人教版數(shù)列的概念選擇題專項訓練單元期末復習檢測試卷一、數(shù)列的概念選擇題1．意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學等方面都有著廣泛的應用，若此數(shù)列的每一項被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項的和為（）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357答案：C解析：C【分析】由題意可知，得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項和為，又，由此可得答案【詳解】解：由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各項除以2的余數(shù)，可得數(shù)列為，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項和為，因為，所以數(shù)列的前2020項的和為故選：C2．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出很多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F(xiàn)（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則b2020=（）A．3 B．2 C．1 D．0答案：A解析：A【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意可知“兔子數(shù)列”被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……則可得到周期為6，所以b2020=b4=3，故選：A3．大衍數(shù)列，來源于《乾坤普》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩翼數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……則此數(shù)列的第40項為（）．A．648 B．722 C．800 D．882答案：C解析：C【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶數(shù)項的通項公式：，即可得出．【詳解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶數(shù)項的通項公式：．則此數(shù)列第40項為．故選：C4．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用.比如意大利數(shù)學家列昂納多—斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即，當n≥3時，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應用.若此數(shù)列的各項依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則的值為（）A．24 B．26 C．28 D．30答案：B解析：B【分析】先寫出新數(shù)列的各項，找到數(shù)列的周期，即得解.【詳解】由題意可知“斐波那契數(shù)列”的各項依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，此數(shù)列的各項求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，則其周期為6，其中1+1+2+3+1+0=8，則，故選：B.5．已知數(shù)列{an}滿足若a1=,則a2019=(

)A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，得到數(shù)列的取值具備周期性，即可得到結(jié)論．【詳解】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故數(shù)列的取值具備周期性，周期數(shù)是4，則＝＝，故選B．【點睛】本題主要考查數(shù)列項的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的取值具備周期性是解決本題的突破口．6．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．若，則可以取3個不同的數(shù)；B．若，則數(shù)列是周期為3的數(shù)列；C．存在，且，數(shù)列是周期數(shù)列；D．對任意且，存在，使得是周期為的數(shù)列．答案：C解析：C【解析】試題分析：A:當時，由得時，由得；時，得；正確.B:所以，正確．C：命題較難證明，先考察命題D．D：命題的否定為“對任意的，且，不存在，使得是周期為的數(shù)列”，而由B顯然這個命題是錯誤的，因此D正確，從而只有C是錯誤．考點：命題的真假判斷與應用．【名師點睛】本題主要考查周期數(shù)列的推導和應用，考查學生的推理能力．此題首先要理解新定義“周期為T的數(shù)列”，然后對A、B、C、D四個命題一一驗證，A、B兩個命題按照數(shù)列的遞推公式進行計算即可，命題C較難證明，但出現(xiàn)在選擇題中，考慮到數(shù)學選擇題中必有一個選項正確，因此我們先研究D命題，并且在命題D本身也很難的情況下，采取“正難則反”的方法，考慮命題D的否定，命題D的否定由命題B很容易得出是錯誤的，從而命題D是正確的．7．已知數(shù)列滿足，且對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是增數(shù)列，結(jié)合通項公式，列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為對任意的都有，則數(shù)列單調(diào)遞增；又，所以只需，即，解得.故選：D.【點睛】本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.8．在數(shù)列中，，則等于A． B． C． D．答案：D解析：D【解析】分析：已知逐一求解．詳解：已知逐一求解．故選D點睛：對于含有的數(shù)列，我們看作擺動數(shù)列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項的規(guī)律．9．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求出通項公式即可．【詳解】解：，兩邊同時取倒數(shù)得，即，即數(shù)列是公差的等差數(shù)列，首項為．則，得，則，故選：【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法以及構(gòu)造法構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．10．數(shù)列滿足，，則的值為（）A．1 B．-1 C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，代入計算可得選項.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列中的項，屬于基礎(chǔ)題.11．已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最大項為（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由，當n2時，an＋1－an0，當n2時，an＋1－an0，從而可得到n＝2時，an最大.【詳解】解：，當n2時，an＋1－an0，即an＋1an；當n＝2時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n2時，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以數(shù)列中的最大項為a2或a3，且.故選：A.【點睛】此題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：最值問題，屬于基礎(chǔ)題.12．已知數(shù)列的前項和為，且，則的通項公式是（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為①，當時，，即當時，②，①減②得，所以故選：B【點睛】本題考查利用定義法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.13．已知數(shù)列，若，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列為“凸數(shù)列”，且，，則數(shù)列的前2020項和為（）A．5 B． C．0 D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可求得數(shù)的周期為，即可求得數(shù)列的前2020項和.【詳解】，且，，是以為周期的周期數(shù)列，且，，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、數(shù)列求和，考查運算求解能力，求解時注意通過計算數(shù)列的前6項，得到數(shù)列的周期.14．已知數(shù)列按如下規(guī)律分布（其中表示行數(shù)，表示列數(shù)），若，則下列結(jié)果正確的是（）第1列第2列第3列第4列…第1行1391933第2行751121第3行17151323第4行31292725┇A．， B．， C．， D．，答案：C解析：C【分析】可以看出所排都是奇數(shù)從小到大排起.規(guī)律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完次后，排出的數(shù)呈正方形.可先算是第幾個奇數(shù)，這個奇數(shù)在哪兩個完全平方數(shù)之間，再去考慮具體的位置.【詳解】每排完次后，數(shù)字呈現(xiàn)邊長是的正方形，所以排次結(jié)束后共排了個數(shù).，說明是個奇數(shù).而，故一定是行，而從第個數(shù)算起，第個數(shù)是倒數(shù)第個，根據(jù)規(guī)律第個數(shù)排在第行第列，所以第個數(shù)是第行第列，即在第行第列.故.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，但是考查卻很靈活，屬于較難題.15．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368答案：B解析：B【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項和.【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，設(shè)數(shù)列的前48項和為，則，，所以數(shù)列的前48項和為：1176.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，以及利用分組求和法求和，考查歸納思想和計算能力.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．答案：ACD【分析】先計算出數(shù)列的前幾項，判斷AC，然后再尋找規(guī)律判斷BD．【詳解】由題意，，A正確，，C正確；，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，B錯；，D正確．故選：ACD．【點睛】本解析：ACD【分析】先計算出數(shù)列的前幾項，判斷AC，然后再尋找規(guī)律判斷BD．【詳解】由題意，，A正確，，C正確；，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，B錯；，D正確．故選：ACD．【點睛】本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的項與和，解題關(guān)鍵是求出數(shù)列的前幾項后歸納出數(shù)列的性質(zhì)：周期性，然后利用周期函數(shù)的定義求解．17．(多選題)已知數(shù)列中，前n項和為，且，則的值不可能為（）A．2 B．5 C．3 D．4答案：BD【分析】利用遞推關(guān)系可得，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出答案．【詳解】解：∵，∴時，，化為：，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得：時，取得最大值2．∴的最大值為3．故選：BD．【點睛】本解析：BD【分析】利用遞推關(guān)系可得，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出答案．【詳解】解：∵，∴時，，化為：，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得：時，取得最大值2．∴的最大值為3．故選：BD．【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且，，則（）A． B． C． D．答案：BD【分析】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)結(jié)合前項和公式，求出，可判斷C，D，由等差數(shù)列基本量運算，可得公差，判斷出A，B．【詳解】因為，所以．因為，，所以公差．故選：BD解析：BD【分析】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)結(jié)合前項和公式，求出，可判斷C，D，由等差數(shù)列基本量運算，可得公差，判斷出A，B．【詳解】因為，所以．因為，，所以公差．故選：BD19．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)1＝3 B．若d＝1，則an＝n2+2n C．a(chǎn)2可能為6 D．a(chǎn)1，a2，a3可能成等差數(shù)列答案：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝解析：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝6.因為a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差數(shù)列，則a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故選ACD20．朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8答案：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因為，所以為200的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗證可知滿足題意.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21．（多選題）在數(shù)列中，若，（，，為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列答案：BCD【分析】根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結(jié)論的正誤.【詳解】對于A選項，取，則不是常數(shù)，則不是等方差數(shù)列，A選項中的結(jié)論錯誤；對于B選項，為常數(shù)，則是等方差數(shù)列，B選項中的結(jié)論正解析：BCD【分析】根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結(jié)論的正誤.【詳解】對于A選項，取，則不是常數(shù)，則不是等方差數(shù)列，A選項中的結(jié)論錯誤；對于B選項，為常數(shù)，則是等方差數(shù)列，B選項中的結(jié)論正確；對于C選項，若是等方差數(shù)列，則存在常數(shù)，使得，則數(shù)列為等差數(shù)列，所以，則數(shù)列（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列，C選項中的結(jié)論正確；對于D選項，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則存在，使得，則，由于數(shù)列也為等方差數(shù)列，所以，存在實數(shù)，使得，則對任意的恒成立，則，得，此時，數(shù)列為常數(shù)列，D選項正確.故選BCD.【點睛】本題考查數(shù)列中的新定義，解題時要充分利用題中的定義進行判斷，也可以結(jié)合特殊數(shù)列來判斷命題不成立，考查邏輯推理能力，屬于中等題.22．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，則（）A． B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．時，的最小值為13 D．數(shù)列中最小項為第7項答案：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調(diào)性可判斷D；【詳解】由已知解析：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調(diào)性可判斷D；【詳解】由已知得，，又，所以，故A正確；由，解得，又，當時，，時，，又，所以時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；由于，而，所以時，的最小值為13，故C選項正確；當時，，時，，當時，，時，，所以當時，，，，時，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項為第7項，故D正確；【點睛】本題考查等差數(shù)列的公差，項的符號，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最值項，屬于較難題.23．已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A． B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．數(shù)列為周期數(shù)列 D．答案：ABD【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】得，∴，即數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列為遞增數(shù)列，解析：ABD【分