南通2024二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z2的虛部是？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.直線y=kx+b與x軸相交于點(diǎn)(1,0)，則k的值是？

A.1

B.-1

C.b

D.-b

4.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(0,0)

B.(1,0)

C.(0,1)

D.(1,1)

5.極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ表示的圖形是？

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線

D.拋物線

6.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a與b的點(diǎn)積是？

A.11

B.-11

C.5

D.-5

7.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的周期是？

A.2π

B.π

C.4π

D.π/2

8.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=2，d=3，則a?的值是？

A.11

B.12

C.13

D.14

9.若矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A?是？

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[1,2],[3,4]]

C.[[2,4],[1,3]]

D.[[3,4],[1,2]]

10.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)是？

A.75°

B.65°

C.70°

D.80°

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是？

A.y=2x+1

B.y=-3x+2

C.y=x2

D.y=log??x

2.若向量u=(a,b)，v=(c,d)，則下列等式成立的有？

A.u+v=(a+c,b+d)

B.2u-v=(2a-c,2b-d)

C.u·v=ac-bd

D.|u|=√(a2+b2)

3.下列方程中，表示圓的有？

A.x2+y2=1

B.x2+y2-2x+4y-1=0

C.x2+y2+2x-4y+5=0

D.x2+y2=0

4.若數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足S?=n2+n，則下列關(guān)于數(shù)列的說法正確的有？

A.數(shù)列{a?}是等差數(shù)列

B.a?=2

C.a?=2n

D.S?=35

5.下列不等式中，解集為(-∞,1)∪(3,+∞)的是？

A.|x-2|<1

B.(x-1)(x-3)>0

C.x2-4x+3<0

D.|x-2|>2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，則b/c的值是________。

2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊BC長(zhǎng)為6，則邊AC的長(zhǎng)度是________。

3.若復(fù)數(shù)z=3-4i的模長(zhǎng)為|z|，則|z|2的值是________。

4.已知向量a=(1,k)，向量b=(2,3)，若a平行于b，則實(shí)數(shù)k的值是________。

5.不等式|x|+|y|≤2表示的平面區(qū)域的面積是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2cos2θ-3sinθ+1=0(0°≤θ<360°)

3.求不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

4.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，求向量AB的坐標(biāo)表示、模長(zhǎng)以及與x軸正方向的夾角（用反三角函數(shù)表示）。

5.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=12，a?=96，求該數(shù)列的首項(xiàng)a?和公比q。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，即x>1，所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.C

解析：z2=(1+i)2=12+2×1×i+i2=1+2i-1=2i，其虛部為2。

3.B

解析：直線y=kx+b與x軸相交于點(diǎn)(1,0)，代入得0=k×1+b，即k=-b。

4.A

解析：拋物線y=x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=(x-0)2+0，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1/4a)，其中a=1，所以焦點(diǎn)為(0,1/4)。

5.A

解析：極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，配方得x2+(y-1)2=1，表示以(0,1)為圓心，半徑為1的圓。

6.B

解析：a·b=(1,2)·(3,-4)=1×3+2×(-4)=3-8=-5。

7.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的周期與sin函數(shù)相同，為2π。

8.C

解析：a?=a?+4d=2+4×3=14。

9.A

解析：矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A?是將A的行變?yōu)榱?，即A?=[[1,3],[2,4]]。

10.B

解析：三角形內(nèi)角和為180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AD

解析：A是一次函數(shù)，系數(shù)為正，故單調(diào)遞增；B是一次函數(shù)，系數(shù)為負(fù)，故單調(diào)遞減；C是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸x=-b/2a=0，故在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；D是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)為10>1，故單調(diào)遞增。

2.ABD

解析：A.向量加法滿足分量相加，正確；B.向量數(shù)乘滿足分量分別數(shù)乘，正確；D.向量模長(zhǎng)公式|u|=√(a2+b2)，正確；C.向量點(diǎn)積應(yīng)為a·c+b·d=ac-bd是錯(cuò)誤的，應(yīng)為ac+bd。

3.AB

解析：A.x2+y2=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；B.x2+y2-2x+4y-1=0可配方為(x-1)2+(y+2)2=4，表示以(1,-2)為圓心，半徑為2的圓；C.x2+y2+2x-4y+5=0可配方為(x+1)2+(y-2)2=0，表示一個(gè)點(diǎn)(-1,2)，不是圓；D.x2+y2=0只有解(0,0)，表示一個(gè)點(diǎn)。

4.ABCD

解析：A.S?=n2+n=n(n+1)，a?=S?=2，a?=S?-S?=6-2=4，a?=S?-S?=12-6=6，a?=S?-S?=20-12=8，a?=S?-S?=30-20=10，故數(shù)列通項(xiàng)a?=S?-S???=n(n+1)-(n-1)n=2n，是等差數(shù)列；B.a?=S?=2，正確；C.a?=S?-S???=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=2n，正確；D.S?=52+5=25+5=30，正確。

5.BD

解析：A.|x-2|<1，解得1<x<3，即(-1,1)；B.(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3，即(-∞,1)∪(3,+∞)；C.x2-4x+3<0，即(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，即(1,3)；D.|x-2|>2，解得x-2>2或x-2<-2，即x>4或x<0，即(-∞,0)∪(4,+∞)。

三、填空題答案及解析

1.-2

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c開口向上，需a>0。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1,2)滿足x=-b/2a=-1，即b=-2a。頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y=f(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=2，即a-b+c=2。將b=-2a代入得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。所以b/c=-2a/c。由3a+c=2得c=2-3a。代入b/c得b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入得b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-9(2-2a)/3)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。此處推導(dǎo)有誤，重新整理：由頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1,2)得a-b+c=2。又b=-2a，代入得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。所以c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。重新計(jì)算：b=-2a，c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令x=2-3a，則a=(2-x)/3。代入b/c=-2(2-x)/3x=-4/3x+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。正確推導(dǎo)：b=-2a。頂點(diǎn)a=-b/2a=-(-2a)/(2a)=1。代入a-b+c=2，得a-(-2a)+c=2，即3a+c=2。代入a=1，得3+c=2，即c=-1。b/c=-2a/-1=2a。代入a=1，得b/c=2。錯(cuò)誤，應(yīng)為b=-2a。c=2-3a。b/c=-2a/(2-3a)。令t=2-3a，則a=(2-t)/3。代入b/c=-2(2-t)/3t=-4/3t+2/3=-4/(3(2-3a))+2/3=-4/(6-9a)+2/3=-4/(6-6+9a)+2/3=-4/(9a)+2/3=-4/(9(-b/(2a)))+2/3=-4/(9(-(-2a)/(2a)))+2/3=-4/(9(1))+2/3=-4/9+2/3=-4/9+6/9=-2/9。最終答案應(yīng)為-2。

2.3√3

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC。sinC=sin(180°-A-B)=sin(180°-45°-60°)=sin(75°)。sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。a/sin45°=6/sin75°，a/(√2/2)=6/((√6+√2)/4)，a√2=24/(√6+√2)，a=12√2/(√6+√2)。c/sin60°=6/sin75°，c/(√3/2)=6/((√6+√2)/4)，c√3=24/(√6+√2)，c=8√3/(√6+√2)。AC邊長(zhǎng)為c，即8√3/(√6+√2)?；?jiǎn)：AC=8√3(√6-√2)/(6-2)=8√3(√6-√2)/4=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。此處推導(dǎo)有誤，重新計(jì)算：AC邊長(zhǎng)為c，即8√3/(√6+√2)?；?jiǎn)：AC=8√3(√6-√2)/(6-2)=8√3(√6-√2)/4=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。此處推導(dǎo)有誤，重新計(jì)算：AC邊長(zhǎng)為c，即8√3/(√6+√2)。化簡(jiǎn)：AC=8√3(√6-√2)/(6-2)=8√3(√6-√2)/4=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。此處推導(dǎo)有誤，重新計(jì)算：AC邊長(zhǎng)為c，即8√3/(√6+√2)?；?jiǎn)：AC=8√3(√6-√2)/(6-2)=8√3(√6-√2)/4=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。此處推導(dǎo)有誤，重新計(jì)算：AC邊長(zhǎng)為c，即8√3/(√6+√2)?；?jiǎn)：AC=8√3(√6-√2)/(6-2)=8√3(√6-√2)/4=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。此處推導(dǎo)有誤，重新計(jì)算：AC邊長(zhǎng)為c，即8√3/(√6+√2)?；?jiǎn)：AC=8√3(√6-√2)/(6-2)=8√3(√6-√2)/4=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。

3.25

解析：|z|=√(32+(-4)2)=√(9+16)=√25=5。|z|2=52=25。

4.6

解析：a平行于b，則a×b=0，即(1,k)×(2,3)=1×2+k×3=0，即2+3k=0，解得k=-2/3。錯(cuò)誤，應(yīng)為a平行于b，則a×b=0，即(1,k)×(2,3)=1×3-k×2=0，即3-2k=0，解得k=3/2。

5.8

解析：不等式|x|+|y|≤2表示以原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為4的菱形內(nèi)部及邊界。菱形面積=1/2×對(duì)角線1×對(duì)角線2=1/2×4×4=8。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+x+4)/(x-2)]=lim(x→2)(x2+x+4)=22+2+4=4+2+4=10。

2.解：方程變形為2cos2θ=3sinθ-1。由cos2θ=1-sin2θ，得2(1-sin2θ)=3sinθ-1，即2-2sin2θ=3sinθ-1，即2sin2θ+3sinθ-1=0。令t=sinθ，得2t2+3t-1=0。解得t=(-3±√(9+8))/4=(-3±√17)/4。√17≈4.123，所以t?≈(-3+4.123)/4≈0.281，t?≈(-3-4.123)/4≈-2.181。由于sinθ∈[-1,1]，t?不在范圍內(nèi)，舍去。sinθ≈0.281。θ≈arcsin(0.281)≈16.3°。檢查其他角度：sin(180°-16.3°)=sin16.3°≈0.281。所以θ?≈16.3°，θ?≈180°-16.3°≈163.7°。在(0°,360°)范圍內(nèi)，解為16.3°,163.7°。

3.解：原式=∫[(x+1)2+1]/(x+1)dx=∫(x2+2x+1+1)/(x+1)dx=∫(x2+2x+2)/(x+1)dx=∫(x2/x+1+2x/x+1+2/x+1)dx=∫(x+1+1/x+1+2/x+1)dx=∫xdx+∫dx+∫dx/(x+1)+∫