高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市大通回族土族自治縣2025屆高三第四次模擬數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z=(5-i)(1-7i)，則復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】z=(5-i)(1-7i則其位于第三象限.故選：C.2．已知雙曲線C:x2a2-y2bA．y=±22x B．y=±2x C【答案】C【解析】因為e=ca=由雙曲線的幾何性質(zhì)可得漸近線方程為：y=±22故選：C3．已知向量a=-1,2，b=4,m，若a⊥A．2 B．-2 C．8 D．-8【答案】A【解析】因為向量a=-1,2，b=4,m，a⊥故選：A.4．“a<0”是“函數(shù)f(x)=x+ax-2在(-∞,2)上單調(diào)遞增A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意得，f(x)=x+a函數(shù)f(x)=1+2+ax-2的圖象可由反比例函數(shù)y=若fx在(-∞,2)上單調(diào)遞增，則2+a<0因為-∞,-2?-∞,0，所以“a<0”是“函數(shù)f(x)=x+ax-2在故選：B.5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC外接圓的半徑為6，且a=42，cosB=75，則A．-115或1315 B．115 C．【答案】D【解析】由正弦定理可得sinA=a2R=4cosB=75<2所以cosA=所以cosC=-故選：D.6．已知集合A={(x,y)∣y=(x-1)(x-5)},B=(x,y)∣y2=4x，則A．3 B．4 C．7 D．15【答案】D【解析】因為y=(x-1)(x-5)的對稱軸為x=3，頂點為N3,-4，且過點M當(dāng)x=3時，y2=4x上的點為作y=(x-1)(x-5)，y2由圖可知，y=(x-1)(x-5)的圖象與拋物線y2=4x有則A∩B有4個元素，從而A∩B的真子集的個數(shù)為24故選：D7．純音是指單一頻率的聲音，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f(x)=Asinωx．我們在日常生活中聽到的聲音，幾乎都是復(fù)合音，而復(fù)合音是由多個頻率不同的純音組成的．已知某聲音的函數(shù)是g(x)=sinx+sin2x，則A．8π3 B．6π C．17【答案】C【解析】g(x)=sin令g(x)=0，則sinx=0或cosx=-1所以sinx=0?x=-2π,-所以g(x)在[-2π,3π故選：C．8．已知A，B分別是直線l:y=x+4與圓C:x2+y2-4x-4y+6=0上的動點，P是A．32 B．32-2 C．4【答案】A【解析】由C:x2+y2-4x-4y+6=0，配方得x-22將其對稱到x軸的另一側(cè)，得圓C'是以2,-2為圓心，2為半徑的圓，因為P點在x軸上，所以PB=所以|AP|+|PB|=|AP|+|PB設(shè)C'點到直線l:y=x+4的距離為d，則AC所以|AP|+|PB|≥42-2=32故選：A.二、多選題9．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．如圖，這是A，B兩輛汽車在不同速度下的燃油效率情況，則測下列結(jié)論正確的是（

）A．行駛速度超過80km/h時，相同條件下，A車的燃油效率高于B車的燃油效率B．B車以40km/h的速度行駛1小時，消耗的汽油不超過10升C．某路段機動車最高限速80km/h，相同條件下，在該路段A車更省油D．以80km/h的速度行駛相同路程，A，B兩輛車消耗的汽油一樣多【答案】ABD【解析】對于A，由圖可知，當(dāng)行駛速度超過80km/h時，相同條件下，A車的燃油效率高于B車的燃油效率，故A正確；對于B，當(dāng)B車以40km/h的速度行駛時，燃油效率為5km/L，行駛1所以消耗汽油40÷5=8對于CD，由圖可知，當(dāng)速度為80km/h，輛車燃油效率相同，故C錯誤，D正確；故選：ABD．10．在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A．正四棱臺ABCD-A1B．正四棱臺ABCD-A1C．異面直線AA1與CED．正四棱臺ABCD-A1【答案】BCD【解析】對于選項A，已知上下底面分別為邊長2和4的正方形，則上下底面面積分別為S=22=4連接BD,B1D1，過B1則BD=42+根據(jù)正四棱臺體積公式，V=13×14對于選項B，計算側(cè)面梯形面積：作D1G⊥CD，則DG=1，D1側(cè)面梯形的高為D1G=15，上底為2，下底為4，則一個側(cè)面梯形的面積為(2+4)×152正四棱臺的表面積S=22+4對于選項C，在棱AD上取點F,R，使得DF=1,DR=2，連接EF,CF,D1又A1D1//AR,A1D且EF=12AA1根據(jù)余弦定理cos∠CEF=EF2對于選項D，分別取BD，B1D1的中點O2，O1，連接O1O設(shè)正四棱臺外接球的球心為O，半徑為R，O在直線O1O2上，連接OB由R2=O2B即R2展開(2則8+OO化簡可得214OO所以R2根據(jù)球的表面積公式S=4πR2=4故選：BCD.11．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x-1)是奇函數(shù)，f(x+1)是偶函數(shù)，則（

）A．f(1)=0 B．f(x)的一個周期為4C．f(x)圖象的一個對稱中心為(11,0) D．f(1)+f(2)+?+f(2024)=0【答案】CD【解析】對于選項A，f(x-1)是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，且f(-1)=0.f(x)關(guān)于(-1,0)對稱，f(x+1)是偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于x=1對稱，無法求出f(1)，則A錯誤.對于選項B，因為f(x-1)是奇函數(shù)，所以f(x-1)=-f(-x-1).用x+2代替x，則f((x+2)-1)=-f(-(x+2)-1)，即f(x+1)=-f(-x-3).又因為f(x+1)是偶函數(shù)，所以f(x+1)=f(-x+1).由f(-x+1)=-f(-x-3)，用-x代替x得f(x+1)=-f(x-3)，再用x+3代替x，f(x+4)=-f(x)，進(jìn)而f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)周期為8，B錯誤.對于選項C，因為f(x-1)=-f(-x-1)，所以f(x)圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，因為f(-1)=0，且f(x)關(guān)于點(-1,0)中心對稱，關(guān)于直線x=1軸對稱，可得f(3)=f(-1)=0，故(3,0)為f(x)的中心對稱，結(jié)合函數(shù)的周期為8，所以f(x)圖象關(guān)于點(11,0)對稱，C對于選項D，設(shè)f(1)=a，f(2)=b.因為f(-1)=0，且f(x)關(guān)于點(-1,0)中心對稱，關(guān)于直線x=1軸對稱，可得f(3)=f(-1)=0，f(4)=-f(2)=-b，f(5)=-f(1)=-a，f(6)=-f(2)=-b，f(7)=-f(3)=0，f(8)=f(0)=b.f(1)+f(2)+?+f(8)=a+b+0-b-a-b+0+b=0，2024÷8=253，所以f(1)+f(2)+?+f(2024)=253×0=0，D正確.故選：CD.三、填空題12．已知函數(shù)f(x)=lnx+3x-4，則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是【答案】4【解析】由題意有：f1=ln所以y--1=4x-1所以切線方程為4x-y-5=0故答案為：4x-y-5=013．甲、乙、丙等7人站成一排拍照留念，要求甲、乙相鄰，且丙站在正中間位置，則不同的站法有種．（用數(shù)字作答）【答案】192【解析】計算甲、乙站在丙左側(cè)的站法數(shù)量，因為甲、乙相鄰，可將甲、乙看作一個整體，考慮甲、乙兩人之間的排列順序，甲、乙兩人的排列方式有A22丙站在正中間位置，甲、乙站在丙的左側(cè)，此時甲、乙這個整體與丙左側(cè)的其他位置進(jìn)行排列，丙左側(cè)有2個位置，甲、乙整體占一個位置，那么剩下4個位置安排其余4人，排列方式有A44所以甲、乙站在丙左側(cè)的站法有2×A2同理，甲、乙相鄰看作一個整體，甲、乙兩人的排列方式還是A22丙站在正中間位置，甲、乙站在丙的右側(cè)，此時甲、乙這個整體與丙右側(cè)的其他位置進(jìn)行排列，丙右側(cè)有2個位置，甲、乙整體占一個位置，剩下4個位置安排其余4人，排列方式有A44所以甲、乙站在丙右側(cè)的站法有2×A2將甲、乙站在丙左側(cè)和右側(cè)的站法數(shù)量相加，即96+96=192種.故答案為：192.14．在正四棱錐P-ABCD中，PA=2AB=4，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC上的動點，則AE+EF的最小值是．【答案】7【解析】正四棱錐P-ABCD如下圖示，將平面PAB與平面PBC展開在一個平面上，如下圖，cos∠APB=16+16-42×4×4所以在E,F移動過程中，當(dāng)A,E,F共線且AF⊥PC時，AE+EF最小為EF=AP×7故答案為：715四、解答題15．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn（1）求k的值；（2）求an（3）若bn=2an，求數(shù)列b解：（1）已知Sn=n2+k當(dāng)n≥2時，a=n因為{an}是等差數(shù)列，則n=1時也應(yīng)滿足a又因為a1=1+k，所以1+k=1，解得（2）由（1）可知Sn當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，an當(dāng)n=1時，2×1-1=1=a1所以{an}（3）已知bn=2an，由（2所以bn+1bn由此可知數(shù)列{bn}是以2為首項，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式Tn=b1(1-Tn故數(shù)列{bn}的前16．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形（1）證明：AE⊥平面CDF．（2）求平面CDF與平面A1（1）證明：設(shè)AB=1，因為AA1=2AB由于四邊形ABCD是正方形，以D為原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，E(0,0,1).AE=(0-1,0-0,1-0)=(-1,0,1)，DC=(0-0,1-0,0-0)=(0,1,0)，計算AE?DC=(-1)×0+0×1+1×0=0AE?DF=(-1)×1+0×0+1×1=0，所以DC∩DF=D，DC,DF?平面CDF，所以AE⊥平面CDF.（2）解：已知A1(1,0,2)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，則DA設(shè)平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，則n令z=1，則x=-2，y=2，所以n=(-2,2,1)由（1）知AE=(-1,0,1)是平面CDF的一個法向量設(shè)平面CDF與平面A1BD的夾角為θ，兩法向量AE與n的夾角為則cosφ=確定平面夾角：因為兩平面夾角范圍是[0,π2]17．某大型超市為回饋廣大顧客，開展消費抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：在一個袋子中有4個紅球和2個白球，抽獎?wù)邚闹须S機抽取1個小球，若取到紅球，則將該球放入袋中并將袋中的1個白球換成紅球，若取到白球，則將該球放入袋中并將袋中的1個紅球換成白球．按此規(guī)則，每位抽獎?wù)咭来纬槿?個小球．獎勵規(guī)則如下：已知顧客甲和乙都參與了該大型超市的抽獎活動，且甲、乙獲得獎勵的結(jié)果相互獨立．（1）記甲獲得的獎勵金額為X，求X的分布列與期望；（2）求甲、乙獲得的獎勵金額之和不低于50元的概率．解：（1）隨機變量X的所有可能值為0，10，20，30，P(X=0)=4P(X=30)=2所以X的分布列為數(shù)學(xué)期望E(X)=0×5（2）甲、乙獲得的獎勵金額之和不低于50元的事件A是以下3個彼此互斥事件的和：甲獲得20元獎勵，乙獲得30元獎勵的事件A1，P(甲獲得30元獎勵，乙獲得20元獎勵的事件A2，P(甲乙都獲得30元獎勵的事件A3，P(因此P(A)=P(A所以甲、乙獲得的獎勵金額之和不低于50元的概率為1124318．已知橢圓C:x2a2+y2（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F的直線l與C交于M、N兩點，N關(guān)于x軸的對稱點為P，且M、N與P均不重合，證明：直線PM過定點．（1）解：由題意可知，橢圓C的左焦點為E-1,0由橢圓定義可得2a=AE+AF又因為c=1，所以b=a2-c2（2）證明：如下圖所示：由題意可知，直線l不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)點Mx1,設(shè)直線l的方程為x=my+1m≠0，聯(lián)立x=my+13xΔ=36m由韋達(dá)定理可得y1+y由題意可知點Px2,-y2直線PM的方程為y-y由對稱性可知，直線PM過x軸上的定點Tt,0，所以-所以t==2m因此，直線PM過定點T4,019．若函數(shù)φ(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且φ(x)存在唯一的極值點，則稱φ(x)為“金字塔函數(shù)”．（1）請判斷函數(shù)h(x)=14x4-（2）證明：當(dāng)n∈N*時，函數(shù)g(x)=1x2（3）已知函數(shù)f(x)=ex+e2-x+ax（1）解：h(2-x)====1顯然h(x)不關(guān)于x=1對稱，故不是金字塔函數(shù)；（2）證明：因為g(x)=1[(x-1)所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，g'因為n∈N*，(x-1)2+1>0，所以g'(x)>0得所以g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在則g(x)存在唯一的極值點1，故g(x)為“金字塔函數(shù)”.（3）解：因為f(x)為“金字塔函數(shù)”，所以f(2-x)=f(x)，所以e2-x整理得(2a+b)x=2a+b對x∈R恒成立，則2a+b=0，得b=-2a所以f(x)=ex+令k(x)=f'(x)，則k當(dāng)a≥-e時，k'(x)≥0，則k(x)=當(dāng)x∈(-∞,1)時，f'(x)<0，當(dāng)