金融考研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種隨機過程通常用于模擬股票價格的變動？

A.馬爾可夫鏈

B.布朗運動

C.泊松過程

D.離散時間隨機游走

2.無風(fēng)險利率在金融數(shù)學(xué)中的主要作用是什么？

A.作為基準利率

B.衡量市場風(fēng)險

C.計算投資回報

D.確定資產(chǎn)定價模型

3.在Black-Scholes期權(quán)定價模型中，下列哪一項是模型的假設(shè)條件？

A.標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布

B.期權(quán)為歐式期權(quán)

C.無風(fēng)險利率是恒定的

D.以上都是

4.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種方法常用于計算期權(quán)的Delta值？

A.數(shù)值模擬

B.求解偏微分方程

C.泰勒展開

D.以上都不是

5.在金融衍生品定價中，下列哪一種模型屬于多因素模型？

A.Black-Scholes模型

B.Heath-Jarrow-Morton模型

C.Black模型

D.Cox-Ross-Rubinstein模型

6.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種方法常用于計算期權(quán)的Gamma值？

A.數(shù)值模擬

B.求解偏微分方程

C.泰勒展開

D.以上都不是

7.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種模型常用于描述利率的動態(tài)行為？

A.Vasicek模型

B.Black-Scholes模型

C.幾何布朗運動

D.以上都不是

8.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種方法常用于計算期權(quán)的Vega值？

A.數(shù)值模擬

B.求解偏微分方程

C.泰勒展開

D.以上都不是

9.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種模型常用于描述股票價格的波動率？

A.GARCH模型

B.Black-Scholes模型

C.Vasicek模型

D.幾何布朗運動

10.在金融數(shù)學(xué)中，下列哪一種方法常用于計算期權(quán)的Theta值？

A.數(shù)值模擬

B.求解偏微分方程

C.泰勒展開

D.以上都不是

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是金融數(shù)學(xué)中常用的隨機過程？

A.馬爾可夫鏈

B.布朗運動

C.泊松過程

D.離散時間隨機游走

E.蒙特卡洛模擬

2.下列哪些是Black-Scholes期權(quán)定價模型的假設(shè)條件？

A.標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布

B.期權(quán)為歐式期權(quán)

C.無風(fēng)險利率是恒定的

D.沒有交易成本

E.沒有稅收

3.下列哪些方法可以用于計算期權(quán)的希臘字母？

A.數(shù)值模擬

B.求解偏微分方程

C.泰勒展開

D.有限差分法

E.以上都是

4.下列哪些模型常用于描述利率的動態(tài)行為？

A.Vasicek模型

B.Cox-Ingersoll-Ross模型

C.Black-Derman-Toy模型

D.geometric布朗運動

E.以上都是

5.下列哪些模型常用于描述股票價格的波動率？

A.GARCH模型

B.ARCH模型

C.匯率模型

D.geometric布朗運動

E.以上都是

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在金融數(shù)學(xué)中，__無風(fēng)險利率__是指在沒有風(fēng)險的情況下可以獲得的利率，它是許多金融模型的重要參數(shù)。

2.Black-Scholes期權(quán)定價模型假設(shè)標的資產(chǎn)價格服從__幾何布朗運動__，這一假設(shè)是模型能夠成立的基礎(chǔ)。

3.期權(quán)的Delta值表示期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格變動的敏感度，它是期權(quán)希臘字母中的一種，用于衡量__期權(quán)價格變動與標的資產(chǎn)價格變動之間的關(guān)系__。

4.在金融數(shù)學(xué)中，__蒙特卡洛模擬__是一種常用的數(shù)值方法，用于模擬金融衍生品的定價，特別是在處理路徑依賴性衍生品時。

5.__Vasicek模型__是一種描述利率動態(tài)行為的模型，它假設(shè)利率的變動服從一個均值回復(fù)過程，這一模型在利率衍生品的定價中得到了廣泛應(yīng)用。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.假設(shè)某股票當前價格為50元，無風(fēng)險年利率為5%，股票的波動率為30%，期限為1年的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為55元。請使用Black-Scholes模型計算該期權(quán)的價格。

2.假設(shè)某股票當前價格為60元，無風(fēng)險年利率為4%，股票的波動率為25%，期限為6個月的歐式看跌期權(quán)執(zhí)行價格為65元。請使用Black-Scholes模型計算該期權(quán)的價格。

3.假設(shè)某股票當前價格為70元，無風(fēng)險年利率為6%，股票的波動率為35%，期限為1年的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為75元。請計算該期權(quán)的Delta值。

4.假設(shè)某利率衍生品基于Vasicek模型，利率的均值回復(fù)速度為0.1，利率的波動率為0.2，無風(fēng)險年利率為5%，期限為2年。請計算該利率在期限為2年時的預(yù)期值。

5.假設(shè)某股票當前價格為80元，無風(fēng)險年利率為3%，股票的波動率為20%，期限為1年的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為80元。請使用二叉樹模型計算該期權(quán)的價格。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B.布朗運動

解析：布朗運動是金融數(shù)學(xué)中模擬股票價格變動最常用的隨機過程，它描述了價格在連續(xù)時間內(nèi)的隨機波動。

2.A.作為基準利率

解析：無風(fēng)險利率在金融數(shù)學(xué)中主要作為基準利率，用于比較和衡量其他資產(chǎn)的風(fēng)險溢價。

3.D.以上都是

解析：Black-Scholes模型的假設(shè)條件包括標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布、期權(quán)為歐式期權(quán)、無風(fēng)險利率是恒定的等。

4.C.泰勒展開

解析：計算期權(quán)的Delta值通常使用泰勒展開法，通過期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格的偏導(dǎo)數(shù)來計算。

5.B.Heath-Jarrow-Morton模型

解析：Heath-Jarrow-Morton模型是一個多因素模型，用于描述利率的動態(tài)行為和期限結(jié)構(gòu)。

6.C.泰勒展開

解析：計算期權(quán)的Gamma值同樣使用泰勒展開法，通過期權(quán)Delta值對標的資產(chǎn)價格的偏導(dǎo)數(shù)來計算。

7.A.Vasicek模型

解析：Vasicek模型是一個常用于描述利率動態(tài)行為的模型，它假設(shè)利率的變動服從一個均值回復(fù)過程。

8.A.數(shù)值模擬

解析：計算期權(quán)的Vega值通常使用數(shù)值模擬方法，通過模擬波動率變化對期權(quán)價格的影響來計算。

9.A.GARCH模型

解析：GARCH模型是一個常用于描述股票價格波動率的模型，它考慮了波動率的時變性和自相關(guān)性。

10.C.泰勒展開

解析：計算期權(quán)的Theta值同樣使用泰勒展開法，通過期權(quán)價格對時間的偏導(dǎo)數(shù)來計算。

二、多項選擇題答案及解析

1.A.馬爾可夫鏈,B.布朗運動,C.泊松過程,D.離散時間隨機游走

解析：這些都是在金融數(shù)學(xué)中常用的隨機過程，用于模擬金融資產(chǎn)的價格行為。

2.A.標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布,B.期權(quán)為歐式期權(quán),C.無風(fēng)險利率是恒定的,D.沒有交易成本,E.沒有稅收

解析：這些都是Black-Scholes期權(quán)定價模型的假設(shè)條件，這些假設(shè)簡化了模型的數(shù)學(xué)處理。

3.A.數(shù)值模擬,B.求解偏微分方程,C.泰勒展開,D.有限差分法,E.以上都是

解析：這些方法都可以用于計算期權(quán)的希臘字母，每種方法都有其適用的場景和優(yōu)缺點。

4.A.Vasicek模型,B.Cox-Ingersoll-Ross模型,C.Black-Derman-Toy模型

解析：這些模型都是常用于描述利率動態(tài)行為的模型，它們在不同的假設(shè)下提供了不同的利率行為描述。

5.A.GARCH模型,B.ARCH模型

解析：GARCH模型和ARCH模型都是常用于描述股票價格波動率的模型，它們考慮了波動率的時變性和自相關(guān)性。

三、填空題答案及解析

1.無風(fēng)險利率

解析：無風(fēng)險利率是金融數(shù)學(xué)中的基本概念，它表示在沒有風(fēng)險的情況下可以獲得的利率，是許多金融模型的重要參數(shù)。

2.幾何布朗運動

解析：幾何布朗運動是Black-Scholes期權(quán)定價模型的一個關(guān)鍵假設(shè)，它描述了標的資產(chǎn)價格在連續(xù)時間內(nèi)的隨機波動。

3.期權(quán)價格變動與標的資產(chǎn)價格變動之間的關(guān)系

解析：Delta值是期權(quán)希臘字母中的一種，表示期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格變動的敏感度，用于衡量兩者之間的關(guān)系。

4.蒙特卡洛模擬

解析：蒙特卡洛模擬是一種常用的數(shù)值方法，通過模擬大量隨機路徑來計算金融衍生品的定價，特別是在處理路徑依賴性衍生品時。

5.Vasicek模型

解析：Vasicek模型是一個描述利率動態(tài)行為的模型，它假設(shè)利率的變動服從一個均值回復(fù)過程，在利率衍生品的定價中得到了廣泛應(yīng)用。

四、計算題答案及解析

1.Black-Scholes模型計算期權(quán)價格

解析：使用Black-Scholes公式計算歐式看漲期權(quán)價格：

C=SN(d1)-Xe^(-rt)N(d2)

其中：

S=標的資產(chǎn)價格=50元

X=執(zhí)行價格=55元

r=無風(fēng)險年利率=5%=0.05

t=期限=1年

σ=股票波動率=30%=0.3

d1=(ln(S/X)+(r+σ^2/2)t)/(σsqrt(t))

d2=d1-σsqrt(t)

N(d1)和N(d2)是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)值

計算得：

d1=(ln(50/55)+(0.05+0.3^2/2)*1)/(0.3*sqrt(1))=0.0747

d2=0.0747-0.3*sqrt(1)=-0.2253

N(d1)≈0.5293,N(d2)≈0.4109

C=50*0.5293-55*e^(-0.05*1)*0.4109≈7.05元

2.Black-Scholes模型計算期權(quán)價格

解析：使用Black-Scholes公式計算歐式看跌期權(quán)價格：

P=Xe^(-rt)N(-d2)-SN(-d1)

計算得：

d1=(ln(60/65)+(0.04+0.25^2/2)*0.5)/(0.25*sqrt(0.5))=-0.3714

d2=-0.3714-0.25*sqrt(0.5)=-0.5214

N(-d1)≈0.6480,N(-d2)≈0.6985

P=65*e^(-0.04*0.5)*0.6985-60*0.6480≈4.72元

3.計算期權(quán)Delta值

解析：使用Black-Scholes公式計算Delta值：

Delta=N(d1)

計算得：

d1=(ln(70/75)+(0.06+0.35^2/2)*1)/(0.35*sqrt(1))=-0.1747

N(d1)≈0.4319

Delta≈0.4319

4.Vasicek模型計算利率預(yù)期值

解析：Vasicek模型假設(shè)利率的動態(tài)行為服從以下方程：

dr_t=a(b-r_t)dt+σdW_t

其中：

a=均值回復(fù)速度=0.1

b=利率的長期均值=5%=0.05

σ=利率的波動率=0.2

t=期限=2年

利率在期限為2年時的預(yù)期值為：

E[r_2]=b=0.05

5.二叉樹模型計算期權(quán)價格

解析：使用二叉樹模型計算歐式看漲期權(quán)價格，需要構(gòu)建一個二叉樹，模擬股票價格在時間上的變化，并計算期權(quán)在樹上的價值。具體步驟如下：

1.構(gòu)建二叉樹：假設(shè)股票價格有兩種可能的變化，上漲或下跌，分別記為u和d。

2.計算上行和下行概率：根據(jù)風(fēng)險中性測度，計算上行和下行概率。

3.計算期權(quán)在樹上的價值：從樹的最末端開始，逐步計算期權(quán)在樹上的價值，直到根節(jié)點。

4.折現(xiàn)期權(quán)價值：將期權(quán)在樹上的價值折現(xiàn)到當前時間，得到期權(quán)的價格。

知識點分類和總結(jié)

1.隨機過程：布朗運動、馬爾可夫鏈、泊松過程、離散時間隨機游走

2.期權(quán)定價模型：Black-Scholes模型、二叉樹模型

3.希臘字母：Delta、Gamma、Vega、Theta

4.利率模型：Vasicek模型、Cox-Ingersoll-Ross模型、Black-Derman-Toy模型

5.波動率模型：GARCH模型、ARCH模型

各題型所考察學(xué)生的