高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2024-2025學年高二下學期期中教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項：1．答第Ⅰ卷前考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上．2．選出每小題答案前，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．所有試題的答案，寫在答題卡上，不能答在本讓卷上，否則無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成不同的三位數(shù)（各位上的數(shù)字可以重復）的個數(shù)為（）A.120 B.125 C.243 D.360【答案】B【解析】各位上的數(shù)字均有5種選擇，則總個數(shù)為.故選：B.2.函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】由，則，所以.故選：A.3.已知與正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，則由該觀測數(shù)據(jù)算得線性回歸方程可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，與正相關，故AD不正確；因為線性回歸方程要過點，對于B，時，，故B不正確；對于C，時，，故C正確.故選：C.4.投資A，B兩種股票，每股收益的分布列如下表：股票A收益分布列收益X02概率0.10.30.6股票B收益分布列收益Y012概率0.30.40.3下列說法正確的是（）A.投資股票A的期望收益較小 B.投資股票B的期望收益較小C.投資股票A的風險比投資股票B的風險小 D.投資股票B的風險比投資股票A的風險小【答案】D【解析】股票A收益X的期望為，方差為，股票B收益Y的期望為，方差為，所以,投資股票A的期望收益等于投資股票B的期望收益，投資股票B的風險比投資股票A的風險小.故選：D.5.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【答案】A【解析】該同學通過測試的概率為，故選A．6.若，則（）A.40 B.41 C. D.【答案】B【解析】令，則，令，則，故，故選：B.7.甲、乙兩人從周一到周日7天中選2天值班，則這兩人恰有1天都選的選法共有（）A.30 B.120 C.210 D.240【答案】C【解析】先確定選擇同一天的情況，有種選法，再從剩下的6天中任選兩天，因此共有種選法.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，顯然，所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某地區(qū)數(shù)學考試成績數(shù)據(jù)分析，男生成績X服從正態(tài)分布，女生成績Y服從正態(tài)分布，其中男生數(shù)等于女生數(shù)，則（）A.男生成績的平均分約為72分 B.男生的成績比女生更為集中C.80分以上的學生中，男生數(shù)約等于女生數(shù) D.低于56分的學生中，女生數(shù)多于男生數(shù)【答案】AC【解析】由題意，男生成績X服從正態(tài)分布，則，即男生成績的平均分約為72分，故A正確；女生成績Y服從正態(tài)分布，則，由于，所以女生的成績比男生更為集中，故B錯誤；而，，則，則80分以上的學生中，男生數(shù)約等于女生數(shù)，故C正確；而，，所以，則低于56分的學生中，女生數(shù)少于男生數(shù)，故D錯誤.故選：AC.10.設函數(shù)，a不是極值點，則（）A.是極值點 B.若與的極大值相等，則C.當時， D.過原點與曲線線相切的直線有三條【答案】ABD【解析】由，則，令，得或；令，得，所以函數(shù)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值，故A正確；對于B，由于與的極大值相等，a不是極值點，則，又，所以，故B正確；對于C，當時，，則，故C錯誤；對于D，設切點為，由，則，解得或，所以過原點與曲線線相切的直線有三條，故D正確.故選：ABD.11.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發(fā)送0時，收到1的概率為收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為收到1的概率為．共有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)一次；三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到0，1，1，則譯碼為1）．則（）A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送0，0，則收到兩個譯碼恰好有一個正確的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則收到的譯碼為1的概率為C.采用單次傳輸方案，若隨機發(fā)送一個信號（發(fā)送0和發(fā)送1的概率都是），則收到的譯碼為1的概率為D.當時，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】BCD【解析】對于A，由題意，采用單次傳輸方案，收到兩個譯碼恰好有一個正確的概率為，故A錯誤；對于B，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，譯碼為1的情況分別為“”、“”、“”、“”，則譯碼為1的概率為，故B正確；對于C，采用單次傳輸方案，則收到的譯碼為1的概率為，故C正確；對于D，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的情況有“”、“”、“”、“”，所以收到譯碼為0的概率；若發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0概率為，由，且，則，即，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.設則______；【答案】【解析】由，則，所以.故答案為：.13.的展開式中的系數(shù)為______.（數(shù)字作答）【答案】【解析】由的展開式通項為，，當時，，當時，，所以含的項為.故的系數(shù)為.故答案為：.14.已知三個正整數(shù)的和為9，用表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，則______．【答案】【解析】設這三個正整數(shù)分別為，則由題意可得，故隨機變量可能取值為1，2，3，用隔板法，可知排法總數(shù)有種.當時，可分兩種情況：①三個數(shù)中，只有一個1，有種；②三個數(shù)中有兩個1，有種，故；當時，可分兩種情況：①三個數(shù)中只有一個2，有種，②三個數(shù)中有兩個2，有種，故；當時，只有一種情況，即.故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.為了解某地初中學生閱讀時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)初中學生中隨機抽取部分學生，得到日均閱讀時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間（小時）成績優(yōu)秀4444232不優(yōu)秀1341421404024（1）從樣本中學業(yè)成績優(yōu)秀且閱讀時間在區(qū)的學生當中隨機抽取3名學生進行調(diào)查，X表示3名學生中閱讀時長在人數(shù)，求X的分布列和期望；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析學業(yè)成績優(yōu)秀與日均閱讀時長不小于1小時且小于2小時是否有關？（運算結果四舍五入保留到小數(shù)點后兩位小數(shù)）（附：，其中，解：（1）由題意，X的所有取值為，則，，，則X的分布列為X123所以（2）由題列聯(lián)表如下：其它合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀180300480合計225350575則，所以學業(yè)成績優(yōu)秀與日均閱讀時長不小于1小時且小于2小時無關.16.已知函數(shù)，為的導函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間和最值．解：（1）當時，，則，則，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由，，則，所以，則，因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，此時，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時，函數(shù)取得極小值，滿足題意，即，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)取得最小值，無最大值.17.甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．（1）從甲箱中隨機摸出3個球，求這3個球中恰有2個紅球的概率；（2）先從甲箱中隨機摸出1個球，再從乙箱中隨機摸出1個球，求這兩次摸出的球中紅球個數(shù)的分布列；（3）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球，求摸到紅球的概率．解：（1）由題意，這3個球中恰有2個紅球的概率為.（2）由題意，的所有取值為，則，，，則的分布列為：012（3）從甲箱中摸紅球：擲到點數(shù)為1或2的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，故從甲箱中摸到紅球的概率為；從乙箱中摸紅球：擲到點數(shù)為3，4，5，6的概率為，再從乙箱中摸到紅球的概率為，故從乙箱中摸到紅球的概率為；綜上所述：摸到紅球的概率為.18.已知函數(shù)，其中．（1）討論的零點個數(shù)；（2）若是在上的零點，證明：．解：（1）由，得，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因為時，，，，所以當，即時，函數(shù)無零點；當，即時，函數(shù)有1個零點；當，即時，函數(shù)有2個零點.綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點.（2）由題意，，即，要證，即證，令，，因為，所以，所以當時，成立，因此只需證明當時，，因為，所以，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，則函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，綜上所述，，即.19.某人工智能公司招聘高級技術人員一名，經(jīng)初選，有10名應屆畢業(yè)生進入最后面試環(huán)節(jié)，其中A高校和B高校各有4名，C校2名，10名面試者隨機抽取1，2，…，10號面試序號．（1）若來自A高校的4名畢業(yè)生的面試序號分別為,，，，來自B高校的4名畢業(yè)生的面試序號分別為，，，，來自C高校的2名畢業(yè)生的面試序號分別為，．（?。┣蟾怕剩?；（ⅱ）隨機變量，求的均值．（2）經(jīng)面試，第位面試者的面試得分為，且他們的得分各不相等，現(xiàn)該公司的人事部門設計了以下面試錄用規(guī)則：，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者．證明：面試得分第一、第二的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率小于0.59．解：（1）（i）從10個面試序號中選4個給B高校的畢業(yè)生，總的選法有種，若，則從1到7號中選3個給B高校的其他3名畢業(yè)生，選法有種，則，從6個面試序號中選2個給C高校的畢業(yè)生，剩下4個給A高校的畢業(yè)生，總的選法有種，若，則這6個面試序號中，最大，安排在，，，前后的空位中，選法有種，則時，選法有10種，則.（ii）的可能取值為，則，所以（2）①第一種情況，錄用了面試得分第一的人.若面試得分第一的人在第位，要使得其被錄用，則在他前面的個人中的