專題2.3圓與圓的位置關系（舉一反三講義）【蘇教版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷圓與圓的位置關系】 2【題型2根據(jù)圓與圓的位置關系求參數(shù)】 4【題型3由圓與圓的位置關系確定圓的方程】 6【題型4兩圓的公切線長】 8【題型5求兩圓的公切線方程】 11【題型6兩圓的公切線條數(shù)問題】 14【題型7相交圓的公共弦方程】 16【題型8兩圓的公共弦長問題】 17知識點1圓與圓的位置關系及判定1．圓與圓的位置關系及判斷方法(1)圓與圓的位置關系圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統(tǒng)稱為相離，外切和內切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關系的判定方法①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：位置關系關系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1r2|<d<r1+r2兩條內切d=|r1r2|一條內含0≤d<|r1r2|無②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個數(shù)即可作出判斷.當Δ>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當Δ=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當Δ<0時，兩圓無公共點，包括內含與外離.【題型1判斷圓與圓的位置關系】【例1】（2425高二上·江蘇常州·期中）圓x?12+y?12=9和圓x?4A．外離 B．外切 C．相交 D．內切【答案】C【解題思路】根據(jù)兩圓圓心距與兩圓的半徑差、半徑和的大小關系即可判斷.【解答過程】圓x?12+y?12=9圓x?42+y+32=16因為C1C2=所以r2所以兩圓的位置關系為相交.故選：C.【變式11】（2425高二上·江蘇揚州·期中）已知圓C1：x2+y2=4和圓A．外離 B．外切 C．相交 D．內切【答案】C【解題思路】根據(jù)題意可得圓心和半徑，進而可得C1【解答過程】圓C1：x2+y2可知：圓C1的圓心為C10,0，半徑r1=2，圓C因為C1C2所以兩圓的位置關系為相交.故選：C.【變式12】（2425高二上·江蘇連云港·階段練習）圓x?42+y2=9A．外離 B．相交 C．外切 D．內含【答案】C【解題思路】根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑，由圓心距與半徑和差關系判斷兩圓的位置關系.【解答過程】圓x?42+y圓x2+y?3兩圓的圓心距為42即兩圓的圓心距等于半徑和，所以兩圓外切.故選：C.【變式13】（2425高二上·山東·期中）已知圓C1:x2+y2?2x+my+1=0m∈R關于直線x+2y+1=0對稱，圓C2的標準方程是(x+2)A．外離 B．外切 C．相交 D．內含【答案】B【解題思路】先將C1【解答過程】因為C1:x故C1的圓心為1,?m2，半徑r而C2:(x+2)2+因為C1關于直線x+2y+1=0對稱，所以直線x+2y+1=0經(jīng)過圓心C故1+2×?m2+1=0，解得所以C1C2=r故選：B.【題型2根據(jù)圓與圓的位置關系求參數(shù)】【例2】（2425高二上·貴州黔南·階段練習）已知圓C1:x+42+y?32=9與圓A．?∞,29 C．?20,29 D．?28,29【答案】C【解題思路】分別求出兩圓的圓心和半徑，結合兩圓外離求解即可.【解答過程】由C1:x+42+圓C2:x則圓心C22,?5，半徑為r2又C1則C1C2>r所以?20<m<29，即m的取值范圍是?20,29.故選：C.【變式21】（2425高二上·湖南長沙·期中）已知圓C1:x+12+y?12=1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解題思路】兩圓外切時，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.先求出兩圓的圓心坐標和半徑，再根據(jù)兩圓外切的性質列出等式求解a的值.【解答過程】對于圓C1:(x+1)2+對于圓C2:x其圓心坐標C2(2,1)，半徑因為兩圓外切，所以兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.兩圓的圓心距d=2?(?1)根據(jù)兩圓外切性質d=r1+r2故選：B.【變式22】（2425高二上·山東日照·期末）若兩圓C1：x2+y2+2x=0與C2A．m>4 B．m<4 C．0<m<4 D．4<m<20【答案】D【解題思路】化圓方程為標準形式，方程表示圓以及圓心距滿足的關系式即可列不等式求解.【解答過程】由題意C1：x2+y2+2x=0即C2：x2+y2?4x?8y+m=0即所以圓心距滿足C1C2所以4<m<20.故選：D.【變式23】（2425高二上·福建莆田·期末）已知圓C1:x2+y2?6x+4y+12=0與圓C2:xA．14 B．34 C．14或34 D．14或45【答案】C【解題思路】根據(jù)C2的方程求出a【解答過程】由圓C2:x2+圓C1的標準方程為(x?3)2+(y+2)2圓C2的標準方程為(x?7)2+(y?1)2因為圓C1與圓C①若兩圓內切，則C1C2=(3?7)②若兩圓外切，則C1C2=(3?7)綜合①②得實數(shù)a=14或34．故選：C．【題型3由圓與圓的位置關系確定圓的方程】【例3】（2425高二上·江蘇·期中）圓C:x2+y2?2x+4y=0關于直線l:x?y+2=0A．(x+4)2+(y?3)C．(x+4)2+(y?3)【答案】A【解題思路】通過點關于直線對稱求圓C′【解答過程】圓C:x2+y2所以圓C′的半徑為5，設圓心為a,b則a+12?b?2所以圓C′的方程為(x+4)故選：A.【變式31】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知半徑為1的動圓與圓x?52+y+7A．x?5B．x?52+C．x?5D．x?52+【答案】D【解題思路】先求出已知圓圓心和半徑，再根據(jù)圓和圓的位置關系求解即可.【解答過程】由x?52+y+7設動圓圓心為x,y，若動圓與已知圓外切，則x?52即x?52若動圓與已知圓內切，則x?52即x?52綜上所述，動圓圓心的軌跡方程是x?52+y+7故選：D.【變式32】（2324高二上·河南南陽·階段練習）以3，?4為圓心，且與圓x2+yA．x+32+y+4C．x?32+y?42=16【答案】B【解題思路】根據(jù)兩圓外切求圓C的半徑，即可求解.【解答過程】由題意可知，兩圓的圓心距為5，設圓C的半徑為r，因為兩圓相外切，則5=r+1，得r=4，所以圓C的方程為x?32故選：B.【變式33】（2425高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1:(x?4)2+(y?8)2=1，圓C2:(x?6)2+A．x2+yC．x2+y【答案】A【解題思路】由題知圓C與圓C1的公共弦是圓C1的直徑，圓C與圓C2的公共弦是圓C2的直徑，進而設圓C的圓心為C(a,0)，半徑為【解答過程】圓C平分圓C1等價于圓C與圓C1的公共弦是圓C同理圓C與圓C2的公共弦是圓C設圓C的圓心為C(a,0)，半徑為r，則x?a2所以r2=CC所以圓C的方程為x2故選：A.知識點2兩圓的公切線1．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；③相交時，有2條公切線，都是外公切線；④內切時，有1條公切線；⑤內含時，無公切線.判斷兩圓公切線的條數(shù)，實質就是判斷兩圓的位置關系.(3)求兩圓公切線方程的方法求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.【題型4兩圓的公切線長】【例4】（2425高二上·湖南·階段練習）圓C1：x+12+y+22=1與圓CA．3 B．5 C．26 D．4【答案】D【解題思路】在平面直角坐標系中作出兩個圓，由圖可知內公切線一條為y軸，求公切線的長即可.【解答過程】如圖：由圖可知圓C1與圓C2的內公切線有一條為則公切線的長為AB=4方法二：C1所以內公切線的長為：C故選：D.【變式41】（2025高二上·河北·學業(yè)考試）若直線l與圓C1:x+12+y2=1，圓C2A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解題思路】設直線l交x軸于點M，推導出C1為MC2的中點，A為BM【解答過程】如下圖所示，設直線l交x軸于點M，由于直線l與圓C1:x+12+y2則AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故選：C.【變式42】（2425高二上·福建福州·階段練習）已知：圓C1:x(1)當m=8時，判斷兩圓是否相交，并說明理由．如果相交，求公共弦所在直線的方程．(2)若兩圓外切，求m的值及外公切線的長．【答案】(1)兩圓相交，理由見解析；6x+8y?9=0(2)m=9，4.【解題思路】（1）根據(jù)兩圓方程得出圓心和半徑，計算出圓心距，利用兩圓相交的必要條件即可判斷，相交時，將兩圓的一般式方程左右分別相減，整理即得公共弦方程；（2）利用兩圓外切的必要條件得出關于參數(shù)的方程，求出m值，繼而運用外公切線的計算公式即得.(外公切線計算公式初中已知)【解答過程】（1）由圓C1:x2+y2因|C1C2|=5,m=8用圓C1:x2+（2）若兩圓外切，則|C1C2|=此時，r2=【變式43】（2425高二上·廣東云浮·期中）已知圓A的方程為x2+y2?2x?2y?7=0，圓B(1)判斷圓A與圓B是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【答案】(1)兩圓相交，4x+4y+5=0，2384(2)7.【解題思路】（1）根據(jù)圓心距判斷圓的位置關系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長；（2）根據(jù)公切線的性質，利用圓心距、半徑差、公切線構成的直角三角形求解.【解答過程】（1）圓A：x?12+y?12=9兩圓心距AB=∵3?2<AB∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得：4x+4y+5=0，此即為過兩圓交點的直線方程.設兩交點分別為C、D，則AB垂直平分線段CD，∵A到CD的距離d=4×1+4×1+5∴CD=2（2）設公切線l切圓A、圓B的切點分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEFB是直角梯形.∴EF2∴EF=【題型5求兩圓的公切線方程】【例5】（2425高三下·山東·開學考試）圓C1:x2+A．y=?x+1 B．y=?x+1或y=x+5C．y=?x+5 D．y=x+1或y=2x+5【答案】A【解題思路】先判斷兩個圓的位置關系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關系求解出公切線的方程.【解答過程】解：C1:(x+4)2+C2:(x+3)2+因為C1所以兩圓相內切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，kC所以切線斜率為?1，由方程組x2+y故圓C1與圓C2的切點坐標為故公切線方程為y?3=?(x+2)，即y=?x+1．故選：A.【變式51】（2425高二上·山東聊城·期末）已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：xA．3x?4y?5=0 B．3x?4y+5=0C．4x?3y?5=0 D．4x?3y+5=0【答案】D【解題思路】由兩圓的位置關系得出m，進而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【解答過程】圓C1：x2+y2=1的圓心(x?4)2+(y+3)2=25?m，m<25因為圓C1與圓C2相內切，所以r2?1=O由x2+y即C1與C2的公切線方程為故選：D.【變式52】（2425高二下·四川成都·開學考試）已知圓M經(jīng)過A(1,0)，B(3,2)兩點，且與x軸相切，圓O：x2(1)求圓M的一般方程；(2)求圓M與圓O的公切線方程.【答案】(1)x(2)y=2x+25或【解題思路】（1）通過求圓心和半徑來求得圓的標準方程，再轉化為一般方程.（2）利用公共切線斜率與圓心連線斜率相等，再利用圓心到直線距離等于半徑求解即可.【解答過程】（1）由題意設圓心為(1,b)，∴R=b=3?1故圓心為M(1,2)，R=2，∴圓M的標準方程為：(x?1)2∴圓M的一般方程為：x2（2）由于圓M和圓O的半徑均為2，∴公切線與OM平行，則k=2，設公切線方程為y=2x+m，則m1+4=2，得m=25故公切線方程為y=2x+25或y=2x?2【變式53】（2425高二上·陜西西安·階段練習）已知動點P到兩定點A(0,0)和B(3,0)的距離之比為12.(1)求動點P的軌跡C1(2)已知圓C2：(x?1)2+y2【答案】(1)(x+1)(2)相交；y=33【解題思路】（1）設P(x,y)，根據(jù)題意得到PB=2（2）利用兩圓的位置關系判斷得C1和C【解答過程】（1）依題意，設P(x,y)，則PAPB=1所以PB2=4PA2，則故動點P的軌跡C1的方程為(x+1)（2）由（1）知，動點P的軌跡C1是一個圓，其圓心C1?1,0圓C2：(x?1)2+y2所以C1C2=2，顯然r1所以圓C1和圓C不妨設為y=kx+b，即kx?y+b=0，則有?k+b1+k2=r1=2當b=?3k時，得k?3k1+k2=1，解得當k=33時，b=?3k=?3當k=?33時，b=?3k=3當b=?k3時，得綜上，公切線方程為y=33x?【題型6兩圓的公切線條數(shù)問題】【例6】（2425高二上·浙江杭州·階段練習）圓x2+y2+2x=0與圓A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】利用兩圓的位置關系來確定公切線的條數(shù).【解答過程】由圓x2+y所以該圓心C1?1,0，半徑又由圓x2+y所以該圓心C21,3由于圓心距C1C2所以C1所以兩圓的公切線有3條，故選：C.【變式61】（2425高二上·河北保定·階段練習）已知圓M:x?12+y?22=2與圓A．15 B．23 C．21 D．17【答案】B【解題思路】將圓N的方程化為標準方程形式，確定圓N，圓M的圓心和半徑，根據(jù)條件可得兩圓外切，結合圓的位置關系列方程求m.【解答過程】x2+y所以25?m>0，圓N的圓心為3,4，半徑為25?m，圓M:x?12+y?22因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以(1?3)2+(2?4)故選：B.【變式62】（2425高二上·福建廈門·階段練習）已知圓C1:x2+A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解題思路】利用圓與圓位置關系的判斷方法，得到兩圓的位置關系，即可求解.【解答過程】由x2+y2+4x?2y?11=0，得到x+22+由x2+y2?4x+4y+7=0，得到x?22+又C1C2故圓C1與圓C2外切，所以圓C1與圓C故選：B.【變式63】（2425高二上·遼寧大連·期中）已知⊙C1:(x+1)2+y+A．0<m<6 B．154<m<234 C．【答案】A【解題思路】根據(jù)兩圓的公切線條數(shù)確定兩圓相交，由圓心距計算即可.【解答過程】由⊙C2:則可得C1?1,?3又兩圓只有兩條公切線，故該兩圓相交，即C1C2則?1<r1?故選：A.知識點3兩圓的公共弦1．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.(2)求兩圓公共弦長的方法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長.【題型7相交圓的公共弦方程】【例7】（2425高二上·內蒙古鄂爾多斯·期末）已知圓C1：x?22+y+32=16與圓C2：x2+y?2A．4x?10y?3=0 B．4x+10y+3=0C．4x?10y?9=0 D．4x+10y+9=0【答案】A【解題思路】兩圓方程作差即可求得公共弦的方程.【解答過程】根據(jù)已知條件，C1：x?22+C2：x2+因為兩圓相交，所以兩圓方程相減得：4x?10y?3=0，所以直線AB的方程為：4x?10y?3=0.故選：A.【變式71】（2425高二上·河北衡水·階段練習）若圓C1:x2+y2+2x+y=0，圓A．x?1=0 B．x+y+1=0 C．x+1=0 D．x?y?1=0【答案】B【解題思路】根據(jù)題設，將兩圓方程作差即可得公共線方程.【解答過程】由題設，將兩圓作差，有(x整理可得x+y+1=0，即公共弦所在直線為x+y+1=0.故選：B.【變式72】（2425高二上·云南·期中）已知圓C1:x2+A．8x+3y?20=0 B．4x+3y?10=0C．4x?3y+10=0 D．2x+3y+5=0【答案】B【解題思路】兩圓方程相減后可得公共弦的方程.【解答過程】由題設公共弦的方程為：x2整理得到：8x+6y?20=0即4x+3y?10=0，故選：B.【變式73】（2425高二上·廣東東莞·期中）已知圓C1：x2+y2?2x?4y?4=0與圓A．3x?3y?4=0 B．3x?3y+4=0C．x+y?3=0 D．x+y+3=0【答案】B【解題思路】兩圓方程相減可得答案.【解答過程】x2x2①?②得3x?3y+4=0.故選：B.【題型8兩圓的公共弦長問題】【例8】（2425高二上·廣東肇慶·階段練習）已知圓C1:x2+y?22=5和C2A．3 B．23 C．23 D．【答案】B【解題思路】兩圓方程相減求得直線AB方程，然后求得一個圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長．【解答過程】由已知，兩圓方程相減得x+y=0，這是兩圓公共弦AB所在直線方程，圓C1的圓心為C1(0,2)C1到直線AB的距離為d=所以AB=2故選：B．【變式81】（2425高二上·海南?？凇るA段練習）圓M:x2+(y?2)2A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解題思路】判斷出兩圓相交，兩圓相減求得公共弦所在直線方程，再利用弦長公式求得公共弦長.【解答過程】圓M:x2+(y?2)2圓N:(x+3)2+(y+2)2r1|MN|=3由x2+y?2M(0,2)到直線3x+4y+2=0的距離為0+8+23所以公共弦長為2×(2故選：B.【變式82】（2425高二上·湖北襄陽·階段練習）已知圓C的圓心在