高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市S9聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B2已知集合，，則（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】，又，所以或.故選：C3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，解得.所以該直線的傾斜角為.故選：D4.在三棱柱中，為中點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，三棱柱中，由為中點(diǎn)，則.故選：A.5.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】向量，，由，得，解得或，反之，當(dāng)時(shí)，共線，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則滿足的的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于是偶函數(shù)，且在上遞增，故原不等式等價(jià)于.此即，解得.故選：C.7.已知點(diǎn)，，從點(diǎn)射出光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后又經(jīng)直線OB反射回點(diǎn)P，則光線經(jīng)過的路程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意直線方程為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即，又關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，．故選：C8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，.故點(diǎn)到直線的距離.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】A：，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C正確；D：，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，下列命題正確的有（）A.由可得是的整數(shù)倍B.的表達(dá)式可改寫成C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BD【解析】因?yàn)?，所?A項(xiàng)，由，即，函數(shù)最小正周期，則是的整數(shù)倍，不一定是的整數(shù)倍，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，，故B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取到最小值，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：BD．11.如圖，在平行六面體中，，，，，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】設(shè).A：，所以不成立，故A錯(cuò)誤；B：，又，所以，故B錯(cuò)誤；C：，所以，故C正確；D：，故D正確.故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】向量，，則，，由向量與垂直，得，所以.故答案為：13.已知直線在軸和軸上的截距互為相反數(shù)且過點(diǎn)，則這條直線的方程為_____.【答案】或【解析】設(shè)在軸和軸上的截距分別為和.若，則過原點(diǎn)，從而由于還過，知其方程為，即；若，則過兩個(gè)不同點(diǎn)和，所以其方程為.由于還過，知，解得，故其方程為，即.故答案為：或.14.已知直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，則的最大值為________.【答案】【解析】根據(jù)的方程及，知恒過定點(diǎn)，根據(jù)的方程及，知恒過定點(diǎn).同時(shí)由可知兩直線垂直，故，所以.故，所以.另一方面，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí).所以的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線.（1）求過點(diǎn)與直線平行的直線的方程；（2）求過點(diǎn)與直線垂直的直線的方程.解：（1）由于的方程可化為，故斜率為，所以的斜率是，從而的方程是，即.（2）由于的方程可化為，故斜率為，所以的斜率是，從而的方程是，即.16.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的兩根，.（1）求角的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng).解：（1）由題設(shè)可得即，而為三角形內(nèi)角，故.（2）由韋達(dá)定理可得，由余弦定理可得，故.17.已知空間三點(diǎn)，，.（1）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo).解：（1）由，，得，，所以，由，得，.（2）設(shè)，由或，或.18.設(shè)直線，直線.（1）若，求，之間的距離；（2）求直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最大時(shí)的直線的方程.解：（1）根據(jù)兩直線平行，可知，解得，所以的方程是，即.所以的距離是.（2）由于橫縱截距分別為和，即和，故根據(jù)題意有，，而相應(yīng)面積所以即要求在時(shí)的最大值，由于，且當(dāng)時(shí)，故最大時(shí)有.將代入，知此時(shí)的方程為，即.19.四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？如果存在，求出與平面所成角的正弦值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，則，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.解：（2）由已知得，，，，，，又平面，平