A9.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$f(x)\geq0$,若$\int_{a}^f(x)dx\gt0$,則()A.$f(x)$在$[a,b]$上恒大于$0$B.$f(x)$在$[a,b]$上有大于$0$的部分C.$f(x)$在$[a,b]$上恒小于$0$D.不確定答案：B10.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx$,則()A.$f(x)=g(x)$B.$f(x)\geqg(x)$C.$f(x)\leqg(x)$D.不能得出$f(x)=g(x)$答案：D二、多項(xiàng)選擇題1.關(guān)于估值定理,以下說(shuō)法正確的是()A.若$m\leqf(x)\leqM$,$x\in[a,b]$,則$m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$B.估值定理可用于估計(jì)定積分的值的范圍C.當(dāng)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)時(shí),估值定理一定成立D.估值定理只適用于單調(diào)函數(shù)答案:ABC2.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),下列能利用估值定理的有（）A.估計(jì)$\int_{a}^f(x)dx$的取值范圍B.比較$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_{a}^g(x)dx$的大小C.判斷$f(x)$在$[a,b]$上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)D.計(jì)算$\int_{a}^f(x)dx$的精確值答案:AB3.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$,$m=\min_{x\in[a,b]}f(x)$,則（）A.$\int_{a}^mdx=m(b-a)$B.$\int_{a}^Mdx=M(b-a)$C.$m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$D.$\int_{a}^f(x)dx=\frac{M+m}{2}(b-a)$答案:ABC4.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且滿足一定條件,以下結(jié)論正確的是()A.若$f(x)\geq0$,$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上恒為$0$B.若$f(x)\leq0$,$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上恒為$0$C.若$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上至少有一個(gè)零點(diǎn)D.若$f(x)$在$[a,b]$上有正有負(fù),$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上零點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定答案:ABC5.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),關(guān)于$\int_{a}^f(x)dx$與$f(x)$的關(guān)系,正確的是()A.若$f(x)$在$[a,b]$上恒大于$0$,則$\int_{a}^f(x)dx\gt0$B.若$f(x)$在$[a,b]$上恒小于$0$,則$\int_{a}^f(x)dx\lt0$C.若$\int_{a}^f(x)dx\gt0$,則$f(x)$在$[a,b]$上恒大于$0$D.若$\int_{a}^f(x)dx\lt0$,則$f(x)$在$[a,b]$上恒小于$0$答案:AB6.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$M=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|$,則（）A.$|\int_{a}^f(x)dx|\leqM(b-a)$B.當(dāng)$f(x)$為常數(shù)函數(shù)時(shí),$|\int_{a}^f(x)dx|=M(b-a)$C.若$f(x)$不恒為常數(shù),則$|\int_{a}^f(x)dx|\ltM(b-a)$D.$|\int_{a}^f(x)dx|\geqM(b-a)$答案:ABC7.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),以下能通過(guò)估值定理得到的有（）A.確定$\int_{a}^f(x)dx$的大致取值范圍B.判斷$\int_{a}^f(x)dx$與某個(gè)常數(shù)的大小關(guān)系C.估計(jì)$f(x)$在$[a,b]$上的最值D.計(jì)算$\int_{a}^f(x)dx$的近似值答案:AB8.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx$,則（）A.不能直接得出$f(x)=g(x)$B.有可能$f(x)\neqg(x)$C.當(dāng)$f(x)$和$g(x)$都是線性函數(shù)時(shí),$f(x)=g(x)$D.若$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上非負(fù),則$f(x)=g(x)$答案:AB9.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),關(guān)于$\int_{a}^f(x)dx$,下列說(shuō)法正確的是（）A.它是一個(gè)確定的數(shù)值B.其值與$f(x)$在$[a,b]$上的取值有關(guān)C.若$f(x)$在$[a,b]$上有界,則$\int_{a}^f(x)dx$有界D.若$f(x)$在$[a,b]$上無(wú)界,則$\int_{a}^f(x)dx$無(wú)界答案:ABC10.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),利用估值定理可以（）A.對(duì)$\int_{a}^f(x)dx$進(jìn)行初步的范圍估計(jì)B.比較不同函數(shù)在同一區(qū)間上積分值的大小C.研究$f(x)$在$[a,b]$上的積分性質(zhì)D.求出$f(x)$在$[a,b]$上的原函數(shù)答案:ABC三、判斷題1.若$m\leqf(x)\leqM$,$x\in[a,b]$,則$\int_{a}^mdx\lt\int_{a}^f(x)dx\lt\int_{a}^Mdx$。()答案：×2.估值定理對(duì)任意在區(qū)間$[a,b]$上有定義的函數(shù)都成立。()答案：×3.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),若$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上恒為$0$。()答案：×4.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$,則$\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$。()答案：√5.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且$f(x)\geq0$,$\int_{a}^f(x)dx=0$,則$f(x)$在$[a,b]$上至少有一個(gè)零點(diǎn)。()答案：×6.估值定理只能用于估計(jì)定積分的下限。()答案：×7.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),若$\int_{a}^f(x)dx\gt0$,則$f(x)$在$[a,b]$上恒大于$0$。()答案：×8.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$m=\min_{x\in[a,b]}f(x)$,則$\int_{a}^f(x)dx\geqm(b-a)$。()答案：√9.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),且$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx$,則$f(x)=g(x)$。()答案：×10.估值定理可用于計(jì)算一些復(fù)雜函數(shù)的定積分精確值。()答案：×四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述估值定理的內(nèi)容。答案:若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù),且$m\leqf(x)\leqM$,則$m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$。2.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$f(x)\geq0$,且$\int_{a}^f(x)dx=0$,能得出什么結(jié)論?答案:可得出$f(x)$在$[a,b]$上恒為$0$。因?yàn)槿舸嬖谝稽c(diǎn)使$f(x)\gt0$,由連續(xù)性及$f(x)\geq0$,積分值必大于$0$,與已知矛盾。3.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù),$M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$,$m=\min_{x\in[a,b]}f(x)$,說(shuō)明$\int_{a}^f(x)dx$與$M(b-a)$、$m(b-a)$的關(guān)系。答案：$m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$。因?yàn)?f(x)$取值介于$m$與$M$之間,積分是函數(shù)值的累積,所以積分值在$m(b-a)$和$M(b-a)$之間。4.利用估值定理估計(jì)$\int_{0}^{1}x^3dx$的范圍。答案:在$[0,1]$上,$f(x)=x^3$,$m=0$,$M=1$,由估值定理得$0\times(1-0)\leq\int_{0}^{1}x^3dx\leq1\times(1-0)$,即$0\leq\int_{0}^{1}x^3dx\leq1$。五、討論題1.如何根據(jù)估值定理判斷一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上積分值的大致范圍?答案:先找出函數(shù)在區(qū)間上的最值,再用最值與區(qū)間長(zhǎng)度相乘得到積分值的上下限范圍。如$f(x)$在$[a,b]$上,$M=\maxf(x)$,$m=\minf(x)$,則$m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$。2.已知$\int_{a}^f(x)dx=0$