試題試題2024北京十四中初三12月月考數(shù)學注意事項：1．本試卷共8頁，共28道小題，滿分100分．考試時間120分鐘．2．在答題卡上指定位置貼好條形碼，或填涂考號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．答題不得使用任何涂改工具．一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列事件中，為必然事件的是（）A.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° B.明天會下雪C.鄭一枚骰子，向上一面的點數(shù)是7 D.足球運動員射門一次，未射進3.函數(shù)的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4.不透明袋子中有個紅球和個綠球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出個球，恰好是紅球的概率為（）A. B. C. D.15.點，，是反比例函數(shù)圖象上的三個點，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.6.如圖，是的直徑，是的弦，如果，那么等于（）A. B. C. D.7.若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點M，與平行于x軸的直線l交于A、B兩點，若AB=3，則點M到直線l的距離為（）A. B. C.2 D.二、填空題（共16分，每題2分）9.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為______．10.已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是______．11.如圖，，是的切線，切點分別為A，B．若，，則的長為______．12.如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于_____．13.如圖，若點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸于點，軸于點，若矩形的面積為4，則的值是______．14.杭州亞運會的吉祥物“江南憶”出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．經(jīng)統(tǒng)計，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長率為x，則可列方程為______．15.某城市啟動“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門要考察某種樹苗在一定條件下的移植成活率．在同樣條件下，對這種樹苗進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：移植總數(shù)10270400750150035007000900014000成活數(shù)量8235369662133532036335807312628成活頻率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估計樹苗移植成活的概率是________（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．16.在平面直角坐標系中，，，有以下4種說法：①一次函數(shù)的圖象與線段無公共點；②當時，一次函數(shù)的圖象與線段無公共點；③當時，反比例函數(shù)的圖象與線段無公共點；④當時，二次函數(shù)的圖象與線段無公共點．上述說法中正確的是__________．三、解答題（共68分，第17～20每題5分，第21題6分，第22～23每題5分，第24～25每題6分，第26～27題7分，第28題6分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.解方程：．18.已知關(guān)于的二次函數(shù)，該函數(shù)圖象經(jīng)過點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；（2）這個二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標是______；（3）將這個二次函數(shù)的圖象沿軸平移，使其頂點恰好落在軸上，請直接寫出平移后的函數(shù)表達式____________．19.已知：如圖，在中，．求作：射線，使得．作法：①以點A為圓心，長為半徑畫圓；②延長交于點D，以點D為圓心，長為半徑畫弧，與交于點P（點C，P在線段的同側(cè)）；③作射線．射線即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明證明：連接．∵，∴點C在上．∵，∴（____________）（填推理依據(jù)）．∵，∴______．∴．20.圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為的圓，如圖所示，若水面寬，求水的最大深度．21.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．22.2022年3月23日“天宮課堂”第二課正式開講，神舟十三號乘組航天員在中國空間站再次進行太空授課，生動地演示了微重力環(huán)境下的四個實驗現(xiàn)象（A．太空冰雪實驗；B．液橋演示實驗；C．水油分離實驗；D．太空拋物實驗），神奇的太空實驗堪稱宇宙級精彩！為加深同學們的印象，某校團委組織了太空實驗原理講述的活動．（1）小宇從四個實驗中任意抽取一個進行實驗原理講述，他恰好抽到“A．太空冰雪實驗”的概率是___________；（2）若小南要從四個實驗中隨機抽取兩個實驗進行原理講述，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求他恰好抽到“B．液橋演示實驗”和“C．水油分離實驗”的概率．23.在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）當時，對于x的每一個值，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，直接寫出k的取值范圍．24.某公園有一個小型噴泉，水柱從垂直于地面的噴水槍噴出，水柱落于地面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水柱距噴水槍的水平距離為（單x位：m），距地面的垂直高度為y（單位：m），現(xiàn)測得x與y的幾組對應數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0123456…垂直高度y/m0.71.62.32.83.13.23.1…請根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，解決以下問題：（1）在平面直角坐標系中，描出以表中各組對應數(shù)據(jù)為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，得出水柱最高點距離地面的垂直高度為m；（3）求所畫圖象對應的二次函數(shù)表達式；（4）公園準備在水柱下方的地面上豎直安裝一根高的石柱，使該噴水槍噴出的水柱恰好經(jīng)過石柱頂端，則石柱距噴水槍的水平距離為m．（注：不考慮石柱粗細等其他因素）25.如圖，與相切于點，經(jīng)過上的點，交于點，，是的直徑．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．26.在平面直角坐標系中，點，在拋物線上．（1）當時，求拋物線的頂點坐標，并直接寫出和的大小關(guān)系；（2）拋物線經(jīng)過點．①當時，若，則a的值為_______；②若對于任意的都滿足，求a的取值范圍．27.如圖，在正方形中，是邊上一動點（不與點，重合），連接，點關(guān)于直線的對稱點為，連接并延長交直線于點，是中點，連接．（1）求的度數(shù)；（2）連接，請用等式表示，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若正方形的邊長為，請直接寫出的面積最大值．28.在平面直角坐標系中，對于內(nèi)的一點，若在外存在點，使得，則稱點為的二倍點．（1）當?shù)陌霃綖?時，①在，，三個點中，是的二倍點的是______；②已知一次函數(shù)與軸的交點是，若一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點都是的二倍點，則的取值范圍是______．已知點，，，的半徑為2，若線段上存在點為的二倍點，則的取值范圍是______．參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】C【分析】本題考查了中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，找到對稱中心，繞中心旋轉(zhuǎn)后與自身重合，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：選項不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；選項不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；選項是中心對稱圖形，故本選項符合題意；選項不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．2.【答案】A【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念對各個選項進行判斷即可【詳解】解：A、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°是必然事件，故選項符合題意；B、明天會下雪是隨機事件，故選項不符合題意；C、鄭一枚骰子，向上一面的點數(shù)是7是不可能事件，故選項不符合題意；D、足球運動員射門一次，未射進是隨機事件，故選項不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，解題關(guān)鍵是熟記其有關(guān)概念．3.【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得拋物線的開口向上，即當橫坐標等于在對稱軸的值時函數(shù)取得最小值．【詳解】解：∵，∴拋物線的開口向上，∴當時，有最小值，故選：D．4.【答案】A【分析】本題考查了概率的求法，找出全部情況的總數(shù)和符合條件的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)概率的求法計算即可．【詳解】解：∵袋子中共有個小球，其中紅球有個，∴摸出一個球是紅球的概率是13

故選：Ａ

．5.【答案】B【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，對于反比例函數(shù)，當時，在各象限內(nèi)，隨的增大而減?。划敃r，在各象限內(nèi)，隨的增大而增大；根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一三象限，在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，∵，∴，，∴．故選：B．6.【答案】C【分析】本題考查圓周角定理的推論．根據(jù)題意由是的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得，又由，可求得的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出答案．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．7.【答案】B【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．分情況討論：當時，方程化為一元一次方程，有一個實數(shù)解；當時，根據(jù)根的判別式的意義得到，解得且，然后綜合兩種情況得到的取值范圍．【詳解】解：①當時，，解得：；②當時，關(guān)于x的方程有實數(shù)根，∴，∴且，綜上所述，k的取值范圍為：．故選：B．8.【答案】B【分析】設M到直線l的距離為m，則有x2+bx+c=m兩根的差為3，又x2+bx+c=0時，△=0，列式求解即可．【詳解】拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，∴△=b2-4ac=0，∴b2-4c=0，設M到直線l的距離為m，則有x2+bx+c=m兩根的差為3，(x1+x2)2?4x1x2＝(x1?x2)2可得：b2-4（c-m）=9，解得：m=．故選B．二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知圖象上點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．直接把點代入反比例函數(shù)，求出的值即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得．故答案為：．10.【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個根，，滿足，．直接根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：設方程的另一個根為，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得：故答案為：．11.【答案】3【分析】本題考查了切線長定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)，是的切線，得出，進而得出，即可求證為等邊三角形，即可解答．【詳解】解：∵，是的切線，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，故答案為：3．12.【答案】π【詳解】由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根據(jù)弧長公式計算出三段弧長，三段弧長之和即為凸輪的周長．解：∵△ABC為正三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，∴==，根據(jù)題意可知凸輪的周長為三個弧長的和，即凸輪的周長==3×=π．故答案為π13.【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義．反比例函數(shù)圖象上的任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為k的絕對值．直接根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義即可求解．【詳解】∵矩形的面積為，∴，∴．∵該反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，∴．故答案為：．14.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用；設月平均增長率為x，根據(jù)增長率問題的等量關(guān)系列方程即可．【詳解】解：設月平均增長率為x，根據(jù)題意得：，故答案為：．15.【答案】【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，概率是大量重復實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，即可求出．【詳解】解：概率是大量重復實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，∴這種幼樹移植成活率的概率約為；故答案為：．16.【答案】②③【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)逐條判斷即可．【詳解】解：一次函數(shù)經(jīng)過點，故①錯誤；一次函數(shù)剛好經(jīng)過點，向下平移直線，此時，直線與線段無公共點，故②正確；反比例函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過點，當時，反比例函數(shù)的圖象沿著向遠離原點的方向平移，與線段無公共點，故③正確；二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過，故④錯誤；故答案為：②③．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，進行準確推理判斷．三、解答題（共68分，第17～20每題5分，第21題6分，第22～23每題5分，第24～25每題6分，第26～27題7分，第28題6分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.【答案】，．【分析】本題考查了解一元二次方程．根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：，，∴，，解得，．18.【答案】（1）；（2），（3）【分析】本題考查了二次函數(shù)求解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)、利用函數(shù)與方程的關(guān)系解方程、配方法的應用、圖形的平移等．（1）代入點的坐標可求，進而可求解析式及頂點坐標；（2）令，可求與軸交點坐標；（3）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式，依據(jù)其頂點恰好落在y軸上可得結(jié)果．【小問1詳解】解：該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，，解得．二次函數(shù)的表達式為．二次函數(shù)頂點坐標為．【小問2詳解】解：令，則．解得，，該二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標為，．【小問3詳解】解：，平移后要使其頂點恰好落在軸上，則需將函數(shù)圖像向左平移1個單位長度，可得函數(shù)的表達式為：．19.【答案】（1）見解析（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；【分析】本題考查尺規(guī)作圖，圓周角定理：（1）按照所給作法利用尺規(guī)作圖即可；（2）利用圓周角定理證明相關(guān)角的大小關(guān)系，通過等量代換可得結(jié)論．【小問1詳解】解：畫圖．【小問2詳解】解：補全后證明過程如下：證明：連接．∵，∴點C在上．∵，∴（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）．∵，∴．∴．故答案為：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；．20.【答案】0.8m【分析】過點作于點，連接，根據(jù)垂徑定理得到，再在中，根據(jù)勾股定理可求出，進而即可求解．【詳解】解：如圖，作于點，連接，∵，，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴水的最大深度為0.8m．【點睛】此題主要考查了垂徑定理的應用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．21.【答案】（1）m＜；（2）m=2．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍；（2）找出m取值范圍中的正整數(shù)，然后分別代入原方程，求出方程的根，經(jīng)檢驗即可得到滿足題意的m的值．【詳解】（1）∵依題意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，∴m＜，即m的取值范圍是m＜；（2）∵m為正整數(shù)，∴m=1或2，當m=1時，方程為x2﹣4x+1=0的根不是整數(shù)；當m=2時，方程為x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整數(shù)，綜上所述，m=2．【點睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．22.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求解即可；（2）根據(jù)題意，列表法求概率即可求解．【小問1詳解】解：共有4個實驗，小宇從四個實驗中任意抽取一個進行實驗原理講述，他恰好抽到“A．太空冰雪實驗”的概率是；故答案為：；【小問2詳解】解：列表如下，共有12種等可能結(jié)果，其中符合題意的有2種，他恰好抽到“B．液橋演示實驗”和“C．水油分離實驗”的概率為．【點睛】本題考查了概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．23.【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為：；（2）k的取值范圍是．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出直線與雙曲線的交點坐標，進而求出m，得出反比例函數(shù)的解析式；（2）解方程組求出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交點，根據(jù)題意列出不等式，解不等式得到答案．【小問1詳解】解：對于，當時，，∴一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：；【小問2詳解】解：解方程組，得或，由題意得：，解得：，則k的取值范圍是．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)知識的綜合運用，掌握一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交點的求法是解題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）見解析（2）3.2（3）（4）1或9【分析】（1）描點，連線即可；（2）觀察函數(shù)圖象可得答案；（3）用待定系數(shù)法可得解析式；（4）結(jié)合解析式，令可解得答案．【小問1詳解】解：描出各組對應數(shù)據(jù)為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象如下：【小問2詳解】解：由圖象可得，水柱最高點距離地面的垂直高度為，故答案為：3.2；【小問3詳解】解：設二次函數(shù)表達式為將，，代入得：，解得：∴二次函數(shù)表達式為；【小問4詳解】解：在中，令得：，解得或，∴石柱距噴水槍的水平距離為或．故答案為：1或9．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．25.【答案】（1）見解析（2）6【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出，進而證得，得到，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求得，得到，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：，，∵，，，，在和中，，，．與相切于點，，又是的半徑，是的切線．【小問2詳解】解：，，在中，，，，，，與和都相切，，在中，，即：，解得：．【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1），；（2）①；②或．【分析】（1）根據(jù)題意可得頂點坐標為，且開口向上，即可求解；（2）①根據(jù)，拋物線的對稱軸為直線，即可求解；②分兩種情況結(jié)合圖形，即可求解．【小問1詳解】解：當時，，，∴頂點坐標為，且開口向上，∵，∴；【小問2詳解】解：①當時，點，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線的對稱軸為直線，∴；故答案為：②對于任意的都滿足，點A、B、C存在如下情況：情況1，如示意圖，當時，有，．解得：．情況2：如示意圖