高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024-2025學年高一下學期期中考試數學試題一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則，故選：A.2.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.7【答案】C【解析】因為在中，，，，由余弦定理，即，所以.故選：C.3.若函數，則（）A.函數的最小正周期為B.函數在區(qū)間上單調遞增C.函數圖象關于直線對稱D.函數圖象關于點中心對稱【答案】B【解析】A.函數的最小正周期為，故A錯誤；B.當，則，故B正確；C.，所以函數關于對稱，故C錯誤；D.，所以不關于對稱，故D錯誤.故選：B4.在中，點在邊上，.記，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：易知.故選：C5.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，又，可得，即，因此可得；所以.故選：B6.已知，，且向量在上的投影的數量為，則（）A.49 B.41 C.7 D.【答案】D【解析】由條件可知，，所以，.故選：D7.記的內角的對邊分別為，若的外接圓半徑為，且，則面積的最大值為（）A. B.8C. D.【答案】C【解析】因，則由余弦定理得，，因，則，設的外接圓半徑為，則，由正弦定理得，，則化簡為，因，則，等號成立時，時成立，則則面積的最大值為.故選：C8.將函數的圖象向右平移個單位長度后，再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數的圖象，若，是函數在上的兩個零點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意將函數的圖象向右平移個單位長度后可得到；再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可以得到，易知的最小正周期為，且在上，當時，取得最大值；畫出函數的圖象如下圖所示：令，即，根據正弦函數圖象可知與在上僅有兩個交點，且由對稱性可知，關于對稱，所以；因此.故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.記的內角的對邊分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則是鈍角三角形B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.若，，，則是直角三角形【答案】AC【解析】A.設，則，所以是鈍角，故A正確；B.若，則，即，即或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；C.若，則，即，即，則，所以是等腰三角形，故C正確；D.由正弦定理，可得，且，所以或，所以或，是直角三角形或等腰三角形，故D錯誤.故選：AC10.下列命題正確的是（）A.若，，則B.若存在實數，使得，則C.已知，，則的取值范圍為D.若向量，，且與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為【答案】BC【解析】對于A：如果，則，，則和不一定為共線向量，故A錯誤；對于B：向量平行的定義，若存在實數，使得，則，故B正確；對于C：由，得，因為，故，即，故C正確；對于D：向量，，且與的夾角為鈍角且向量不反向共線，故，即且，解得且，故D錯誤.故選：BC.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.是以為周期的函數B.函數存在無窮多個零點C.D.至少存在三個不同的實數，使得為偶函數【答案】ACD【解析】因為，對A：，故是以為周期的函數，故A正確；對B：因為的周期為，所以只需研究在區(qū)間上的正負，當時，，由且，故在上恒成立；當時，，設，則，當時，有最大值，當時，，當時，，故的最小值為，綜上所述，在上的取值均大于，沒有零點，故在上沒有實數根，即在上沒有零點，故B錯誤；對C：，，故，故C正確；對D：由可得的圖象關于直線對稱，當時，，圖象關于軸對稱，此時為偶函數，又因為，所以的圖象關于直線對稱，可知當時，為偶函數，，，故，即的圖象關于直線對稱，當時，，圖象關于軸對稱，此時為偶函數，綜上所述，當時，至少存在三個值，使得為偶函數，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，且，則______.【答案】【解析】由可得，由于，故，進而，因此，故答案為：13.已知函數的圖象在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸，則的取值范圍是______.【答案】【解析】當時，易知，若其圖象在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸，可得，解得.故答案為：14.在邊長為1的正方形中，，為線段上的動點，且，則的最小值為______；若是正方形的內切圓的一條弦，當弦的長度最大時，則的最大值為_____【答案】16；【解析】根據題意由為線段上的動點，可知三點共線，又，可得，因此，且，所以；當且僅當時，等號成立，即的最小值為16；取內切圓的圓心為，連接，如下圖所示：易知弦的長度最大時，為直徑，此時；又；顯然當最大時，即在點處時，時，取得最大值，即.故答案為：16；.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，點，，.（1）若，且，求向量的坐標；（2）若向量與共線，求的取值范圍.解：（1）由題可得，，因為，所以，即.由，得，即.解得或.所以點或，故向量的坐標或.（2）因為，，且與共線，所以.易知由，得當或1時，取得最小值為0.當時，取得最大值為.綜上可得的取值范圍為.16.已知函數的最大值為，兩條相鄰對稱軸之間的距離為，對，.（1）求函數的解析式及單調遞增區(qū)間；（2）在平面直角坐標系中用五點法畫出函數在的圖象；（3）當時，方程只有一個解，求實數的取值范圍.解：（1）由題可得：，，又，所以，又當時，取得最大值，所以，.得到，，因為，所以，故，令，；解得，；所以的單調遞增區(qū)間為；（2）五點法作圖列表如下：所以函數在的圖象如圖，（3）方程只有一解，轉化為函數與圖象在上只有一個交點，由（2）知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，，由（2）中圖象可得或.17.已知函數.（1）求函數的最小正周期及對稱中心；（2）記的內角的對邊分別為，若，，，求.解：（1）由題可得；所以最小正周期為.令，，即，；所以函數對稱中心為，.（2）由得，則，因為，即；所以，即.因為，由正弦定理得，因為，，所以，因為，所以.由正弦定理得，即；所以.18.記的內角的對邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若，，求；（3）若點是邊上一點，平分，，且面積是面積的3倍，求的值.（1）證明：由，得，由正弦定理得：所以，即又，所以或（舍去）故，所以結論得證（2）由及正弦定理得由，可得，即得，因為，所以所以，所以又因為且，所以所以（3）由（1）知，所以為等腰三角形，所以，又，所以又是的角平分線，由角平分線的性質定理可知：，所以，在中由余弦定理：在中，由余弦定理：又，所以，解得：，又，所以.19.定義函數的“積向量”為，向量的“積函數”為.（1）設向