第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省漳州市華安一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某物體沿直線運(yùn)動，位移y(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系為y(t)=1?2t+t2，則該物體在t=3s時的瞬時速度是(

)A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s2.已知A(2,1,1)，B(4,?1,m)，C(6,n,2)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m+n的值為(

)A.32 B.?32 C.?33.已知a=(?1,2,2)，b=(1,1,1)，則a在b上的投影向量為(

)A.(33,33,4.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=90090,x>390?x3A.150 B.200 C.250 D.3005.如圖，在三棱錐M?ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，MA=23，F(xiàn)是MC的中點(diǎn)，則異面直線MB與AF所成角的余弦值是(

)A.33

B.34

C.6.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，滿足f(x)+f′(x)>0(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))，設(shè)a=ef(1)，b=e3f(3)，c=eA.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b7.函數(shù)f(x)=2+lnx與函數(shù)g(x)=ex公切線的斜率為(

)A.1 B.±e C.1或e D.1或e8.已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2，在其圖象上任取兩個不同的點(diǎn)P(x1,y1)A.[4,+∞) B.[1,+∞) C.(4,+∞) D.(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題(

)A.?3是函數(shù)y=f(x)的極值

B.函數(shù)y=f(x)有最小值無最大值

C.y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調(diào)遞增

D.y=f(x)在x=1處切線的斜率小于零10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是(

)A.若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底，則a+b，a+b+c，c必共面

B.若空間中任意一點(diǎn)O，有OP=13OA+16OB+12OC，則P，A，B11.已知函數(shù)f(x)=x3?|3xA.f(x)只有1個極小值點(diǎn)

B.曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線斜率為9

C.當(dāng)f(x)有3個零點(diǎn)時，m的取值范圍為(?3,1)

D.當(dāng)f(x)只有1個零點(diǎn)時，m的取值范圍為(?∞,?3)∪(1,+∞)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(?1,1,1)，b=(m,0,1)，若(a+b13.若函數(shù)f(x)=x3?ax2?bx+a2在14.已知x>0，e2x?2lnx+(4?a)x≥2lna恒成立，則正數(shù)a的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1在x=?1及x=3處取得極值．

(1)求a，b的值；

(2)16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于點(diǎn)E，D為CC1的中點(diǎn)．

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?12x2，a∈R．

(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的極值點(diǎn)；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)f(x)在[1,e]上恒小于018.(本小題17分)

圖1是邊長為2的正方形ABCD，將△ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐P?ABC，且PB=2．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得平面ABC與平面MBC的夾角的余弦值為5319.(本小題17分)

函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題，即函數(shù)的凹凸性，函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線上相應(yīng)點(diǎn)(即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn))的位置關(guān)系來描述定義如下：

設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，如果對D上任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，則稱f(x)在區(qū)間D上的圖形是凹的(圖1)，區(qū)間D為f(x)凹的區(qū)間；

設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，如果對D上任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，則稱f(x)在區(qū)間D上的圖形是凸的(圖2)，區(qū)間D為f(x)凸的區(qū)間；

關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：

設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，在區(qū)間D上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

①如果f(x)在D上恒有f″(x)>0，則f(x)在區(qū)間D上的圖象是凹的；如果f(x)在區(qū)間D上的圖象是凹的，則f(x)在D上恒有f″(x)>0；

②如果f(x)在D上恒有f″(x)<0，則f(x)在區(qū)間D上的圖象是凸的；如果f(x)在區(qū)間D上的圖象是凸的，則f(x)在D上恒有f″(x)<0；

其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，為f(x)的一階導(dǎo)數(shù)；f″(x)參考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.D

6.B

7.C

8.A

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.4

13.15

14.(0,2e]

15.(1)由題意可得f′(x)=3x2+2ax+b，

由f(x)在x=?1及x=3處取得極值，可得f′(x)=0的兩根為x=?1，x=3，

所以3?2a+b3?2a+b=027+6a+b=0，解得a=?3b=?9，

此時f′(x)=3x2?6x?9=3(x+1)(x?3)，

所以f(x)在區(qū)間(?∞,?1)，(3,+∞)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

在區(qū)間(?1,3)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以x=?1及x=3是極值點(diǎn)，符合題意．

所以a=?3，b=?9．

(2)由(1)得f(x)=x3?3x2?9x+1，f′(x)=3x2?6x?916.解：(1)證明：因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1為直三棱柱，

所以AA1⊥平面ABC，又AC?平面ABC，

所以AA1⊥AC，

又AC⊥AB，AB∩AA1=1，AB?平面AA1B1B，AA1?平面AA1B1B，

所以AC⊥平面AA1B1B，

因?yàn)锽E?平面AA1B1B，

所以AC⊥BE，

又因?yàn)锽E⊥AB1，AC∩AB1=A，AC?平面AB1C，AB1?平面AB1C，

所以BE⊥平面AB1C；

(2)由(1)知AB，AC，AA1兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0)，B1(2,0,4)，C(0,2,0)，B(2,0,0)17.解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=lnx?12x2，定義域?yàn)?0,+∞)．

f′(x)=1x?x=1?x2x=(1?x)(1+x)x，

令f′(x)=0，得x=1，

當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

f(x)在x=1時取得極大值，無極小值．

所以f(x)的極大值點(diǎn)是x=1，無極小值點(diǎn)．

(2)f(x)=alnx?12x2，則f′(x)=ax?x=?x2+ax，x>0，

當(dāng)a>0時，f′(x)=?(x+a)(x?a)x，

x∈(0,a)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

x∈[a,+∞),f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

當(dāng)a≤0時，f′(x)=?x2+ax<0恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減．

綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，函數(shù)在(0,a)上單調(diào)遞增，在[a,+∞)上單調(diào)遞減．

(3)函數(shù)f(x)在[1,e]上恒小于0，等價于f(x)max≤0．

由(2)知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減，故f(x)max18.解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OP，

在正方形ABCD中，OB=OD=OP=1，并且OB⊥AC，

在△OBP中，PB2=OP2+OB2，所以O(shè)B⊥OP，

因?yàn)镺P∩AC=O，OP，AC?平面PAC，

所以O(shè)B⊥平面PAC，而OB?平面ABC，

所以平面PAC⊥平面ABC；

(2)存在點(diǎn)M，當(dāng)AM=13AP時，滿足題意，理由如下：

因?yàn)镺B，OA，OP兩兩垂直，

所以以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OA，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,?1,0)，

因?yàn)镺P⊥平面ABC，

所以平面ABC的法向量為OP=(0,0,1)，

假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)M，且AM=λAP(0≤λ≤1)，則M(0,1?λ,λ)，

CB=(1,1,0)，CM=(0,2?λ,λ)，

設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z)，

則有n?CB=x+y=0n?CM=(2?λ)y+λz=0，即y=?xz=2?λλx，

不妨設(shè)y=?λ，則x=λ，z=2?λ，所以n=(λ,?λ,2?λ)，

設(shè)平面ABC與平面MBC的夾角為θ19.(1)f(x)的圖象是凸的．

因?yàn)閒′(x)=1(1+x)2，f″(x)=?2(1+x)3，

又x∈(0,1)，所以f″(x)<0，所以f(x)圖象是凸的；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=lnx+12x2，所以g(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

g′(x)=1x+x，g″(x)=1?1x2=x2?1x2，

令g″(x)<0，則0<x<1，令g″(x