北京長安中學中考數(shù)學幾何綜合壓軸題易錯專題一、中考數(shù)學幾何綜合壓軸題1．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【點睛】考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.2．和都是等邊三角形，繞點旋轉(zhuǎn)，連接．猜測發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請說明理由．問題解決：（2）若三點不在一條直線上，且，求的長．拓展運用：（3）若三點在一條直線上（如圖2），且和的邊長分別為1和2，的面積及的值．解析：（1）AE=BD，理由見解析；（2）5；（3）面積為，＝【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，容易證明△BCD≌△ACE，從而問題即可解決；（2）根據(jù)∠ADC=30゜及△DCE是等邊三角形，可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90゜，從而可計算出AE，再由（1）即可得BD的長；（3）過A點作AF⊥CD于F，根據(jù)和都是等邊三角形，可得∠ACD=60゜，于是在直角△ACF中利用三角函數(shù)知識可求得AF的長，從而可求得△ACD的面積；在△ACF中還可求得CF的長，從而可得DF的長，這樣在直角△ADF中即可求得結論．【詳解】（1）AE=BD．理由如下：∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）如圖3，由（1）得：，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴；（3）如圖2，過作于，∵三點在一條直線上，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，，∴，，在中，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，帶有一定的綜合性．3．定義：如圖（1），點P沿著直線l翻折到，P到的距離叫做點P關于l的“折距”．已知，如圖（2），矩形中，，等腰直角中，，點G在上，E、B在的兩側(cè)，點F為的中點，點P是射線上的動點，把沿著直線翻折到，點F的對應點為，理解：（1）當時，①若點在邊上，則點A關于的“折距”為______；②若點E關于的“折距”為12，則______．應用：（2）若，當點、、C、D能構成平行四邊形時，求出此時x的值拓展：（3）當時，設點E關于的“折距”為t，直接寫出當射線與邊有公共點時t的范圍．解析：（1）①；②3；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)計算即可；②設和相交于M，證明，即可得解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；（3）當在BC上時為最小值，當在BC上時為最大值，通過相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）當時，①若在BC上時，則，此時四邊形為正方形，在中，，∵點A關于的“折距”為，∴點A關于的“折距”為；②由題意可知，設和相較于M，則，且，在與中，，∴，∴，又，即，解得；（2）當點、、C、D能構成平行四邊形時，則與平行且相等，在中，，又，∴，即；（3）當時，點E關于的“折距”為t，且射線與邊的公共點范圍如圖所示，當在BC上時為最小值，當在BC上時為最大值，∴，∴，∴為等腰直角三角形，E到BP的距離為，當在BC上時，，設與交于點Q，與交于點N，∴，又，∴，∴，∴，當在BC上時，∵為EG中點，如圖于M，∴，，∴，∴t的取值范圍為；【點睛】本題主要考查了四邊形綜合應用，結合勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)計算是解題的關鍵．4．綜合與實踐數(shù)學問題：（1）如圖1，是等腰直角三角形，過斜邊的中點作正方形，分別交，于點，，則，，之間的數(shù)量關系為______．問題解決：（2）如圖2，在任意內(nèi)，找一點，過點作正方形，分別交，于點，，若，求的度數(shù)；圖2拓展提升：（3）如圖3，在（2）的條件下，分別延長，，交于點，，則，，的數(shù)量關系為______．圖3（4）在（3）的條件下，若，，則______．解析：（1）；（2）135°；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關系及正方形的性質(zhì)即可得出數(shù)量關系；（2）延長至點，使，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證，從而可得DP=DB，進而可證，從而可得，，由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠ADB的度數(shù)；（3）由正方形的對邊平行的性質(zhì)易得AM=DM，BN=DN，從而在Rt△MDN中，由勾股定理即可得MN、AM、BN的數(shù)量關系；（4）由（2）知FP=BE，即可求得DE=DF=1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可分別求得EM、FN的長，從而可得DM、DN的長，在Rt△MDN中，由勾股定理即可求得MN的長．【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，且AB=AC，∴，∠A=∠B=45°，∵四邊形DECF是正方形，且D是AB的中點，∴DF=FC=CE=DE，∠DFA=∠DEB=90°，DF∥BC，DE∥AC，∴∠ADF=∠B=45°，∠BDE=∠A=45°，∴AF=DF，BE=DE，∴F、E分別是AC、BC的中點，∴CF=BE，∴AC=AF+CF=AF+BE，∴；（2）延長至點，使，連接．∵四邊形是正方形，∴，．∵，，，∴．∴．∵，，，∴．又∵，，∴．∴．同理可得：．∵，∴．∴．∴．（3）∵DF∥BC，DE∥AC，∴∠CBD=∠NDB，∠DAC=∠ADM，∵，，∴∠ABD=∠NDB，∠ADM=∠DAB，∴BN=DN，AM=DM．在Rt△MDN中，由勾股定理得：故答案為：，（4）∵△ABC是直角三角形，AC=3，BC=4，∴由勾股定理得：AB=5，設正方形DECF的邊長為x，由（2）知，AP=AB=5，BE=FP，CP=AP-AC=2，∵FP=CP+CF，BE=BC-CE，即4-x=2+x，解得x=1，∴BE=BC-CE=3，AF=AC-CF=2，∵EM∥AC，F(xiàn)N∥BC，∴△BME∽△BAC，△AFN∽△ACB∴，，∴，．∵DM=ME-DE=，DN=FN-DF=，．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，截長補短法作輔助線是本題的關鍵．5．（問題原型）如圖，在矩形中，對角線、交于點，以為直徑作．求證：點、在上．請完成上面問題的證明，寫出完整的證明過程．（發(fā)現(xiàn)結論）矩形的四個頂點都在以該矩形對角線的交點為圓心，對角線的長為直徑的圓上．（結論應用）如圖，已知線段，以線段為對角線構造矩形．求矩形面積的最大值．（拓展延伸）如圖，在正方形中，，點、分別為邊、的中點，以線段為對角線構造矩形，矩形的邊與正方形的對角線交于、兩點，當?shù)拈L最大時，矩形的面積為_____________________解析：問題原型：見解析；結論應用：見解析；發(fā)現(xiàn)結論：2；拓展延伸：2【分析】問題原型：運用矩形對角線互相平分且相等，即可求證四點共圓；結論應用：根據(jù)結論矩形面積最大時為正方形，利用對角線的長求得正方形的面積；拓展延伸：由上一問的結論，可知四邊形為正方形,證明四邊形是正方形，繼而求得面積【詳解】解：【問題原型】∵為直徑，∴為半徑.令.∵四邊形為矩形，∴，，.∴.∴點、在上.【結論應用】連續(xù)交于點，過點作于點.∴.由【發(fā)現(xiàn)結論】可知，點在以為直徑的圓上，即，∴當即時，矩形的面積最大.∴矩形的面積最大值為.【拓展延伸】如圖，連接,設與的交點為四邊形是正方形,，點、分別為邊、的中點,四邊形是矩形由【結論應用】可知，時，矩形的面積最大為此時四邊形為正方形，此時最大，,四邊形是正方形正方形的面積為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，靈活運用矩形，正方形的性質(zhì)和判定是解題的關鍵．6．（了解概念）定義：在平面直角坐標系中，組成圖形的各點中，與點Р所連線段最短的點叫做點Р關于這個圖形的短距點，這條最短線段的長度叫做點Р到這個圖形的短距．（理解運用）（1）已知點，以原點為圓心，l為半徑作，則點Р關于的短距點的坐標是；（2）如圖，點，等邊三角形OAB的頂點A的坐標為，頂點B在第一象限，判斷點Р關于的短距點的個數(shù)，并說明理由；（拓展提升）（3）已知，，，點C在第一象限內(nèi)，且，，若點Р到四邊形OACB的短距大于2，請直接寫出的取值范圍．解析：（1）(-1，0)；（2）點Р關于的短距點的個數(shù)有3個；（3）當p＜-或2＜p＜4或p＞6+時，點Р到四邊形OACB的短距大于2．【分析】（1）連接PO，交于點M，點M即是點Р關于的短距點，進而即可求解；（2）根據(jù)題意得點P是三角形OAB的中心，進而即可求解；（3）由題意得點P，A，B在直線y=-x+6上，以點P為圓心，半徑長為2畫圓，分3種情況：①當點P在AB的延長線上，圓P過點B時，②當點P在線段AB上，圓P與BC相切于點N，過點P作PM⊥y軸，③當點P在BA的延長線上，圓P過點A時，過點P作PM⊥y軸，分別求解，即可得到答案．【詳解】解：（1）連接PO，交于點M，點M即是點Р關于的短距點，∵，、的半徑為1，∴M(-1，0)，故答案是：(-1，0)；（2）∵點，等邊三角形OAB的頂點A的坐標為，∴點P是三角形OAB的中心，∴點P到OA，OB，OC的三條垂線段最短，三條垂線段都等于，∴點Р關于的短距點的個數(shù)有3個；（3）∵，，，∴點P，A，B在直線y=-x+6上，∴∠ABO=∠BAO=45°，∵點C在第一象限內(nèi)，且，，∴∠ABC=75°-45°=30°，以點P為圓心，半徑長為2畫圓，如圖所示：當點P在AB的延長線上，圓P過點B時，過點P作PM⊥y軸，∵PB=2，∠PBM=45°，∴PM=2×=，∴p＜-時，點Р到四邊形OACB的短距大于2；①當點P在線段AB上，圓P與BC相切于點N，過點P作PM⊥y軸，則BP=2PN=2×2=4，PM=BP×=2，②當點P在線段AB上，圓P與OA相切于點N，過點P作PM⊥y軸，則AP=PN=2，BP=AB-AP=6-2=4，PM=BP×=4×=4，∴2＜p＜4時，點Р到四邊形OACB的短距大于2；③當點P在BA的延長線上，圓P過點A時，過點P作PM⊥y軸，則PM=（6+2）×=6+，∴p＞6+時，點Р到四邊形OACB的短距大于2；綜上所述：當p＜-或2＜p＜4或p＞6+時，點Р到四邊形OACB的短距大于2．【點睛】本題主要考查圖形與坐標以及圓的綜合題，根據(jù)題意畫出圖形，掌握圓與直線相切的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（概念學習）在平面直角坐標系中，的半徑為，若平移個單位后，使某圖形上所有點在內(nèi)或上，則稱的最小值為對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，則對線段的“最近覆蓋距離”為．（概念理解）（1）對點的“最近覆蓋距離”為_．（2）如圖②，點是函數(shù)圖像上一點，且對點的“最近覆蓋距離”為，則點的坐標為_．（拓展應用）（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖像上存在點，使對點的“最近覆蓋距離”為，求的取值范圍．（4），且，將對線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．解析：（1）4；（2）或；（3）或；（4）【分析】（1）求出點(3,4)與原點的距離，這個距離與1的差即是所求結果；（2）設點P的坐標為，根據(jù)P到圓心的距離為4及勾股定理，可得關于x的方程，解方程即可求得點P的坐標；（3）考慮臨界狀態(tài)，當OC=2時，函數(shù)圖象上存在點C，使對點C的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出;同理，另一個臨界狀態(tài)為，即可求解；（4）由題意可得DE是一條傾斜角度為45°,長度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦AB、FG，如果D落在弧AF上，或者落在弧BG上，進而求解．【詳解】（1）點(3,4)與原點的距離為，而5－1=4，則對點的“最近覆蓋距離”為4；故答案為：（2）由題意可知，到圓的最小距離為，即到圓心的距離為由點P在直線上，故設，則解得故點P的坐標為：或故答案為：或（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，過O作OC⊥DE于C點，當時，函數(shù)圖像上存在點，使對點的“最近覆蓋距離”為則設則由勾股定理可得：解得（舍）此時．同理，另一個臨界狀態(tài)為經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點或由題意可知，是一條傾斜角度為，長度為的線段可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦如果落在弧上，或者落在弧上，則成立當時，到弧的最小距離為此時當時，到弧的最小距離為此時綜上【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識、三角形相似的判定與性質(zhì)、新定義等，數(shù)形結合是本題解題的關鍵．8．在中，點D，E分別是邊上的點，．基礎理解：（1）如圖1，若，求的值；證明與拓展：（2）如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接；①求證：；②如圖3，若在旋轉(zhuǎn)的過程中，點恰好落在上時，連接，則的面積為________．解析：（1）；（2）①見詳解；②13.44【分析】（1）利用平行線分線段定理，直接求解即可；、（2）①先推出，從而得，進而即可得到結論；②先推出AE=AE1=8，DE=D1E1=10，過點A作AM⊥DE于點M，則DM=3.6，D1E=2.8，再證明∠D1EE1=90°，進而即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴=；（2）①∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a度，得到，∴=AD，=AE，∠BAD1=∠CAE1，∵，∴，即，∴，∴，∴；②由①可知，∴，∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點恰好落在上，∴AD1=AD=6，∠D1AE1=∠DAE=90°，∴AE=AE1=AD1=8，DE=D1E1=，過點A作AM⊥DE于點M，則DM=D1M=AD×cos∠ADE=AD×=6×=3.6，∴D1E=10-3.6×2=2.8，∵∠D1AE1=∠DAE=90°，∴∠DAD1=∠EAE1，又∵AD1=AD，AE=AE1，∴∠ADE=，∴∠AED+=∠AED+∠ADE=90°，即：∠D1EE1=90°，∴，∴的面積=D1E?EE1=×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行線分線段成比例定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關鍵．9．數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且，如圖，試確定線段與的大小關系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結論當點E為的中點時，如圖1，確定線段與的大小關系．請你直接寫出結論：_____（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：如圖2，題目中，與的大小關系是：____（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（請你完成以下解答過程）（3）拓展結論，設計新題在等邊三角形中，點E在直線上，點D在直線上，且．若的邊長為1，，求的長（請你直接寫出結果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD=3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，交于點，為等邊三角形，，∠A=60°，∴為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）如圖1，過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．（3）CD=1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖2過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM和△EBN中，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN=BM=，∴CN=1+=，CD=2CN=3；②如圖3，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴，∴，∴MN=1，∴CN=1-=，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【點睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應用，解（2）小題的關鍵是構造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解?。?0．情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是▲，∠CAC′=▲°．問題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關系，并說明理由.解析：情境觀察：AD（或A′D），90問題探究：EP=FQ.證明見解析結論：HE=HF.證明見解析【詳解】情境觀察AD（或A′D），90問題探究結論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ拓展延伸結論：HE=HF.理由：過點E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB=kAE，AC=kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF11．已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是________．（2）[探究證明]如圖2，當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關系．解析：（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）①仍然成立，證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)三角形全等可得；（2）方法一：過點O作直線，交BD于點F，延長AC交EF于點E，證明即可，方法二：延長CO交BD于點E，證明即可；（3）①方法一：過點O作直線，交BD于點F，延長CA交EF于點E，證明，方法二：延長CO交DB的延長線于點E，證明；②延長CO交DB的延長線于點E，證明，根據(jù)已知條件得出．【詳解】（1）O是線段AB的中點在和中（2）數(shù)量關系依然成立．證明（方法一）：過點O作直線，交BD于點F，延長AC交EF于點E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．證明（方法二）：延長CO交BD于點E，∵，，∴，∴，∵點O為AB的中點，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（3）①數(shù)量關系依然成立．證明（方法一）：過點O作直線，交BD于點F，延長CA交EF于點E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．10分證明（方法二）：延長CO交DB的延長線于點E，∵，，∴，∴，∴點O為AB的中點，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．②如圖，延長CO交DB的延長線于點E，∵，，∴，∴，∴點O為AB的中點，∴，又∵，∴，∴，∵,．【點睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意找到全等的三角形，證明線段相等，是解題的關鍵．12．綜合與實踐（1）（探索發(fā)現(xiàn)）在中.，，點為直線上一動點（點不與點，重合），過點作交直線于點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．如圖（1），當點在線段上，且時，試猜想：①與之間的數(shù)量關系：______；②______．（2）（拓展探究）如圖（2），當點在線段上，且時，判斷與之間的數(shù)量關系及的度數(shù)，請說明理由．（3）（解決問題）如圖（3），在中，，，，點在射線上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當時，直接寫出的長．解析：（1）①；②；（2），．理由見解析；（3）的長為1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解決問題；（2）結論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問題；（3）分當點D在線段BC上和當點D在BC的延長線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，設AB交DE于O．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF=BE，∠DAF=∠E，∵∠AOD=∠EOB，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案為AF=BE，90°．（2），.理由：∵，∴，.∵，∴.∴.∴∵，，，∴.又∵，∴.∴，.∴，，∴.（3）1或2.解：當點在線段上時，過點作交直線于點，如圖（1）.∵，∴.∵，∴.∵，∴，.∵，，∴.∵，∴.∴.∴.又，∴，.當點在線段的延長線上時，過點作交的延長線于點，如圖（2）.∵，∴.∴.∴.同理可得.綜上可得，的長為1或2.【點睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．13．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D與點C重合，點E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點D沿CA方向移動，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結論是否保持不變？若改變，請求出具體數(shù)值：若不變，請說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至點F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，構造直角三角形：△ADG，結合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結合方程求得答案；（3）如圖3，過點E作EG⊥AD于點G，構造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點E作EG⊥AD于點G，設AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．14．定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個三角形為“準黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．（概念感知）（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準黃金”三角形，請說明理由．（問題探究）（2）如圖2，是“準黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是的重心，求的值．（拓展提升）（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準黃金”的“金底”BC在直線上，點A在直線上．，若是鈍角，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點D．①當時，則_________；②如圖4，當點B落在直線上時，求的值．解析：（1）是“準黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．【分析】（1）過點A作于點D，先求出AD的長度，然后得到，即可得到結論；（2）根據(jù)題意，由“金底”的定義得，設，，由勾股定理求出AB的長度，根據(jù)比值即可求出的值；（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長度，由相似三角形的性質(zhì)，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長度，然后得到CD的長度；②由①可知，得到CE和AC的長度，分別過點，D作，，垂足分別為點G，F(xiàn)，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得到，然后求出CD和AD的長度，即可得到答案．【詳解】解：（1）是“準黃金”三角形．理由：如圖，過點A作于點D，∵，，∴．∴．∴是“準黃金”三角形．（2）∵點A，D關于BC對稱，∴，．∵是“準黃金”三角形，BC是“金底”，∴．不防設，，∵點為的重心，∴．∴，．∴．∴．（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：由題意得AE=3，∵，∴BC=5，∵，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∴，∴；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，∴△ACE∽△DAF，∴，設，則，∵∠ACD=30°，∴，∴，解得：∴．②如圖，過點A作于點E，則．∵是“準黃金”三角形，BC是“金底”，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．分別過點，D作，，垂足分別為點G，F(xiàn)，∴，，，則．∵，∴．∴．∴設，，．∵，∴，且．∴．∴．∴，解得．∴，．∴．【點睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結合的思想進行解答．15．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點在正方形兩條對角線的交點處，，將繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點和點（點與點，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關系是．（2）（類比應用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請猜想結論并說明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點是上一點，，求的長．解析：（1）（2）結論不成立．（3）【分析】（1）結論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結論；（2）結論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點睛】考核知識點：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運用各個幾何性質(zhì)定理是關鍵；此題比較綜合.16．小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對頂角，，連接，，點F是線段上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段的中點時，連接（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結論：．你認為此結論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：若，則點F為線段的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若，求的長．解析：（1）是；（2）結論成立，理由見解析；（3）【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過證明∠ADB+∠EDC=90°證明結論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出90°，90°，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過證明得出，據(jù)此加以分析即可證明結論；（3）如圖，設G為的中點，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續(xù)通過勾股定理求出，最后進一步證明，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，從而求出，最后進一步分析求解即可.【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在中，∵F是斜邊CE的中點，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結論成立，故答案為：是；（2）結論成立，理由如下：∵，∴90°，90°，∴，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．又90°，90°，，∴，∴．∴．∴F為的中點；（3）如圖，設G為的中點，連接GD，由（1）可知，∴，又∵，在中，，∴，在中，，在與中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.17．如圖1，已知，，點D在上，連接并延長交于點F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，當小于時，得到圖2，連接并延長交于點F，則（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展：圖1中，過點E作，垂足為點G．當?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時，若，，直接寫出的長．解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設BD延長線DM交AE于M點，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四邊形AEGC為矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：．故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關鍵是延長DF到G點并使FG=DC，進而構造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．18．如圖1，在等腰三角形中，點分別在邊上，連接點分別為的中點．（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請求出面積的最大值．解析：（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點分別為的中點＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)MNBD，NPCE，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代換求出，即可求解．（3）根據(jù)，可知BD最大值，繼而求出面積的最大值．【詳解】由題意知：AB=AC，AD=AE，且點分別為的中點，∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC∴MN=NP又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=根據(jù)三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=．是等邊三角形．理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得在ABD和ACE中．點分別為的中點，是的中位線，且同理可證且．在中∵∠MNP=，MN=PN是等邊三角形．根據(jù)題意得:即，從而的面積．∴面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了三角形中點的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關知識；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關知識是解題的關鍵．19．某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩要互相垂直的線段做了如下探究：（觀察與猜想）（1）如圖1，在正方形中，點，分別是，上的兩點，連接，，，則的值為__________；（2）如圖2，在矩形中，，，點是上的一點，連接，，且，則的值為__________；（類比探究）（3）如圖3，在四邊形中，，點為上一點，連接，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點，求證：；（拓展延伸）（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點落在點處得，點，分別在邊，上，連接，，且．①求的值；②連接，若，直接寫出的長度．解析：（1）1；（2）；（3）證明見解析；（4）①；②．【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，由此即可得出答案；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、對頂角相等可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，由此即可得證；（4）①如圖（見解析），先證出，從而可得，再分別在和中，解直角三角形可得，，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，最后利用的面積公式求出的長，由此即可得出答案；②先根據(jù)（4）①中，相似三角形的性質(zhì)可得，可求出，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，在