第七節(jié)馬爾可夫預(yù)測方法

幾個基本概念狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程、馬爾科夫過程、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣馬爾可夫預(yù)測法狀態(tài)概率馬爾可夫預(yù)測法本節(jié)主要內(nèi)容馬爾可夫預(yù)測是一種預(yù)測事件發(fā)生的概率的方法，它基于馬爾可夫鏈，根據(jù)事件目前的狀況預(yù)測其將來各個時刻變動狀況。一、相關(guān)概念1、狀態(tài)某一事件在某一時刻出現(xiàn)的某種結(jié)果。如，農(nóng)業(yè)收成預(yù)測中有“豐收”、“平收”“欠收”等狀態(tài)；人口構(gòu)成預(yù)測中有“嬰兒”、“兒童”、“少年”、“青年”、“老年”等狀態(tài)2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)。如，天氣從“陰天”變?yōu)椤扒缣臁薄Ｈ魧ρ芯繉ο罂紤]一系列隨機(jī)試驗(yàn)，其中每次試驗(yàn)的結(jié)果如果出現(xiàn)在有限個兩兩互斥的事件集E={E1,E2,…,En}中，且僅出現(xiàn)其中一個，則稱事件Ei∈E為系統(tǒng)的狀態(tài)。若事件Ei出現(xiàn)，則稱系統(tǒng)處在狀態(tài)Ei。狀態(tài)是研究對象隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間的一個劃分，系統(tǒng)可能在不同狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換。3、馬爾可夫過程：現(xiàn)實(shí)中有這樣一類隨機(jī)過程，在系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中，系統(tǒng)將來的狀態(tài)只與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)。這種性質(zhì)叫做無后效性，符合這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，叫作馬爾可夫過程。

時間和狀態(tài)都離散的一系列馬爾可夫過程的整體又稱為馬爾可夫鏈。4、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率：事件發(fā)展過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，到下一時刻轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的可能性。由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為Ej的概率記為P（Ei→Ej）5、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：某一事件的發(fā)展過程有N個可能狀態(tài)，E1,E2,…,EN。記為Pij狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為Ej的概率，則：為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中Pij滿足條件：例考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“欠收”狀態(tài)。表1給出了該地區(qū)1960～1999年期間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。試計算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況年份1960196119621963196419651966196719681969序號狀態(tài)年份序號狀態(tài)年份序號狀態(tài)年份序號狀態(tài)1E1197011E3198021E3199031E12E1197112E1198122E3199132E33E2197213E2198223E2199233E24E3197314E3198324E1199334E15E2197415E1198425E1199435E16E1197516E2198526E3199536E27E3197617E1198627E2199637E28E2197718E3198728E2199738E39E1197819E3198829E1199839E110E2197920E1198930E2199940E2表中可以知道，在15個從E1出發(fā)（轉(zhuǎn)移出去）的狀態(tài)中，有3個是從E1轉(zhuǎn)移到E1的（即1→2，24→25，34→35）有7個是從E1轉(zhuǎn)移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40）有5個是從E1轉(zhuǎn)移到E3的（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32）同理可得：該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為狀

態(tài)

概

率

及

其

計

算狀態(tài)概率：表示事件在初始（k＝0）狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個時刻（時期）處于狀態(tài)的概率。且：根據(jù)馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有記行向量，則由（7）式可以得到逐次計算狀態(tài)概率的遞推公式：式中，為初始狀態(tài)概率向量。

二、馬爾可夫預(yù)測過程第k個時刻（時期）的狀態(tài)概率預(yù)測如果某一事件在第0個時刻（或時期）的初始狀態(tài)已知，即已知，則利用遞推公式，就可以求得它經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個時刻（時期）處于各種可能的狀態(tài)的概率，即，從而就得到該事件在第k個時刻（時期）的狀態(tài)概率預(yù)測。例題2：將例題1中1999年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為=[0,1,0]，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣代入遞推公式，可求得2000～2010年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率。馬爾可夫預(yù)測法某地區(qū)2000～2010年農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)概率預(yù)測值年份2000200120022003狀態(tài)概率E10.5385E20.1528E30.3077E10.3024E20.414E30.2837E10.3867E20.3334E30.2799E10.3587E20.3589E30.2779年份2004200520062007狀態(tài)概率

E10.3677E20.3509E30.2799E10.3647E20.3532E30.2799E10.3656E20.3524E30.2799E10.3653E20.3526E30.2799年份200820092010狀態(tài)概率E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799終極狀態(tài)概率預(yù)測①定義：經(jīng)過無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后所得到的狀態(tài)概率稱為終極狀態(tài)概率，即：②終極狀態(tài)概率應(yīng)滿足的條件：例題：在例1中，設(shè)終極狀態(tài)的狀態(tài)概率為則

求解該方程組得：＝0.3653，＝0.3525，＝0.2799。這說明，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的變化過程，在無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，“豐收”和“平收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率都將大于“欠收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率。

在地理事件的預(yù)測中，被預(yù)測對象所經(jīng)歷的過程中各個階段（或時點(diǎn)）的狀態(tài)和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率是最為關(guān)鍵的。馬爾可夫預(yù)測的基本方法就是利用狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化趨勢。馬爾可夫預(yù)測法的基本要求是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣必須具有一定的穩(wěn)定性。因此，必須具有足夠的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，才能保證預(yù)測的精度與準(zhǔn)確性。換句話說，馬爾可夫預(yù)測模型必須建立在大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上。這一點(diǎn)也是運(yùn)用馬爾可夫預(yù)測方法預(yù)測地理事件的一個最為基本的條件。例:土地利用格局變化預(yù)測2002-2012年時間段各土地類型面積的轉(zhuǎn)化情況（1）原始數(shù)據(jù)20022012

林地旱地水田園地水域居民點(diǎn)2002各類型面積林地414.4942.7223.495.901.65488.25旱地0115.687.964.90.48.74137.68水田016.3796.5200.235.77118.89園地00016.120016.12水域000012.58012.58居民點(diǎn)000007.837.832012各類型面積414.49174.77127.9726.9213.2123.99

例:土地利用格局變化預(yù)測（1）原始數(shù)據(jù)0.84890.08750.04810.012100.003400.84020.05780.03560.00290.063500.13770.811800.00190.04850001.00000000001.00000000001.0000用2002-2012年時間段各土地類型的轉(zhuǎn)化面積除以2002年對應(yīng)的土地面積，得出以下數(shù)據(jù)陣。因?yàn)槭?0年的變化，下列的數(shù)據(jù)陣就是P10對上表的矩陣開十次方，就可以得出下列轉(zhuǎn)移矩陣P林地旱地水田園地水域居民點(diǎn)林地0.98370.00980.00540.001100旱地00.98220.00690.00390.00030.0067水田00.01640.978600.00020.0048園地0001.000000水域00001.00000居民點(diǎn)000001.0000（2）轉(zhuǎn)移概率矩陣（n=20）土地類型的狀態(tài)概率矩陣(P20)林地旱地水田園地水域居民點(diǎn)林地0.71990.15440.08500.02520.00070.0150旱地00.71350.09540.06650.00530.1193水田00.22670.66370.00970.00400.0958園地00