專題2.3用公式法與因式分解法求解一元二次方程 目錄TOC\o"12"\h\u一.知識梳理與題型精析 1知識點（一）一元二次方程的求根公式 1【題型1】用公式法解一元二次方程 2知識點（三）一元二次方程根的判別式 4【題型2】根的判別式判斷一元二次方程根的情況 4【題型3】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù) 5知識點（四）因式分解法解一元二次方程 7【題型5】用因式分解法解一元二次方程 8知識點（五）換元法解一元二次方程 9【題型6】用換元法解一元二次方程 10二．同步練習(xí) 121.基礎(chǔ)夯實（選擇題6題，填空題6題，解答題4題） 122.能力提升（選擇題8題，填空題8題，解答題4題） 193.直通中考（選擇題３題，填空題３題，解答題２題） 29一.知識梳理與題型精析知識點（一）一元二次方程的求根公式【題型1】用公式法解一元二次方程知識點（二）用公式法解一元二次方程的步驟①把一元二次方程化為一般式；②確定、、的值（要注意符號）；【例題2】用公式法解下列一元二次方程：【分析】（1）根據(jù)求根公式代入即可解得．（2）根據(jù)求根公式代入即可解得．【點撥】此題考查了公式法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟悉求根公式．【變式】解方程：【分析】（1）利用配方法求解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．∴原方程無實數(shù)根，即此方程無解．【點撥】本題主要考查了利用配方法和公式法求解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解決本題的關(guān)鍵．知識點（三）一元二次方程根的判別式【題型2】根的判別式判斷一元二次方程根的情況A．沒有實數(shù)根 B．有且只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是熟悉根的判別式．先求出判別式，再利用三角形三邊關(guān)系說明它的符號，然后得出根的情況．∴原方程沒有實數(shù)根．故選A．（1）若方程的一個根是0，求p的值；（2）求證：無論p為何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．即的值為；無論為何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【題型3】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若為正整數(shù)，且方程的根均為整數(shù)，求此時的值．【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法等知識，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；（2）找出k范圍中的整數(shù)解確定出k的值，經(jīng)檢驗即可得到滿足題意k的值．（2）解：∵k為正整數(shù)，且方程的根均為整數(shù)，【答案】B故選：B．知識點（四）因式分解法解一元二次方程1.當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用小亮的方法求解.這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.【題型5】用因式分解法解一元二次方程【例題6】（2425八年級下·福建福州·期末）解方程：【分析】本題考查解一元二次方程因式分解法．（1）利用因式分解法求解；【分析】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運用因式分解法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．直接運用因式分解法求解即可．【變式2】（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）解方程：【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）方程移項后運用因式分解法求解即可；（2）方程運用因式分解法求解即可．知識點（五）換元法解一元二次方程高次方程換元法：方程中未知數(shù)的最高次數(shù)為四次，通過換元將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程來求解；分式方程換元法：當(dāng)分式方程中存在某部分代數(shù)式重復(fù)出現(xiàn)時，可設(shè)該部分為新元，將分式方程化為一元二次方程；根式方程換元法：若方程中含有二次根式，且根號內(nèi)的代數(shù)式與根號外的代數(shù)式存在一定關(guān)系，可設(shè)根號部分為新元.【題型6】用換元法解一元二次方程【分析】本題考查用換元法解分式方程的能力，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．【變式2】（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）利用換元法解下列方程：【分析】本題主要考查換元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．二．同步練習(xí)?1.基礎(chǔ)夯實（選擇題6題，填空題6題，解答題4題）一、單選題A． B．1 C．1或 D．0【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的解法，通過因式分解求解即可．故選：C．A． B．5 C． D．10【答案】B【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，根據(jù)所給方程確定a、b、c的值，再代值計算即可得到答案．故選：B．A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的判別式．通過計算一元二次方程的判別式，判斷其符號即可確定根的情況．∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．當(dāng)判別式小于0時，方程無實數(shù)根．根據(jù)題意表示出判別式并小于0，則可列出不等式，解出即可判別．故選：A．【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，牢記一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．故選：D．【答案】D故選：D．二、填空題【答案】37首先轉(zhuǎn)化成一般式，然后根據(jù)根的判別式求解即可．故答案為：37．【答案】【分析】本題主要考查解一元二次方程公式法，利用求根公式判斷求解即可．故答案為：．【答案】【分析】本題考查解一元二次方程，概率公式，熟練掌握解一元二次方程的步驟和概率公式是解題的關(guān)鍵．先解一元二次方程，再利用概率公式計算即可．故答案為：．【答案】或∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，綜上，方程有1個或2個解，故選：D．【答案】沒有實數(shù)根故答案為：沒有實數(shù)根．三、解答題13．（2425八年級下·廣西崇左·期末）解方程：【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運用公式法求解即可；（2）運用因式分解法求解即可．∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，14．（2025九年級上·全國·專題練習(xí)）請運用“整體換元法”解方程：【分析】本題主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整體換元法解方程的關(guān)鍵．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）已知2是此方程的一個根，求的值和這個方程的另一個根．【分析】本題圍繞一元二次方程展開，（1）通過根的判別式證明方程根的情況；（2）利用根的定義和方程求解（或韋達定理）得出和另一根，核心是對一元二次方程根的相關(guān)知識（判別式、根的定義、韋達定理）．不論取何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．即方程的另一個根為．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一根為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．（1）先求出的值，再根據(jù)的意義即可得到結(jié)論；方程總有兩個實數(shù)根．方程有一根為正數(shù)，

能力提升（選擇題8題，填空題8題，解答題4題）一、單選題【答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程公式法，能熟練運用公式法解答方程是解此題的關(guān)鍵．利用公式法即可求解．故選：D．A． B． C． D．【答案】C解：設(shè)兩個方程的公共根為，方程有兩個不相等的實數(shù)根，綜上，兩個方程有個公共根．故選：C．A． B．或 C．或 D．【答案】A故選：A．C． D．【答案】A在數(shù)軸上表示為：故選：A．【答案】C【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用，先解方程得到兩根，再分兩種情況討論斜邊的可能長度即可.此時斜邊仍為6，故選：C6．（2425九年級下·重慶巴南·期中）如圖；一組有規(guī)律的圖形，由白色小正方形和小黑點組成，以此規(guī)律，若第n個圖形中白色小正方形比小黑點多5個，則n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題考查了解一元二次方程，圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出第個圖形中有個正方形，個小黑點，進而根據(jù)第n個圖形中白色小正方形比小黑點多5個，建立方程，即可求解．解：根據(jù)圖形的變化可得：第個圖形中有個正方形，個小黑點，故選：B．二、填空題【答案】1【分析】本題考查同類二次根式，解一元二次方程，根據(jù)被開方數(shù)相同的兩個最簡二次根式，叫做同類二次根式，求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進行化簡即可．故答案為：1．【分析】本題考查了一元二次方程的解法．首先根據(jù)方程的根的判別式的值是，可知方程有兩個不相等的實數(shù)根，再利用公式法可以求出方程的兩個根．方程有兩個不相等的實數(shù)根，【答案】或故答案為：1或7．【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍、分式有意義的條件、根與系數(shù)的關(guān)系、提公因式法因式分解，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分母不為零以及根與系數(shù)的關(guān)系進行分析計算即可．不滿足“自變量的取值范圍是一切實數(shù)”，故此種情況舍去；三、解答題13．（2425八年級下·湖南長沙·期末）解下列方程：【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用公式法解方程即可；（2）先移項，再把方程左邊利用提公因式法分解因式，進而解方程即可．14．（2425八年級下·山東煙臺·期中）按要求解下列關(guān)于的一元二次方程：【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【答案】（1）；（2）見分析【分析】本題主要考查一元二次方程根的定義及根的判別式，由方程根的情況得到判別式的符號是解題的關(guān)鍵．方程有兩個實數(shù)根．【答案】（1）見分析；（2）2【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，求根公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．解：（1）證明：∵、、分別是關(guān)于的一元二次方程二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，∴的最小值為2．3.直通中考（選擇題３題，填空題３題，解答題２題）一、單選題1．（2025·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（

）【答案】D故選：D．A． B． C．1 D．4【答案】C故選C．A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷根的情況【答案】A通過計算一元二次方程的判別式，即可判斷方程根的情況．∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【答案】C故選：C．二、填空題【答案】有兩個不相等的實數(shù)根故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根．【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，分類討論是解題關(guān)鍵．【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時有兩個不相等的實數(shù)根，判別式等于0時有兩個相等的實數(shù)根，判別式小于0時方程無實數(shù)根．根據(jù)有兩個不相等的實數(shù)根，直接得到判別式，即可求解本題．三、