高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則且，解得.故選：C.2.空間四邊形中，，點在上，點為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】點為的中點，則有，所以.故選：B.3.已知橢圓的短軸長為2，焦距為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題的，所以，所以離心率為，故選：C.4.過和兩點的面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)過和兩點的圓的圓心為，半徑為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)為中點時等號成立，故過和兩點的圓的面積最小時直徑為，此時圓的圓心為3,-4，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.5.已知與關(guān)于直線對稱，則下列說法中錯誤的是（）A.直線過,的中點 B.直線的斜率為C.直線的斜率為3 D.直線的一個方向向量的坐標(biāo)是【答案】B【解析】對于A，因為與關(guān)于直線對稱，所以直線過，的中點，故A正確；對于B，直線的斜率為，故B錯誤；對于C，因為直線的斜率為，所以直線的斜率為3，故C正確；對于D，因為直線的斜率為3，所以直線的一個方向向量的坐標(biāo)是，故D正確.故選：B.6.已知過原點的直線與圓相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線方程為，由題可知圓心到直線的距離小于半徑，圓圓心為2,0，半徑，所以有故選：C.7.已知是空間的一個基底，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意可知，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)是，則,所以，可得，解得，所以向量在基底下的坐標(biāo)是.故選：B.8.從直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】圓化為，圓心為，半徑為1，直線上的點向圓引切線，設(shè)切點為，則，要使切線長的最小，則PC最小，即直線上的點與圓心的距離最小，由點到直線的距離公式可得，.所以切線長的最小值為.故選：B.9.平行六面體中，，，，，，則的長為（）A.10 B. C. D.【答案】D【解析】記，則，且；所以；因此可得即，所以的長為.故選：D.10.已知是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】如圖，由題意，橢圓的焦點為，，則圓的圓心是橢圓的左焦點，由橢圓定義得，所以，又，所以.故選：B.二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案填在題中橫線上.11.已知點B是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則__________.【答案】【解析】∵點B是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的正射影，∴B在坐標(biāo)平面上，橫標(biāo)和縱標(biāo)與A相同，而豎標(biāo)為0，∴B的坐標(biāo)是，∴.12.已知點與點之間的距離為5，則實數(shù)a的值為____________．【答案】或【解析】，化簡為，解得：或.13.如圖，在長方體中，，，點為線段的中點，則直線與直線所成角的余弦值為_____.【答案】【解析】記，則，易知，所以；又，所以；顯然，,所以；又直線與直線所成的角的范圍是，所以直線與直線所成角的余弦值為.14.已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為______：公共弦長為_____.【答案】【解析】易知兩圓相交，將兩圓方程相減可得，即；所以兩圓公共弦所在直線的方程為；易知圓的圓心為，半徑為；圓心到直線的距離為，所以公共弦長為.15.已知橢圓的焦點為，，過點的直線與橢圓交于兩點，若，則的方程為_________.【答案】【解析】因為，所以，又，所以，又BF1+BF2=2a又，所以AF1=a，所以所以在軸上（也為橢圓的頂點），在中，由余弦定理可得，，可得，解得，所以，則的方程為.三、解答題：本大題共4個小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.在中，，，.（1）求點到直線的距離：（2）求線段垂直平分線所在的直線方程；（3）求過點且在軸和軸截距相等的直線方程.解：（1）由題可知直線的斜率為，所以直線的方程為，即；由點到直線距離公式可得，即點到直線的距離為；（2）易知線段的斜率,所以其垂直平分線斜率為；且過的中點，可得該直線方程為，即；（3）當(dāng)在軸和軸截距都為0時，此時直線過，此時直線方程為；當(dāng)在軸和軸截距不為0時，設(shè)直線方程為，可得；代入點坐標(biāo)可得，解得，此時直線方程為，即；綜上可知，過點且在軸和軸截距相等的直線方程為或.17.已知直線與圓交于，兩點，且.（1）求實數(shù)的值；（2）若點為直線上的動點，求的面積.解：（1）將圓化為，所以其圓心，半徑，作于點，由垂徑定理可得為的中點，如下圖所示：由可得，又CD=所以；（2）由（1）可知，所以，直線與直線平行，所以點到的距離為，因此的面積為.18.如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，分別為的中點．（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離．（1）證明：因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，故平面；（2）解：由于平面，所以平面，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：因為，又平面的法向量為，所以點到平面的距離為．19.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分別為，，左頂點為，上頂點為，且，動直線與橢圓交于，兩點；當(dāng)直線過焦點且與軸垂直時，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過點，當(dāng)面積為時，求直線斜率.解：（1）由橢圓頂點性質(zhì)以及可得；當(dāng)直線過焦點且與軸