學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并會(huì)運(yùn)用圓錐曲線的共同性質(zhì)，解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.2.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握?qǐng)A錐曲線的離心率、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等概念．知識(shí)點(diǎn)圓錐曲線的統(tǒng)一定義思考如何求圓錐曲線的統(tǒng)一方程呢？梳理(1)圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在定直線l上)的距離之比等于________．當(dāng)________時(shí)，它表示橢圓；當(dāng)________時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng)________時(shí)，它表示拋物線．其中________是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的________，定直線l是圓錐曲線的________．(2)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)，eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c).雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c).類型一已知準(zhǔn)線求圓錐曲線的方程例1雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩準(zhǔn)線間的距離為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2eq\r(6)，3)，求雙曲線的方程．反思與感悟(1)在本例中，兩準(zhǔn)線間的距離是一個(gè)定值eq\f(2a2,c)，不論雙曲線位置如何，均可使用．(2)已知準(zhǔn)線方程(或準(zhǔn)線間距離)求圓錐曲線方程，該條件使用方法有兩個(gè)：①利用統(tǒng)一定義，②直接列出基本量a，b，c，e的關(guān)系式．跟蹤訓(xùn)練1已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,\f(9,25)a2)＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，且AF2＋BF2＝eq\f(8,5)a，AB的中點(diǎn)N到橢圓左準(zhǔn)線的距離為eq\f(3,2)，求此橢圓方程．類型二圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用例2已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求MA＋MB的最大值和最小值；(2)求MB＋eq\f(5,4)MA的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．反思與感悟(1)解答此類題目時(shí)，應(yīng)注意式子中的系數(shù)特點(diǎn)，依此恰當(dāng)?shù)剡x取定義．(2)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可以靈活地將曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程．跟蹤訓(xùn)練2試在拋物線y2＝4x上求一點(diǎn)A，使點(diǎn)A到點(diǎn)B(eq\r(3)，2)與到焦點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

類型三焦點(diǎn)弦問(wèn)題例3橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(2,0)，相應(yīng)準(zhǔn)線方程為x＝8，離心率e＝eq\f(1,2).(1)求橢圓的方程；(2)求過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線截橢圓C所得的弦長(zhǎng)．反思與感悟(1)本例(2)中若用一般弦長(zhǎng)公式，而不用統(tǒng)一定義，計(jì)算起來(lái)則復(fù)雜一些．(2)對(duì)于圓錐曲線焦點(diǎn)弦的計(jì)算，利用統(tǒng)一定義較為方便．跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F(3,1)，相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為y軸，l是過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線，l被橢圓截得的弦AB的長(zhǎng)是eq\f(16,5)，求橢圓的方程．1．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的準(zhǔn)線方程是____________．2．如果橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸三等分，那么這個(gè)橢圓的兩準(zhǔn)線間距離是焦距的________倍．3．若雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1左支上的一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為________．4．已知橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，右焦點(diǎn)為F，A(2,1)為其內(nèi)部一點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為使PA＋2PF最小，P點(diǎn)坐標(biāo)為__________．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(1,2)，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為____________．1．在學(xué)習(xí)圓錐曲線的統(tǒng)一定義時(shí)，應(yīng)注意與前面學(xué)過(guò)的橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)相聯(lián)系，以提高自己綜合應(yīng)用知識(shí)的能力和解題的靈活性．2．在已知準(zhǔn)線方程時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為eq\f(a2,c)的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合其他條件求出基本量a，b，c.若是求方程，可由準(zhǔn)線的位置來(lái)確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．3．根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可把圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，這是一個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)化方法，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程．提醒：完成作業(yè)第2章§2.5

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥l，H為垂足，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知M∈{M|FM＝eMH}．取過(guò)焦點(diǎn)F，且與準(zhǔn)線l垂直的直線為x軸，F(xiàn)(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則OM＝eq\r(x2＋y2).①設(shè)直線l的方程為x＝－p，則MH＝|x＋p|.②把①、②代入OM＝eMH，得eq\r(x2＋y2)＝e|x＋p|.兩邊平方，化簡(jiǎn)得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.這就是圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)在直角坐標(biāo)系中的統(tǒng)一方程．梳理(1)常數(shù)e0<e<1e>1e＝1e焦點(diǎn)準(zhǔn)線題型探究例1解(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(24,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(2a2,c)＝4，))∴a2＝2c，b2＝c2－a2＝c2－2c.代入eq\f(24,a2)－eq\f(9,b2)＝1，整理得c2－14c＋33＝0，∴c＝3或c＝11.∴a2＝6，b2＝3或a2＝22，b2＝99.∴雙曲線的方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,22)－eq\f(y2,99)＝1.(2)若焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得eq\f(9,a2)－eq\f(24,b2)＝1.將a2＝2c，b2＝c2－2c代入eq\f(9,a2)－eq\f(24,b2)＝1得，2c2－13c＋66＝0，Δ<0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．綜合(1)(2)可知，雙曲線的方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,22)－eq\f(y2,99)＝1.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)F1為左焦點(diǎn)，連結(jié)AF1，BF1，則根據(jù)橢圓定義知，AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－eq\f(8,5)a＝eq\f(12,5)a.再設(shè)A、B、N三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為d1、d2、d3，由梯形中位線定理，得d1＋d2＝2d3＝3.而已知b2＝eq\f(9,25)a2，∴c2＝eq\f(16,25)a2.∴離心率e＝eq\f(4,5)，由統(tǒng)一定義AF1＝ed1，BF1＝ed2，∴AF1＋BF1＝eq\f(12,5)a＝e(d1＋d2)＝eq\f(12,5)，∴a＝1，∴橢圓方程為x2＋eq\f(y2,\f(9,25))＝1.例2解(1)如圖所示，由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1得a＝5，b＝3，c＝4.所以A(4,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)(－4,0)為橢圓的左焦點(diǎn)．因?yàn)镸A＋MF＝2a＝10，所以MA＋MB＝10－MF＋MB.因?yàn)閨MB－MF|≤BF＝eq\r(－4－22＋0－22)＝2eq\r(10)，所以－2eq\r(10)≤MB－MF≤2eq\r(10).故10－2eq\r(10)≤MA＋MB≤10＋2eq\r(10)，即MA＋MB的最大值為10＋2eq\r(10)，最小值為10－2eq\r(10).(2)由題意得橢圓的右準(zhǔn)線l的方程為x＝eq\f(25,4).由圖可知點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為MM′，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得eq\f(MA,MM′)＝e＝eq\f(4,5)，所以eq\f(5,4)MA＝MM′.所以MB＋eq\f(5,4)MA＝MB＋MM′.由圖可知當(dāng)B，M，M′三點(diǎn)共線時(shí)，MB＋MM′最小，即BM′＝eq\f(25,4)－2＝eq\f(17,4).當(dāng)y＝2時(shí)，有eq\f(x2,25)＋eq\f(22,9)＝1，解得x＝±eq\f(5\r(5),3)(負(fù)值舍去)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5\r(5),3)，2)．故MB＋eq\f(5,4)MA的最小值為eq\f(17,4)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5\r(5),3)，2)．跟蹤訓(xùn)練2解由已知易得點(diǎn)B在拋物線內(nèi)，eq\f(p,2)＝1，準(zhǔn)線方程為x＝－1，過(guò)點(diǎn)B作C′B⊥準(zhǔn)線l于C′，直線BC′交拋物線于A′，則A′B＋A′C′為滿足題設(shè)的最小值．因?yàn)镃′B∥x軸，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(3)，2)，所以A′點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2)．又因點(diǎn)A′在拋物線上，所以A′(1,2)即為所求A點(diǎn)，此時(shí)最小值為BC′＝eq\r(3)＋1.例3解(1)設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P(x，y)，由統(tǒng)一定義得eq\f(\r(x－22＋y2),|8－x|)＝eq\f(1,2)，兩邊同時(shí)平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，化簡(jiǎn)得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2(－2，0)，過(guò)F2且傾斜角為45°的直線方程為y＝x＋2，由曲線eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1聯(lián)立消去y，得7x2＋16x－32＝0.設(shè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(16,7)，AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(48,7).跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)橢圓離心率為e，M(x，y)為橢圓上任一點(diǎn)，由統(tǒng)一定義eq\f(MF,d)＝e，得eq\f(\r(x－32＋y－12),|x|)＝e，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①∵直線l的傾斜角為60°，∴直線l的方程為y－1＝eq\r(3)(x－3)，②①②聯(lián)立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(24,