第2章常用邏輯用語（舉一反三講義·基礎篇）【蘇教版（2019）】題型1題型1命題的概念1．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）下列語句為命題的是（

）A．對角線相等的四邊形 B．a(chǎn)<5C．x2?x?1=0【答案】D【解題思路】由命題的定義判斷各個選項即可.【解答過程】由命題的定義可知，能夠判斷真假的陳述句是命題，所以D為命題．A，B，C不能判斷真假，所以不是命題．故選:D．2．（2025高一上·全國·專題練習）下列語句中，命題的個數(shù)是（）①空集是任何集合的真子集；②請起立；③?1的絕對值為1；④你是高一的學生嗎?A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解題思路】根據(jù)命題的概念逐一判斷.【解答過程】①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問句，不是命題.故選：C.3．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列語句不是命題的是．（填序號）①若a>b，b>c，則a>c；②x>2；③3<4．【答案】②【解題思路】根據(jù)命題的定義判斷即可.【解答過程】對于①：若a>b，b>c，則a>c，能判斷真假，是命題，且為真命題；對于②：x>2，不能判斷真假，故不是命題；對于③：3<4，能判斷真假，是命題，且為真命題.故答案為：②.4．（2425高一上·全國·課堂例題）下列語句是命題嗎？比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關系？（1）x>3；

（2）2x+1是整數(shù)；（3）對所有的x∈R（4）對任意一個x∈Z【答案】答案見解析【解題思路】根據(jù)命題是可以判斷真假的陳述句，進行判斷，再尋找關系.【解答過程】（1）（2）不是命題，（3）（4）是命題．（3）是在（1）的基礎上，用短語“所有”對變量x進行限定，從而變?yōu)榭梢耘袛嗾婕俚拿}；（4）是在（2）的基礎上，用短語“任意一個”對變量x進行限定，從而變?yōu)榭膳袛嗾婕俚拿}．5．（2425高一上·上?！ふn堂例題）判斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)π6(2)2(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)若x∈R，則2(5)一個數(shù)的算術平方根一定是負數(shù)；(6)若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)．【答案】(1)是命題，理由見解析(2)不是命題，理由見解析(3)不是命題，理由見解析(4)是命題，理由見解析(5)是命題，理由見解析(6)是命題，理由見解析【解題思路】（1）利用命題的定義判斷即可.（2）利用命題的定義判斷即可.（3）利用命題的定義判斷即可.（4）利用命題的定義判斷即可.（5）利用命題的定義判斷即可.（6）利用命題的定義判斷即可.【解答過程】（1）“π6（2）因為無法判斷“2x（3）“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．（4）“若x∈R，則2并且．它是真的，所以它是命題．（5）“一個數(shù)的算術平方根一定是負數(shù)”是陳述句，并且能夠判斷它是假的，所以它是命題．（6）“若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)”是陳述句，并且能夠判斷它是假的，所以它是命題．題型2題型2判斷命題的真假1．（2425高一上·上?！るS堂練習）下列命題中正確的個數(shù)有（

）①如果a=b≠0，那么1a=1b；②如果a=b，n≥1③a2=b2，則a=b；④若A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【解題思路】根據(jù)等式的性質分別判斷各個小題即可.【解答過程】對于①：a=b≠0可得1a對于②：a=b可得an對于③：a2=b2則對于④：ac2+故選：C.2．（2425高一上·江蘇連云港·階段練習）對于命題p：全等三角形的周長相等，命題q：周長相等的三角形全等，下列說法中正確的是（

）A．p和q都是真命題 B．p和q都是假命題C．p是真命題，q是假命題 D．p是假命題，q是真命題【答案】C【解題思路】根據(jù)全等三角形的定義即可判斷命題p,q，對A,B,C,D進行判斷即可.【解答過程】解：對命題p，全等三角形的形狀和大小均相同，故周長相等，故命題p為真命題,對命題q，只要三角形三邊和相等，則周長相等，對形狀和大小無要求，故周長相等的三角形不一定全等，故命題q為假命題；對A,命題p為真命題,命題q為假命題，故A錯；對B，命題p為真命題,命題q為假命題，故B錯；對C,命題p為真命題,命題q為假命題，故C對，對D,命題p為真命題,命題q為假命題,故D錯.故選：C.3．（2425高一上·上?！て谥校┟}“若a>b，則1a<1b”是【答案】假【解題思路】通過取反例即可判斷.【解答過程】取a=2,b=?1，滿足a>b，1a故答案為：假.4．（2425高一上·全國·課堂例題）判斷下列語句是否為命題？若是，請判斷其真假，并說明理由．(1)求證3是無理數(shù)；(2)若x∈R，則x(3)你是高一的學生嗎？(4)并非所有的人都喜歡吃蘋果；(5)若xy是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)；(6)60x+9>4．【答案】(1)不是命題；(2)是命題，真命題；(3)不是命題；(4)是命題；真命題；(5)是命題，假命題；(6)不是命題.【解題思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命題的定義判斷各個語句，再判斷命題的真假.【解答過程】（1）是祈使句，不是命題．（2）因為x∈R，x（3）是疑問句，不是命題．（4）是命題，而且是真命題，有的人喜歡吃蘋果，有的人不喜歡吃蘋果.（5）是命題，而且是假命題，如7×(?7)=?7是有理數(shù)，但7（6）不是命題，這種含有未知數(shù)的語句，無法確定未知數(shù)的取值能否使不等式成立．5．（2425高一上·上?！ふn堂例題）把下列命題改寫成“若α，則β”的形式，并判斷命題的真假．(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)當(a?1)2+(b?1)(3)已知x，y為正整數(shù)，當y=x+1時，y=3且x=2．【答案】(1)答案見解析，真命題．(2)答案見解析，真命題．(3)答案見解析，假命題．【解題思路】（1）（2）（3）按給定條件改寫命題，再判斷真假.【解答過程】（1）若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題．（2）若(a?1)2+(b?1)（3）已知x、y為正整數(shù)，若y=x+1，則y=3且x=2，是假命題．題型3題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定1．（2425高一上·河北唐山·期中）已知p:0<x<2，q:?1<x<3，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】結合區(qū)間的包含關系，根據(jù)充要條件的判斷方法即得.【解答過程】因(0,2)是(?1,3)的真子集，故p是q的充分不必要條件.故選：A.2．（2425高一上·安徽·期中）使?1<x<4成立的一個充分不必要條件是（

）A．?1<x≤4 B．?1<x<0 C．?1<x<5 D．?【答案】B【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.【解答過程】設A=?1,4，則使?1<x<4成立的一個充分不必要條件是集合A對照選項知只有B符合題意.故選：B．3．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A=1,a,B=1,2,3，則“a=3”是A?B的【答案】充分【解題思路】根據(jù)集合間的關系以及元素與集合的關系，可得結論.【解答過程】由A=1,a,B=1,2,3，又A?B可得a∈B∴a=2或a=3，即可得“a=3”是“A?B”的充分條件．故答案為：充分.4．（2425高一上·上?！るS堂練習）判斷下列命題中p是q的什么條件．(1)p：x>1，q：x(2)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2+b2=0【答案】(1)p是q的充分非必要條件；(2)p是q的必要非充分條件；(3)p是q的充要條件．【解題思路】（1）根據(jù)充分條件和必要條件的定義，對題中的邏輯關系進行分析，并通過例證判斷即可.（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義，對題中的邏輯關系進行分析，并通過例證判斷即可.（3）根據(jù)充分條件和必要條件的定義，對題中的邏輯關系進行分析，并通過例證判斷即可.【解答過程】（1）因為“x>1”能推出“x2>1”，即p?q，但當“x2>1”時，如x=?2，推不出“（2）因為“△ABC有兩個角相等”推不出“△ABC是正三角形”，即p?q，但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有兩個角相等”，即q?p，所以p是q的必要非充分條件；（3）若“a2+b2=0”，則“a=b=0”，即p?q；若“a=b=0”，則“a2+b25．（2425高一上·上?！ふn堂例題）下列“若p，則q”形式的命題中，判斷條件p是結論q的什么條件？(1)若x>3，則x>2；(2)若x=1，則x2(3)若一個四邊形為平行四邊形，則這個四邊形為菱形．【答案】(1)充分非必要條件；(2)充分非必要條件；(3)必要非充分條件.【解題思路】（1）（2）（3）利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【解答過程】（1）x>3?x>2，而x>2不能保證x>3，如x=5因此x>3是x>2的充分非必要條件.（2）x=1?x2?4x+3=0，而當x2?4x+3=0時，x=1或x=3所以x=1是x2（3）一個四邊形為平行四邊形，則這個平行四邊形的鄰邊可以不等，它不是菱形；若一個四邊形是菱形，則它一定是平行四邊形，所以一個四邊形為平行四邊形是這個四邊形為菱形必要非充分條件.題型4題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索1．（2425高一上·云南昆明·期中）“?12<x<2A．?4<x<3 B．0<x<1 C．?12<x<【答案】A【解題思路】分析可知：x|?1【解答過程】由題意可知：x|?1結合選項可知x|?12<x<2故選：A.2．（2425高一上·新疆阿克蘇·階段練習）若x,y∈R，則“x>yA．x>y B．x2>y2【答案】D【解題思路】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【解答過程】對于A，當x=?2,y=1時，x>對于B，當x=?2,y=1時，x2對于C，當x=?2,y=?1時，xy對于D，因為x?y>1，所以x>y+1>y，若x=2,y=1，則x?y=1，所以“x>y”的一個充分不必要條件可以是x?y>1，故D符合題意.故選：D.3．（2425高一上·江蘇宿遷·階段練習）寫出“?x∈R，不等式mx2+x+m>0成立”的一個充分不必要條件【答案】m>1（答案不唯一）【解題思路】尋找出充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義得出結論．【解答過程】?x∈R，不等式mx2+x+m>0恒成立的充要條件是m>0充分不必要條件可以寫m>1，故答案為：m>1（答案不唯一）．4．（2425高一上·江蘇南京·階段練習）求證：“關于x的方程ax2+bx+c=0【答案】證明見解析【解題思路】由充要條件的定義，分別證明充分性和必要性即可.【解答過程】必要性：若ax2+bx+c=0有一個根為2，則x=2充分性：若4a+2b+c=0，則a×22+b×2+c=0，即x=2則關于x的方程ax綜上命題得證．5．（2025高一·全國·專題練習）若集合A=xx>?2，(1)A∪B=R的一個既充分也必要條件；(2)A∪B=R的一個必要條件但不是充分條件.【答案】(1)m≥?2；(2)m≥?3.【解題思路】（1）根據(jù)集合A∪B=R，求出參數(shù)m的取值范圍，（2）由（1）即可求出A∪B=R的一個必要條件但不是充分條件.【解答過程】（1）（1）因為集合A={x∣x>?2}，B={x∣x≤m,m∈R若A∪B=R，則m≥?2，故A∪B=R的一個既充分也必要條件是m≥?2.（2）由（1）知A∪B=R的充要條件是m≥?2，所以A∪B=R的一個必要條件但不是充分條件可以是m≥?3.（答案不唯一）.題型5題型5全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷1．（2425高一上·廣東東莞·期中）下列命題中，是全稱量詞命題且為真命題的是（

）A．梯形是四邊形 B．?x∈R，C．?x∈R，x+1≥1 D．存在一個實數(shù)x【答案】A【解題思路】分別判斷各命題是否為全稱量詞命題，是否為真命題.【解答過程】對于A，是全稱量詞命題且為真命題，A選項正確；對于B，是全稱量詞命題，當x=?1時，x3CD選項都為存在量詞命題，不合題意.故選：A.2．（2425高一上·重慶·期中）已知命題p:?x、y∈Z，使得4x+2y=15；命題q:?m∈N，m2+1?N，則下列關于A．p，q均為真 B．p，q均為假C．p真，q假 D．p假，q真【答案】B【解題思路】由x,y∈Z，則4x+2y為偶數(shù)可判斷p；m=0時可判斷q【解答過程】若x,y∈Z，則4x+2y為偶數(shù)，則4x+2y≠15所以不存在x,y∈Z，使4x+2y=15，故p若m=0，則m2+1=1∈N，所以所以p，q均為假命題.故選：B.3．（2425高一上·湖南衡陽·階段練習）下列命題：①?x∈R，x2+1>0；②?x∈N，x2≥1；③?x∈Z，x3<1【答案】①④【解題思路】對于①，由平方的非負性判斷，對于②，舉例判斷，對于③，舉例判斷，對于④，通過計算判斷.【解答過程】對于①，因為?x∈R，x2≥0對于②，當x=0∈N時，x對于③，?x=0∈Z，使x對于④，由x2=3，得故答案為：①④.4．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假．(1)任意兩個等邊三角形都相似；(2)存在一個實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)；(3)對任意實數(shù)x1，x2，若x1(4)存在一個實數(shù)x，使得x2【答案】(1)全稱量詞命題，真命題；(2)存在量詞命題，真命題；(3)全稱量詞命題，假命題；(4)存在量詞命題，假命題.【解題思路】（1）（2）（3）（4）根據(jù)命題的描述判斷全稱、存在量詞命題，進而確定其真假.【解答過程】（1）全稱量詞命題，所有的等邊三角形都有三邊對應成比例，該命題是真命題．（2）存在量詞命題，存在一個實數(shù)零，它的絕對值不是正數(shù)，該命題是真命題．（3）全稱量詞命題，存在x1=?5<x2（4）存在量詞命題，由于x∈R，則x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使得x5．（2025高三·全國·專題練習）用數(shù)學符號“?”“?”表示下列命題，并判斷命題的真假性．(1)當x>0時，x2(2)自然數(shù)不都是正整數(shù)；(3)至少存在一個實數(shù)x，使得x2【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【解題思路】（1）（2）（3）應用數(shù)學語言?、?描述已知命題，進而判斷其真假.【解答過程】（1）命題表示為“?x>0，x2因為x2?（2）命題表示為“?x∈N，x?因為0∈N，0?（3）命題表示為“?x∈R，x因為22題型6題型6命題的否定1．（2425高一上·重慶·期中）已知命題p：?x>1，x2+2x?3>0，則?p為（A．?x>1，x2+2x?3≤0 B．?x≤1C．?x>1，x2+2x?3<0 D．?x>1【答案】A【解題思路】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結論．【解答過程】命題為全稱量詞命題，則命題的否定為?x>1，x2故選：A．2．（2425高一上·安徽池州·期中）命題p:?x≤0,x2?2x+a≤0A．?x>0,x2?2x+a≤0C．?x≤0,x2?2x+a>0【答案】C【解題思路】根據(jù)存在性量詞命題的否定直接得出結果.【解答過程】由題意知，原命題的否定為：?x≤0,x故選：C.3．（2425高一上·上海奉賢·階段練習）“存在x>0，使得x2+ax+1≥0