第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年甘肅省慶陽市環(huán)縣一中高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.點A(3,4,5)關(guān)于坐標平面Oyz對稱的點B的坐標為(

)A.(3,4,?5) B.(?3,4,5) C.(?3,4,?5) D.(?3,?4,?5)2.已知f′(x0)=4,Δx→0A.2 B.1 C.12 D.3.在等比數(shù)列{an}中，a3aA.?3 B.3 C.?2 D.24.在空間四邊形ABCD中，下列表達式化簡結(jié)果與AB相等的是(

)A.AC+CD B.AC+BC C.5.若f(x)=ex+12f′(0)xA.f(x)=ex?x B.f(x)=ex+x6.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，那么導函數(shù)f′(x)的零點個數(shù)是(

)

A.6 B.7 C.8 D.97.“賽龍舟”是端午節(jié)的習俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，某單位龍舟隊欲參加端午節(jié)龍舟賽，經(jīng)過訓練后，龍舟隊的8名隊員在左、右槳位中至少會一個，其中有5人會劃左槳，5人會劃右槳.現(xiàn)要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有(

)A.26種 B.31種 C.36種 D.37種8.如圖所示，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，BD=DC=1，點E在AA1上，且A.5B.36

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列求導正確的是(

)A.(xx+e3)′=3210.下列說法中正確的是(

)A.若a//b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基

B.若{a,b,c}是空間的一組基，則{b+c,b?c,a}也是空間的一組基

C.A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若OP=34OA+18OB+18OC，則P11.定義在(0,π2)上的函數(shù)f(x)，已知f′(x)是它的導函數(shù)，且恒有cosx?f′(x)+sinx?A.g(π3)>g(π5) B.g(三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知|a|=4，空間向量e為單位向量，<a，e>=2π3，則空間向量13.若(1+3x)5=a014.已知直線y=ax+b(a∈R,b>0)是曲線f(x)=ex與曲線g(x)=lnx+2的公切線，則a+b的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=?3，S7=?21．

(1)求{an}的通項公式；

(2)16.(本小題15分)

(1)一名同學有5本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，2本不同的化學書，現(xiàn)要將這些書放在一個單層的架子上.如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，那么有多少種不同的放法？

(2)一條街道上原有6個路燈，假設(shè)保持這幾個路燈的相對順序不變，再多安裝3個路燈，則一共有多少種不同的安裝方法？17.(本小題15分)

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定義：(1)f(x)的導數(shù)f′(x)(也叫f(x)一階導數(shù))的導數(shù)，f″(x)為f(x)的二階導數(shù)，若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0，則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”；定義：(2)設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f(x0+x)+f(x0?x)=2f(x0)恒成立，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(x0,f(x0))對稱．18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°，D是CC1的中點．

(1)求平面A1BD與平面ABC夾角的余弦值；19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x?1)?a2x(a∈R)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在x=2處取得極值，對?x∈(1,+∞)，f(x)≤bx+lnx?1答案解析1.【答案】B

【解析】解：關(guān)于坐標平面Oyz對稱的點，橫坐標變換為其相反數(shù)，縱坐標、豎坐標不變．

即點A(3,4,5)關(guān)于坐標平面Oyz對稱的點B的坐標為(?3,4,5)．

故選：B．

利用空間直角坐標系中點的對稱特征判定即可．

本題主要考查空間點的坐標，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：f′(x0)=4，

則limΔx→0f(x0+Δx)?f(x0)3.【答案】A

【解析】解：因為等比數(shù)列{an}中，a3a5a7=?27，即(a5)34.【答案】C

【解析】解：在空間四邊形ABCD中，

對于A，利用向量的線性運算，AC+CD=AD≠AB，故A錯誤；

對于B，利用向量的線性運算AC+BC≠AB，故B錯誤；

對于C，利用向量的線性運算DC+CB?DA=DB?DA=5.【答案】B

【解析】解：因為f′(x)=ex+12f′(0)，所以f′(0)=e0+12f′(0)，解得：f′(0)=2，所以f(x)=ex+x．

6.【答案】B

【解析】【分析】

利用函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)，即可得到導函數(shù)零點個數(shù)．

本題考查導函數(shù)的零點個數(shù)以及函數(shù)的極值的對應關(guān)系，是基礎(chǔ)題．

【解答】

解：由題意可知，函數(shù)的極值有7個，

所以導函數(shù)的零點個數(shù)有7個，

故選：B．7.【答案】D

【解析】解：依題意8名隊員中有5人會劃左槳，5人會劃右槳，則既會劃左槳又會劃右槳的有5+5?8=2人，記這兩人分別為A、B，

所以只會劃左槳有5?2=3人，只會劃右槳有5?2=3人，據(jù)此分3種情況討論：

①從只會劃左槳的3人中選3人劃左槳，從剩下的人中選3人劃右槳，則有C53=10種選法；

②從只會劃左槳的3人中選2人劃左槳，從A、B中選1人劃左槳，再從剩下的會劃右槳的4個人中選3人劃右槳，則有C32?C21?C43=24種選法；

③從只會劃左槳的3人中選1人劃左槳，A、B這2人劃左槳，另外會劃右槳的3人劃右槳，則有8.【答案】C

【解析】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(0,0,0),A(1,?1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),E(1,?1,12)，

所以DC1=(0,1,2),DE=(1,?1,12),DB=(1,0,0)，

設(shè)平面EDC1的法向量為m=(x,y,z)，

則m?DE=x?y+12z=0m9.【答案】BC

【解析】解：(xx+e3)′=32x，故A錯誤；

(cosxx)′=(cosx)′x?x′cosxx2=?xsinx+cosxx2，故10.【答案】ABD

【解析】解：對于選項A，若a/?/b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基，因為a，b與任何向量必定共面，故選項A正確；

對于選項B，b+c與b?c不共線，且a不能用b+c和b?c表示，即b+c，b?c，a不共面，故選項B正確；

對于選項C，由A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若OP=34OA+18OB+18OC，

因為34+18+18=1，由空間向量基本定理的推論可得P，A，B，C四點共面，故選項C錯誤；

對于選項D，若P，A，B，C為空間四點，且有PA=λPB+μPC(PB,PC不共線)，

當11.【答案】CD

【解析】解：g(x)=f(x)cosx，x∈(0,π2)，則g′(x)=cosx?f′(x)+sinx?f(x)cos2x，

因為cosx?f′(x)+sinx?f(x)<0，所以g′(x)<0，則g(x)=f(x)cosx在(0,π2)上單調(diào)遞減，

所以g(π3)<g(π4)<g(π12.【答案】2

【解析】解：由題意，|a|=4，|e|=1，<a,e>=2π3，

則空間向量a在向量e方向上的投影數(shù)量為a?e|e|=|a|?|e|cos2π13.【答案】?32

【解析】解：∵(1+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a14.【答案】2

【解析】解：設(shè)(t,et)是f(x)圖像上的一點，f′(x)=ex，

所以f(x)在點(t,et)處的切線方程為y?et=et(x?t)，y=etx+(1?t)et①，

令g′(x)=1x=et，解得x=e?t，

g(e?t)=lne?t+2=2?t，所以2?t?ete?t?t=et，

1?t=(1?t)15.【答案】(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=?3，S7=?21，

設(shè)公差為d，可得3a1+3d=?3，7a1+21d=?21，

解得a1=0，d=?1，

則an=0?(n?1)=1?n；

(2)b【解析】(1)由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求；

(2)由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式與求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．16.【答案】8640；

504．

【解析】(1)將5本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，2本不同的化學書放在一個單層的架子上．且不使同類的書分開，

結(jié)合“元素相鄰捆綁法”，滿足條件的排列方法有：

A33?A55?A33?A22=6×120×6×2=8640．

(2)已知一條街道上原有6個路燈，若保持這幾個路燈的相對順序不變，再多安裝3個路燈，

則原有的6個路燈相對順序不變，出現(xiàn)7個空，所以多安裝的第一個路燈有7種安法；

安好第7盞路燈后，出現(xiàn)8個空，所以多安裝的第二個路燈有8種安法；

安裝好8個路燈后，出現(xiàn)9個空，所以多安裝的第317.【答案】(1)依題意，得：f′(x)=3x2?6x+2，∴f″(x)=6x?6．

由f″(x)=0，即6x?6=0.∴x=1，又f(1)=2，

∴f(x)=x3?3x2+2x+2的“拐點”坐標是(1,2)．

(2)由(1)知“拐點”坐標是(1,2)．

而f(1+x)+f(1?x)=(1+x)3?3(1+x)2+2(1+x)+2+(1?x)3?3(1?x)2+2(1?x)+2

=2+6x2【解析】(1)先求f′(x)得解析式，再求f″(x)，由f″(x)=0求得拐點的橫坐標，代入函數(shù)解析式求拐點的縱坐標．

(2)因為f(1+x)+f(1?x)=2f(1)，由定義(2)知：f(x)=x3?3x2+2x+2關(guān)于點(1,2)對稱．

(3)將(2)的結(jié)論進行合情推理，可得結(jié)論：三次函數(shù)f(x)=ax18.【答案】解：(1)因為CC1⊥平面ABC，CA，CB?平面ABC，則CC1⊥CA，CC1⊥CB，∠ACB=90°，

以點C為坐標原點，以CA，CB，CC1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示，

因為CC1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°，

則A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，

則DA1=(2,0,1),DB=(0,2,?1)，

所以平面ABC的一個法向量為m=CC1=(0,0,2)，

設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z)，

所以n?DA1=0n?DB=0，即2x+z=02y?z=0，令y=1，

故n=(?1,1,2)，

n?m=?1×0+1×0+2×2=4，|n|=(?1)2+12+22=6，|m|=2，

所以cos?n,m?=n?m|n||m|=42×6=63，

平面A1BD與平面【解析】(1)根據(jù)題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標系，求出平面ABC、平面A1BD的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求面面角的余弦值；

(2)設(shè)CP=λCD=(0,0,λ)，得BP=(0,?2,λ)，結(jié)合平面A119.【答案】解：(1)因為f(x)=ln(x?1)?a2x，

所以f′(x)=1x?1?a2=1?a2(x?1)x?1=?a2x+a2+1x?1，

當a=0時，f′(x)=1x?1，

所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

在(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當a≠0時，令f′(x)=0，得x=a2+1a2=1+1a2，

所以在(1,1+1a2)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

在(1+1a2,+∞)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以當a=0時，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

當a≠0時，f(x)在(1,1+1a2)上單調(diào)遞增，在(1+1a2,+∞)上單調(diào)遞減．

(2)因為f(x)在x=2處取得極值，

所以f′(2)=0，即?a2