高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙里特色聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則.故選：C.2.若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】由題設，則.故選：A3.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，，所以，故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故.故選：B5.已知平面，直線滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，，所以當時，成立，即充分性成立；當時，不一定成立，可能是異面直線，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件，故選：A6.在中，角，，的對邊為，，，已知，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，所以由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，，即，解得或（舍去）.故選：C7.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出此平面圖形的直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面圖形的周長為（）A. B.C. D.8【答案】D【解析】直觀圖中，，由此畫出直觀圖對應的原圖如下圖所示，其中，所以，所以原平面圖形的周長為.故選：D.8.古代數(shù)學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數(shù)學基礎.現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上，兩點與點在同一條直線上，且在點的同側.若在，處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且，則根據(jù)測得的球體高度可計算出球體建筑物的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，設球的半徑為，，，，，即該球體建筑物的體積為.故選：D二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、錯選得0分.）9.已知向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則與夾角的余弦值為D.若，則在上的投影向量為【答案】ACD【解析】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B錯誤；對于C：當時，，所以，又，所以與夾角的余弦值為，故C正確；對于D：在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD10.已知正方體的棱長為1，是中點，是的中點，點滿足，則下列命題正確的是（）A.多面體的體積是隨的增大先減小后增大B.時，面面C.三棱臺的體積為D.時，平面截該正方體所得截面的面積為【答案】BD【解析】面積為定值（），與平面平行，即與底面平行，點滿足，∴，∴到底面所在平面的距離為定值（等于正方體的棱長1），∴多面體的體積為定值，故A錯誤；當時，為線段中點，平面，不在平面內，根據(jù)線面平行判定定理得到；∴，不在平面內，平面，根據(jù)線面平行的判定定理得到平面，又∵平面，，根據(jù)面面平行判定定理得平面，故B正確；三棱臺的底面的面積分別為：，高為，根據(jù)棱臺體積公式得三棱臺的體積為，故C錯誤；當時，為線段中點，眾所周知，平面截該正方體所得截面為正六邊形，各頂點都是正方體的如圖所示的相應棱的中點，起邊長為，面積為，故D正確.以下是截面的證明過程：∵正方體對面，，設，則平面與它們的交線平行，即，又∵，∴，不妨設在上，則為的中點，延長與延長線交于，連接，交與點，則，為中點，∴為中點，同理平面與棱交點為中點.故選：BD.11.在中，角所對的邊分別為，且，則下列命題正確的是（）A.若，則的外接圓的面積為B.若且有兩解，則的取值范圍為C.若且為銳角三角形，則的取值范圍為D.若且，為的內心，則的面積為【答案】BCD【解析】因為，所以由正弦定理，得，即，因為，所以，且，所以.選項A：若，則，所以的外接圓的直徑，所以，所以的外接圓的面積為，故選項A錯誤；選項B：由正弦定理可得，故，因為有兩解，且，所以，故，即b的取值范圍為，故選項B正確；選項C：由正弦定理，得，即，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，即，所以，所以，故選項C正確；選項D：因為，由正弦定理得，因為，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因為，所以，故，，解得，因為，所以，即是直角三角形，所以內切圓的半徑為，所以的面積為，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)，則__________.【答案】4【解析】由，所以，所以.故答案為：4.13.已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值為________.【答案】【解析】因為，所以，所以，當且僅當時等號成立.故答案為：14.在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點為線段的中點，點是線段上的一點，點是底面內的一點，則的最小值為________.【答案】【解析】如圖，顯然當F是G在底面ABCD的射影時，才可能最?。畬⑵矫嫜胤?，使其與平面共面，如圖所示，由于，則，則，得，同理，，而，顯然當三點共線且時，取得最小值，此時，，故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知復數(shù)，.（1）若是實數(shù)，求的值；（2）若復數(shù)在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍.（1）解：，，；（2）解：在復平面內對應的點在第四象限，.16.在平行四邊形中，，，，，分別為和上的動點，且，.（1）若，，請用，表示，；（2）若，與相交于點，求的值；（3）若，求的取值范圍.解：（1）由題設，；（2）由，，三點共線，，，由，若，則，，，，，解得，所以；（3），，.17.在中，角對應的邊分別為，已知.（1）求角的值；（2）當邊與邊上的中線長均為2時，求的周長；（3）若為銳角三角形，求的取值范圍.解：（1），得，，（2）在中，由余弦定理有,在中，由余弦定理有，而，故，，，，的周長為（3）因為三角形為銳角三角形，所以，18.已知為奇函數(shù)，且定義域為，.（1）求的值，判斷的單調性，并用定義法證明；（2）若，求的取值范圍；（3）若存在兩個不相等的實數(shù)，，使，且.求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，得，經驗證滿足題設，在定義域上為增函數(shù)，證明如下：任取，，且，，，所以，在定義域上為增函數(shù)；（2）由（1）得，解得；（3），，，即，，，，令，，，，，則存在一個實數(shù)，使成立，只需或，解得或，綜上：.19.設非零向量，，并定義.（1）若，，求；（2）寫出，，之間的