第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年云南省保山市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2}，集合B={a,a2+1}，若A∩B={1}，則實(shí)數(shù)a的值為A.0 B.1 C.0或1 D.?12.已知復(fù)數(shù)z=1+ai1?i為純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)a=(

)A.?2 B.?1 C.1 D.23.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的小圓錐的高是圓臺(tái)的一半，若小圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為(

)A.3 B.6 C.9 D.124.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是(

)

①梯形的直觀(guān)圖可能不是梯形

②相等的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中仍然相等

③不相等的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中一定不相等

④線(xiàn)段的中點(diǎn)仍是線(xiàn)段的中點(diǎn)A.①③ B.④ C.③④ D.②③5.在△ABC中，AB=4，AC=3，AB?AC=8，則SA.2 B.45 C.4 6.在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正三棱柱實(shí)心模具中，切削出一個(gè)球，則球的最大半徑為(

)A.3 B.1 C.337.定義在R上的函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(1+x)=?f(1?x)，對(duì)任意x1，x2∈[1,+∞)，且當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有f(x1)?f(A.f(c)<f(b)<f(a) B.f(b)<f(c)<f(a)

C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(a)<f(c)<f(b)8.已知函數(shù)f(x)=x2?2x+|x?1|+a至少有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(?∞,?1] B.(?∞,1] C.[?1,1] D.[1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè){e1,eA.若向量a=2e1?e2，則a的相反向量為?2e1+e2

B.若向量b=3e1?ke2與c=610.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是(

)A.若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，則△ABC為鈍角三角形

B.在銳角三角形中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若a=8，b=10，B=60°，則此三角形有兩解

D.已知角C∈(0,π)，當(dāng)角C增大時(shí)(a,b邊長(zhǎng)不變)，△ABC的面積先增大后減小11.如圖，數(shù)學(xué)史上有一個(gè)著名的問(wèn)題——“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”.普魯士的哥尼斯堡城市中有一條河和兩個(gè)小島，有七座橋連接其中.一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋？數(shù)學(xué)家歐拉將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)幾何問(wèn)題——“一筆畫(huà)問(wèn)題”，證明了“七橋問(wèn)題”無(wú)解，并開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——幾何拓?fù)鋵W(xué).下列圖形能用不重復(fù)線(xiàn)條一筆畫(huà)出的是(

)A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,m)，b=(1,m?1)，若2a?b與b平行，則13.如圖所示，正方形O′A′B′C′是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則原圖形中OC邊的長(zhǎng)=______．14.在△ABC中，AB=8，BC=9，AC=10，點(diǎn)M為△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，PQ是△ABC外接圓的直徑，則MP?MQ的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在復(fù)平面上，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=2+i，z2=3+4i．

(1)求向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(2)將向量OB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量OC，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z3；

(3)在16.(本小題15分)

在△ABC中，∠ABC=2π3，D為AC邊上的一點(diǎn)，且BD⊥AB，BD=1．

(1)若AB=BD，求BC邊的長(zhǎng)；

(2)若AD=2DC，求△ABC17.(本小題15分)

近年來(lái)，為豐富市民的娛樂(lè)生活，各地都建設(shè)了不少摩天輪供市民游玩，保山市青華海濕地公園旁就屹立著一座名為“保山之星”的摩天輪.如圖3，若該摩天輪的轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為80m，摩天輪支柱塔基高為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每20min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．

(1)已知在時(shí)刻t(單位：min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度f(wàn)(t)=Asin(ωt+φ)+?(其中A>0，ω>0，|φ|<π)，求函數(shù)f(t)的解析式及25min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；

(2)當(dāng)點(diǎn)P距離地面70m及以上時(shí)，可以看到青華海濕地公園的全貌，求摩天輪轉(zhuǎn)一圈中，游客有多長(zhǎng)時(shí)間可以看到公園的全貌(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字)．18.(本小題17分)

如圖，我們把平面內(nèi)兩坐標(biāo)軸Ox與Oy的夾角為60°的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜角坐標(biāo)系”.設(shè)e1，e2分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量OP=xe1+ye2，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)為向量OP的“斜角坐標(biāo)”．

(1)若向量OP的斜角坐標(biāo)為(2,?1)，求|OP|；

(2)(i)已知向量a、b的斜角坐標(biāo)分別為(x1,y1)和(x2,19.(本小題17分)

向量是近代數(shù)學(xué)中重要的概念之一，是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，人們經(jīng)常用向量幫助解決和證明幾何問(wèn)題.如圖5，在△ABC中，

(1)已知點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，用向量法證明：中線(xiàn)AD的長(zhǎng)度滿(mǎn)足：AD=122AB2+2AC2?BC2；

(2)(i)記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)e為△ABC平面的一個(gè)單位向量，若e與AB的夾角為0°，現(xiàn)構(gòu)造等式AB+BC+CA

答案解析1.【答案】A

【解析】解：集合A={1,2}，集合B={a,a2+1}，A∩B={1}，

∴a=1或a2+1=1，

當(dāng)a=1時(shí)，B={1,2}，A∩B={1,2}，不合題意，

當(dāng)a2+1=1時(shí)，a=0，B={1,0)，A∩B={1}，符合題意，

∴實(shí)數(shù)a的值為0．

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，z=1+ai1?i=(1+ai)(1+i)(1?i)(1+i)=1?a2+1+a2i，

因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以1?a23.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榻氐玫男A錐的高是圓臺(tái)的一半，所以小圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)也為圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)的一半，

故圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為6．

故選：B．

根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行求解．

本題主要考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：

對(duì)于①，由斜二測(cè)法畫(huà)圖可知原圖中的平行關(guān)系在直觀(guān)圖中仍然平行，故梯形的直觀(guān)圖仍然是梯形，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，對(duì)于線(xiàn)段長(zhǎng)度，x軸方向線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，y軸方向線(xiàn)段長(zhǎng)度減半，所以相等的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中不一定相等，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由斜二測(cè)畫(huà)法，不相等的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中可能相等，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，線(xiàn)段的中點(diǎn)仍是線(xiàn)段的中點(diǎn)，④正確．

故選：B．

根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫(huà)法依次分析4個(gè)命題是否正確，綜合可得答案．

本題考查平面圖形的直觀(guān)圖，涉及斜二測(cè)畫(huà)法，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】D

【解析】解：△ABC中，AB=4，AC=3，所以AB?AC=4×3×cosA=8，解得cosA=23，

又因?yàn)锳∈(0,π)，所以sinA=1?cos2A=1?(23)26.【答案】C

【解析】解：如圖，設(shè)三棱柱ABC?A1B1C1的棱長(zhǎng)為2，

則底面三角形ABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，

設(shè)等邊三角形ABC的內(nèi)切圓半徑為r，

則12×(2+2+2)×r=34×22，

解得r=37.【答案】A

【解析】解：定義在R上的函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(1+x)=?f(1?x)，

所以f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，

因?yàn)閷?duì)任意x1，x2∈[1,+∞)，且當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有f(x1)?f(x2)x1?x2>0成立，

所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知，f(x)在R上單調(diào)遞增，

設(shè)a=log55=12，b=(15)128.【答案】B

【解析】解：令f(x)=0，即x2?2x+|x?1|+a=0，可得x2?2x+a=?|x?1|，

令g(x)=x2?2x+a，φ(x)=?|x?1|，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2?2x+|x?1|+a至少有一個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于曲線(xiàn)g(x)與φ(x)至少有一個(gè)交點(diǎn)，

如圖所示：

易知g(x)與φ(x)的對(duì)稱(chēng)軸均為x=1，

可得g(1)≤φ(1)，即a?1≤0，即a≤1，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,1]．

故選：B9.【答案】ACD

【解析】解：若向量a=2e1?e2，則a的相反向量為?2e1+e2，A正確；

若向量b=3e1?ke2與c=6e1+2e2共線(xiàn)，則63=2?k，所以k=?1，B錯(cuò)誤；

λ?e1+μ?e2=0，則10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A：因?yàn)?2+52?72=?15<0，根據(jù)余弦定理可知，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)7所對(duì)的角余弦值小于0，因此最大角為鈍角，△ABC為鈍角三角形，正確；

對(duì)于B：由銳角三角形知A+B>π2，即π2>A>π2?B>0∴．sinA>sin(π2?B)=cosB，正確；

對(duì)于C：由asinA=bsinB，得sinA=asinBb=8×3210=235<32，又a<b，∴A<B，故此三角形只有一解，錯(cuò)誤；

對(duì)于D：三角形面積S=12absinC，當(dāng)C從0增加到π時(shí)，11.【答案】BCD

【解析】解：可以把圖形中的點(diǎn)分為兩類(lèi)：起點(diǎn)(終點(diǎn))、途經(jīng)點(diǎn)．

途經(jīng)點(diǎn)有進(jìn)必有出，所以途經(jīng)點(diǎn)連接的路徑數(shù)必為偶數(shù)條，稱(chēng)為“偶點(diǎn)”．

若起點(diǎn)和終點(diǎn)為不同點(diǎn)時(shí)，起點(diǎn)可以只出不進(jìn)，終點(diǎn)可以只進(jìn)不出，

所以起點(diǎn)和終點(diǎn)連接的路徑條數(shù)必為奇數(shù)條，稱(chēng)為“奇點(diǎn)”，故奇點(diǎn)數(shù)為2；

若起點(diǎn)和終點(diǎn)相同時(shí)，該點(diǎn)既進(jìn)又出，所以連接的路徑條數(shù)為偶數(shù)條，故奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

所以能用一筆畫(huà)出的圖形中，奇點(diǎn)個(gè)數(shù)只能是0個(gè)或2個(gè)．

A選項(xiàng)有4個(gè)奇點(diǎn)，不能一筆畫(huà)，B選項(xiàng)有0個(gè)奇點(diǎn)，C、D選項(xiàng)有2個(gè)奇點(diǎn)，均為一筆畫(huà)．

故選：BCD．

由能用一筆畫(huà)出的圖形中，奇點(diǎn)個(gè)數(shù)只能是0個(gè)或2個(gè)，即可得解．

本題主要考查合情推理，屬于中檔題．12.【答案】2【解析】解：向量a=(2,m)，b=(1,m?1)，

∴2a?b=(4,2m)?(1,m?1)=(3,m+1)，

∵2a?b與b平行，

∴13=m?1m+1，解得m=2，

13.【答案】6

【解析】解：根據(jù)題意，直觀(guān)圖正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為2，即O′A′=2，則O′B′=22，

由斜二測(cè)畫(huà)法，可得原圖四邊形OABC，如圖：

，

易得四邊形OABC是平行四邊形，OA=2，OB=42，故OC=4+32=6．

故答案為：14.【答案】[?25,0]

【解析】解：根據(jù)題意作圖如下：

記△ABC的外接圓半徑為R，MP?MQ=(MO+OP)(MO+OQ)=(MO+OP)(MO?OP)=MO2?OP2=MO2?R2，

由圖可知|MO|的最大值為R時(shí)，MP?MQ取最大值0，

因?yàn)椤鰽BC15.【答案】向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+3i；

點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z3為?4+3i；

△ABC的面積為10．【解析】(1)依題意，AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2?z1=(3+4i)?(2+i)=3+4i?2?i=1+3i．

(2)先將z2=3+4i化為三角形式：

復(fù)數(shù)z=a+bi的模r=a2+b2，輻角為θ．

對(duì)于z2=3+4i，r=32+42=5，則z2=5(cosθ+isinθ)，其中cosθ=35，sinθ=45．

根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)z=r(cosα+isinα)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(即π2弧度)后得到的復(fù)數(shù)為r[cos(α+π2)+isin(α+π2)]．

根據(jù)誘導(dǎo)公式cos(α+π2)=?sinα，sin(α+π2)=cosα，則z2旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)z3=5[cos(θ+π2)+isin(θ+π2)]=5(?sinθ+icosθ)．

把cosθ=35，sinθ=45代入，可得z16.【答案】3+1；

3【解析】(1)在△ABC中，∠ABC=2π3，D為AC邊上的一點(diǎn)，且BD⊥AB，

又AB=BD，

則∠BDA=π4，∠DBC=π6，∠BCD=π4?π6=π12，∠BDC=3π4，

又BD=1，

結(jié)合正弦定理BDsin∠DCB=BCsin∠BDC可得：1sinπ12=BCsin3π4，

即BC=3+1；

(2)已知AD=2DC，

則S△BAD=2S△BDC，

即117.【答案】50；

6.7min．

【解析】(1)依題意，A=40，?=50，T=20，則ω=2π20=π10，

由于點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處，則可取φ=?π2，

摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)tmin所得的角為π10t，

因此f(t)=40sin(π10t?π2)+50=?40cosπ10t+50,t≥0，

于是f(25)=?40cos(π10?25)+50=?40cos5π2+50=50，

所以25min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為50m；

(2)由(1)知f(t)=?40cosπ10t+50,t≥0，令f(t)>70，

即?40cosπ10t>20，整理得cosπ10t<?12，

三角不等式cosθ≤?12的解為：2π3+2kπ≤θ≤4π3+2kπ，(k∈Z)18.【答案】3；

(i)證明見(jiàn)解析；

(ii)(【解析】(1)：e12=|e1|2=1，e22=|e2|2=1，e1?e2=|e1|×|e2|×cos60°=12，

又OP=(2,?1)，∴OP=2e1?e2，

∴|OP|2=OP2=(2e1?e2)2=4e12+e22?4e1?e2=4+1?4×1×1×cos60°=3，

∴|OP|=3；

(2)(i)證明：易知，e12=|e1|2=1，e22=|e2|2=1，e1?e2=|e1|×|e2|×cos60°