2019年XX學校校內高中數學競賽試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性為（）A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶D.既是奇又是偶答案：A2.曲線\(y=x^2+\lnx\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(3x-y-2=0\)B.\(2x-y-1=0\)C.\(x-y=0\)D.\(4x-y-3=0\)答案：A3.函數\(f(x)=\sin2x+\cos4x\)的最小正周期為（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B4.等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_3=8\)，\(a_2+a_4=12\)，則\(a_5=\)（）A.8B.9C.10D.11答案：C5.一個幾何體的三視圖均為半徑為1的圓，則該幾何體的體積為（）A.\(\frac{4}{3}\pi\)B.\(\pi\)C.\(\frac{2}{3}\pi\)D.\(\frac{\pi}{3}\)答案：A6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點為\(F\)，右頂點為\(A\)，上頂點為\(B\)，若\(\angleABF=90^\circ\)，則離心率\(e=\)（）A.\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：A7.從1,2,3,4,5中任取兩個數，其和為偶數的概率為（）A.\(\frac{2}{5}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A8.函數\(f(x)=e^x-x-2\)的零點個數為（）A.0B.1C.2D.3答案：C9.函數\(f(x)=\sinx+\cosx\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的最大值為（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：B10.等比數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，前\(n\)項和為\(S_n\)，則\(S_n+\frac{1}{S_n}\)的最小值為（）A.2B.\(\frac{5}{2}\)C.\(\frac{17}{8}\)D.3答案：A11.正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=1\)，直線\(A_1C\)與平面\(ABCD\)所成角的正切值為（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：D12.圓\(x^2+y^2=4\)上到直線\(x+y-2=0\)的距離為\(\sqrt{2}\)的點的個數為（）A.0B.1C.2D.3答案：C二、填空題（本題共4小題，每小題6分，共24分）13.數列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_5=\)__________。答案：3114.三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，則三棱錐的體積為__________。答案：215.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程為__________。答案：\(y=\pm\frac{3}{2}x\)16.函數\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值為__________。答案：2三、解答題（本題共6小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本題滿分10分）已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})\)的值。評分細則：求\(\cos\alpha\)：\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，故\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)，得3分；展開余弦差公式：\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}\)，得2分；代入計算：\((-\frac{4}{5})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)，得3分；結果正確、格式規(guī)范，得2分。18.（本題滿分10分）已知數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，且\(S_n=2a_n-1\)，求數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。評分細則：當\(n=1\)時，\(S_1=a_1=2a_1-1\)，解得\(a_1=1\)，得2分；當\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-1-(2a_{n-1}-1)\)，化簡得\(a_n=2a_{n-1}\)，得4分；判定為等比數列：首項1，公比2，通項\(a_n=2^{n-1}\)，得3分；驗證\(n=1\)時成立，得1分。19.（本題滿分12分）如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=AA_1=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(D\)為\(BC\)的中點。（1）證明：\(A_1D\perp\)平面\(B_1C_1D\)；（2）求三棱錐\(A_1-B_1C_1D\)的體積。評分細則：（1）證明：建立坐標系：\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(0,0,2)\)，\(B_1(2,0,2)\)，\(C_1(0,2,2)\)，\(D(1,1,0)\)，得2分；計算向量：\(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)\)，\(\overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0)\)，\(\overrightarrow{C_1D}=(1,-1,-2)\)，得2分；驗證垂直：\(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1C_1}=0\)，\(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1D}=0\)，得3分；由線面垂直判定定理得證，得1分；（2）求體積：平面\(B_1C_1D\)的面積：\(B_1C_1=2\sqrt{2}\)，\(C_1D=\sqrt{6}\)，\(B_1D=\sqrt{6}\)，面積\(S=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}\)，得2分；高\(A_1D=\sqrt{6}\)，體積\(V=\frac{1}{3}\timesS\times\text{高}=\frac{1}{3}\times2\sqrt{2}\times\sqrt{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，得2分。20.（本題滿分12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((2,1)\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A、B\)兩點，\(O\)為坐標原點，若\(OA\perpOB\)，求\(m\)的取值范圍。評分細則：（1）求橢圓方程：離心率得\(b^2=\frac{a^2}{4}\)，得2分；代入點\((2,1)\)得\(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\)，解得\(a^2=8\)，\(b^2=2\)，得2分；橢圓方程\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\)，得1分；（2）求\(m\)的范圍：聯(lián)立方程得\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0\)，得2分；判別式\(\Delta=64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0\)，得2分；由\(OA\perpOB\)得\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，化簡得\(5m^2=8k^2+8\)，得2分；代入判別式得\(m^2>\frac{8}{5}\)，即\(m\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{10}}{5})\cup(\frac{2\sqrt{10}}{5},+\infty)\)，得3分。21.（本題滿分10分）已知函數\(f(x)=x^3-3x^2+ax+2\)，曲線\(y=f(x)\)在點\((1,f(1))\)處的切線與直線\(y=2x+1\)平行。（1）求\(a\)的值；（2）求函數\(f(x)\)的單調區(qū)間和極值。評分細則：（1）求\(a\)：導數\(f'(x)=3x^2-6x+a\)，得2分；切線斜率\(f'(1)=a-3=2\)，解得\(a=5\)，得3分；（2）單調區(qū)間與極值：\(f(x)=x^3-3x^2+5x+2\)，\(f'(x)=3x^2-6x+5\)，得2分；判別式\(\Delta<0\)，\(f'(x)>0\)恒成立，得2分；函數在\((-\infty,+\infty)\)單調遞增，無極值，得3分。22.（本題滿分12分）已知數列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3a_n+2^n\)，求數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。評分細則：齊次方程通解：\(A\cdot3^n\)，得2分；設特解\(b\c