/2025年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則等于（）A.B.C.D.3.已知圓和直線，則“”是“直線與圓有公共點(diǎn)”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件4.已知，則（）A.B.C.D.5.已知的面積為1，取各邊的中點(diǎn)作，然后再取各邊的中點(diǎn)作依此方法一直繼續(xù)下去.記的面積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.數(shù)列為常數(shù)列B.數(shù)列為遞增數(shù)列C.數(shù)列為遞減數(shù)列D.數(shù)列為遞增數(shù)列6.下列四個(gè)命題①直線不平行于平面，則平面內(nèi)不存在與平行的直線；②兩直線平行是它們與同一平面所成的角相等的充分不必要條件；③平面平面，過內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面；④空間中，一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).其中正確的命題是（）A.①②B.①②③C.①③④D.②③④7.根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型①，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如圖（1）所示.根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型②，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如圖（2）所示，則（）A.模型①的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，不滿足的假設(shè)B.模型①的誤差不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，滿足的假設(shè)C.模型②的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，不滿足的假設(shè)D.模型②的誤差不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，滿足的假設(shè)8.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的解析式可以為B.將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則C.的對(duì)稱中心為D.若，則10.已知橢圓的上下焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，直線垂直平分線段且交橢圓于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.橢圓的離心率為B.的周長(zhǎng)為C.以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓恰有三個(gè)公共點(diǎn)D.若直線的斜率分別為，則11.在一次數(shù)學(xué)興趣小組的實(shí)踐活動(dòng)中，李怡同學(xué)將一張邊長(zhǎng)為的菱形紙片沿對(duì)角線折疊，形成一個(gè)二面角模型，如圖所示.下列敘述中正確的有（）A.四面體體積的最大值為；B.在折疊的過程中，存在某個(gè)時(shí)刻使；C.當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)且，則動(dòng)點(diǎn)所形成區(qū)域的面積為；D.在的條件下，若直線與直線所成的角為，則的最大值為.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________.13.平面向量滿足，則的最小值為__________.14.一袋中裝有3個(gè)紅球，5個(gè)黑球，從中任意取出一球，然后放回并放入2個(gè)與取出的球顏色相同的球，再?gòu)拇腥我馊〕鲆磺?，然后放回并再放?個(gè)與取出的球顏色相同的球，一直重復(fù)相同的操作.（1）第二次取出的球是黑球的概率為__________；（2）在第一次取出的球是紅球的條件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，.（1）求；（2）若.求的面積.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知，函數(shù)，若，求證：.17.（本小題滿分15分）如圖，直三棱柱中，且平面平面.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若平面.（i）求證：；（ii）求二面角的余弦值.18.（本小題滿分17分）已知兩點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)在曲線上，且在第一象限，連接并延長(zhǎng)與曲線交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與線段交于點(diǎn)，記的面積分別為.（i）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：；（ii）求的最小值.19.（本小題滿分17分）有窮等差數(shù)列共有項(xiàng)，公差為1，前項(xiàng)和為（為正整數(shù)）.為集合為完全平方數(shù)，中所有元素之和.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）從數(shù)列中任取一項(xiàng)，若的概率為，試求出所有的數(shù)對(duì)；（3）設(shè)為正整數(shù)，將從正中間分割為兩個(gè)數(shù)（若的位數(shù)是奇數(shù)，在數(shù)的前面補(bǔ)上0再分割），若這兩個(gè)數(shù)的和恰好等于，則稱為“漂亮數(shù)”.例如：，所以81是一個(gè)“漂亮數(shù)”，，所以88209是一個(gè)“漂亮數(shù)”.當(dāng)時(shí)，從集合中任取一個(gè)元素，求該元素為“漂亮數(shù)”的概率.2025年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分細(xì)則一?單選題題號(hào)12345678答案DDBCCAAD二?多選題題號(hào)91011答案ADABDBCD三?填空題12.1513.14.（1）（2）部分試題解析7.對(duì)于殘差圖（1）對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)，隨機(jī)誤差滿足的假設(shè)，但是方差隨著的變化而變化，不滿足的假設(shè)；對(duì)圖（2）對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)，均勻分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差滿足的假設(shè)，方差不隨的變化而變化，滿足的假設(shè).故選A8.當(dāng)時(shí)，，合題意.當(dāng)時(shí)，即為增函數(shù)，，即由題意，只需，所以綜上，的取值范圍為，故選D10.由題知：，即，故A正確；由題知：，與的周長(zhǎng)相等又，故的周長(zhǎng)為，即的周長(zhǎng)為，故B正確；，易知，設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，，即，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)；設(shè)直線的斜率為，易知：；直線的方程為：，直線的方程為：點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程：即又點(diǎn)橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足代入上式可得：即為直線的方程，將代入得：，又，所以.故D正確，所以選ABD11.連接交于，連接，則，當(dāng)平面時(shí)，四面體的體積最大，此時(shí)，故A錯(cuò)；易知，平面平面，平面平面，過作于，則平面，當(dāng)時(shí)，平面，此時(shí)，故B正確；當(dāng)時(shí)，為正三角形，又面面，過作則，，即點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓面上，其面積為，故C正確；由前面分析知：與平面所成角最小時(shí)，其余弦值，所以與所成角最小時(shí)，（的射影與平行時(shí)）故D正確.，所以選BCD14.記表示第i次取到黑球，則（1）（2）……事實(shí)上，可以證明：①；②；③.四?解答題15.解：（1）即又，故，即（2）又即或（舍）故.16.解：（1）當(dāng)時(shí)，，顯然不是的切線，不合題意；當(dāng)時(shí)，由題意，解得.（2）證明：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，所以.17.解：（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以所以為的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平?，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以故（2）（i）平面平面又平面平面又平面平面，平面分別為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，平面又平面（ii）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，，又，所以由（i）且為中點(diǎn)，設(shè)，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則不妨令，可得，即又向量為平面的法向量，且設(shè)二面角的平面角為，則方法二：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，二面角即二面角.因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嫫矫?，因?yàn)?，所以平面設(shè)，則，則為等腰三角形，取的中點(diǎn)，連接，則連接，則即為二面角的平面角.為直角三角形，所以.又，所以所以，故，即二面角的余弦值為.18.解：（1）設(shè)，由題意：所以曲線的方程為：（2）（i）由（1）知因?yàn)榍€為雙曲線，且為焦點(diǎn)，點(diǎn)在右支上，所以（ii）設(shè)點(diǎn)，即即（1）將（1）代入上式得，又聯(lián)立解得由（i）知，又由題意等號(hào)成立僅當(dāng)所以的最小值為.方法二：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：聯(lián)立又，聯(lián)立解得當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，上式也成立.以下同解法一.19.解：（1）當(dāng)時(shí)，故（2）因?yàn)楣?，即又中元素的個(gè)數(shù)為，由題意.整理得因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，且所以或或或或或解得或或或或或故滿足條件的數(shù)對(duì)有.（3）由題意，“漂亮數(shù)”一定是完全平方數(shù)，又，故此時(shí)數(shù)列中的數(shù)全部是四位數(shù).可設(shè)中的“漂亮數(shù)”為且，其中為兩位數(shù)，為兩位數(shù)或一位數(shù).，即整除注意到，又①若