專題九立體幾何———————命題觀察·高考定位———————(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第39頁(yè))1.(2017·江蘇高考)如圖9－1，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．圖9－1eq\f(3,2)[設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).]2．(2015·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_____．eq\r(7)[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝eq\r(7).]3．(2014·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．eq\f(3,2)[設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).]4.(2013·江蘇高考)如圖9－2，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V圖9－21∶24[設(shè)三棱柱的底面ABC的面積為S，高為h，則其體積為V2＝Sh.因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以△ADE的面積等于eq\f(1,4)S.又因?yàn)镕為AA1的中點(diǎn)，所以三棱錐F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱錐F－ADE的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.]5．(2017·江蘇高考)如圖9－3，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖9－3[證明](1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC.6.(2016·江蘇高考)如圖9－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求證：(1)直線DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C圖9－4[證明](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?所以直線DE∥平面A1C(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C[命題規(guī)律]觀近幾年江蘇的高考題，立體幾何的客觀題以柱、錐、球?yàn)檩d體考查體積、表面積為主，屬容易題；解答題一般都處于解答題第16題的位置，也就是屬于容易題范疇，考查的難度不大，且都是考查線線、線面或面面的平行與垂直關(guān)系的證明．從近幾年江蘇高考試題分析，解答題中考查一道立體幾何題型是固定模式，一般與棱柱和棱錐相關(guān)，其重點(diǎn)放在對(duì)幾何體中的一些線、面之間的平行與垂直關(guān)系的證明上，突出考查學(xué)生的空間想象能力和推理運(yùn)算能力．———————主干整合·歸納拓展———————(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第40頁(yè))[第1步▕核心知識(shí)再整合]1．空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式：①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；②S錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)；③S臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)；④S球表＝4πR2(R為球的半徑)．(2)柱體、錐體和球的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；②V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；③V球＝eq\f(4,3)πR3.2．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.[第2步▕高頻考點(diǎn)細(xì)突破]空間幾何體的表面積、體積、球與多面體【例1】(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)如圖9－5，圖9－5在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則三棱錐A－B1D1D的體積為_(kāi)_______cm3[解析]VA－B1D1D＝VB1－AD1D＝eq\f(1,3)×S△AD1D×B1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×D1D×B1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2×3＝3.[答案]3[規(guī)律方法](1)在求三棱錐體積的過(guò)程中，等體積轉(zhuǎn)化法是常用的方法，轉(zhuǎn)換底面的原則是使其高易求，常把底面放在已知幾何體的某一面上．(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體變?yōu)橐?guī)則幾何體，易于求解．(3)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．(4)求與球有關(guān)的“切”或者“接”球半徑時(shí)，往往用到的方法有構(gòu)造法或者直接確定球心．[舉一反三](江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學(xué)試題)如圖9－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1圖9－6eq\f(1,3)[將直三棱柱ABC－A1B1C1展開(kāi)成矩形ACC1A1，如圖，連接AC1，交BB1于D，此時(shí)AD＋DC1最小，∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，BD＝1，此時(shí)三棱錐D－ABC1的體積：VD－ABC1＝VC1－ABD＝eq\f(1,3)×S△ABD×B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AB×BD×B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).]線面位置關(guān)系的命題真假判斷【例2】給出下列命題：①若兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面；②若兩個(gè)平面平行，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平面；③若兩個(gè)平面垂直，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面；④若兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面．則其中所有真命題的序號(hào)是________．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】[解析]兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面一定沒(méi)有公共點(diǎn)，因此線面平行，①正確；同樣兩個(gè)平面平行，一直線與其中一個(gè)平面垂直，則它必垂直這個(gè)平面內(nèi)的任意直線，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，它也必垂直另一平面內(nèi)的兩條相交直線，故這條直線與另一平面也垂直，②正確；兩平面垂直，垂直于其中一個(gè)平面的直線可能在另一平面內(nèi)(面面垂直性質(zhì)定理)，③錯(cuò)誤；兩平面垂直時(shí)，它們的交線與兩平面都不垂直，④錯(cuò)誤．[答案]①②[規(guī)律方法]解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中．[舉一反三]設(shè)a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不正確的是________．(填序號(hào))①當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α//β；②當(dāng)b?α，a?α且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若b⊥c，則a⊥b；③當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥β；④當(dāng)b?α且c?α?xí)r，若c//α，則b//c.③[①命題的逆命題為“當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β”，正確；②命題的逆命題為“當(dāng)b?α，a?α且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若a⊥b，則b⊥c”，正確；③命題的逆命題為“當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β”，錯(cuò)誤；④命題的逆命題為“當(dāng)b?α且c?α?xí)r，若b∥c，則c∥α”，正確．]空間中的線面位置關(guān)系【例3】(江蘇省2017屆高考押題試卷(二)數(shù)學(xué)試題)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝eq\r(2)AB，D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：BC1∥平面A1CD；(2)若點(diǎn)P在線段BB1上，且BP＝eq\f(1,4)BB1，求證：AP⊥平面A1CD.圖9－7[證明](1)連接AC1，設(shè)與CA1交于O點(diǎn)，連接OD(圖略)．∴直三棱柱ABC－A1B1C1中，O為AC1的中點(diǎn)，∵D是AB∴在△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.(2)由題意，設(shè)AB＝x，則BP＝eq\f(\r(2),4)x，AD＝eq\f(1,2)x，A1A＝eq\r(2)x，由于eq\f(BP,AD)＝eq\f(AB,AA1)＝eq\f(\r(2),2)，∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP＝∠AA1D，∵∠DA1A＋∠ADA1＝90°，可得：AP⊥A1D又∵CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，CD?平面ABC，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，可得CD⊥平面ABB1∴CD⊥AP，又∵A1D∩CD＝D，∴AP⊥平面A1CD.[規(guī)律方法](1)要證線面平行，先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，或找一個(gè)經(jīng)過(guò)已知直線與已知平面相交的平面，找出交線，證明兩線平行．(2)要證線線平行，可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行．(3)要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．[舉一反三]如圖9－8所示，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由．圖9－8[解](1)證明：因?yàn)镈，E分別是AP，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PC.又DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．(3)存在點(diǎn)Q滿足條件．理由如下：連接DF，EG，如圖所示，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝eq\f(1,2)EG.分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝eq\f(1,2)EG，所以Q為滿足條件的點(diǎn).空間中的面面位置關(guān)系【例4】(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試)如圖9－9，正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.(1)求證：AB∥平面CDE；(2)求證：平面ABCD⊥平面ADE.圖9－9[證明](1)正方形ABCD中，AB//CD，又AB?平面CDE，CD?平面CDE，∴AB//平面CDE.(2)∵AE⊥平面CDE，且CD?平面CDE，∴AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE?平面ADE，AD?平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE.[規(guī)律方法]線面、線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用，依據(jù)線面、面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．證明面面平行主要依據(jù)判定定理，證明面面垂直時(shí)，關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個(gè)平面垂直，若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線、高線等方法解決．[舉一反三](江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學(xué)試題)如圖9－10，在三棱錐A－BCD中，E、F分別為BC，CD上的點(diǎn)，且BD∥平面AEF.(1)求證：EF∥平面ABD；(2)若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求證：平面AEF⊥平面ACD.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖9－10[證明](1)∵BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面BCD∩平面AEF＝EF，∴BD∥EF，又BD?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.(2)∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AE⊥CD，由(1)可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD.[第3步▕高考易錯(cuò)明辨析]1．概念不清，做題時(shí)想當(dāng)然導(dǎo)致出錯(cuò)．這是一些中差生最常犯的錯(cuò)如圖9－11，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4cm，AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為_(kāi)_______cm3圖9－11[錯(cuò)解]設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O(圖略)，則四棱錐A－BB1D1D的體積V＝eq\f(1,3)×SBB1D1D×AO，根據(jù)題意AC＝5cm，所以AO＝eq\f(5,2)，四棱錐A－BB1D1D的體積V＝eq\f(1,3)×5×2×eq\f(5,2)＝eq\f(25,3)cm3.[錯(cuò)解分析]由于AO不垂直于面BB1D1D，四棱錐A－BB1D1D的體積不是eq\f(1,3)×SBB1D1D×AO.[正解]作AO⊥BD，垂足為O(圖略)，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BB1D1D.所以，AO⊥平面BB1D1D，所以四棱錐A－BB1D1D的高為AO，根據(jù)題意BD＝5cm，所以AO＝eq\f(12,5)，四棱錐A－BB1D1D的體積V＝eq\f(1,3)×5×2×eq\f(12,5)＝8cm3.2.考綱要求學(xué)生要有一定的空間想象力，能根據(jù)圖形想象出直觀形象．學(xué)生往往由于空間感太差，考慮問(wèn)題不全面，忽視一些細(xì)節(jié)之處，把圖形想錯(cuò)已知m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是________．(填序號(hào))①m⊥α，m⊥n?n∥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m⊥α?n⊥α；④m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β.[錯(cuò)解]對(duì)①，想象為如下圖形，所以正確，填①.[錯(cuò)解分析]空間想象能力差，考慮問(wèn)題不全面而導(dǎo)致出錯(cuò)．[正解]對(duì)①，直線有可能在平面內(nèi)，故錯(cuò)；對(duì)②，只能說(shuō)明直線m、n無(wú)公共點(diǎn)，它們還有可能為異面直線，故錯(cuò)；對(duì)③，圖形如下，所以正確，填③.對(duì)④，平面α、β有可能相交，故錯(cuò)．3．推理不嚴(yán)密，邏輯思維混亂導(dǎo)致出錯(cuò)如圖9－12，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．如圖，求證：平面PAC⊥平面PBC.圖9－12[錯(cuò)解]因?yàn)镻A垂直圓所在的平面，所以PA⊥AC.又因?yàn)锳B是圓的直徑，C是圓上的點(diǎn)，所以BC⊥AC.所以平面PAC⊥平面PBC.[錯(cuò)解分析]證明任何一種位置關(guān)系，應(yīng)緊扣相應(yīng)的判定定理，要證兩個(gè)平面垂直，必須證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另外一個(gè)平面的一條垂線．以上證明找到了PA⊥AC，BC⊥AC，但這并不能說(shuō)明平面PAC⊥平面PBC.[正解]由AB是圓的直徑可得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.———————專家預(yù)測(cè)·鞏固提升———————(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè))1．邊長(zhǎng)為2eq\r(2)的正△ABC內(nèi)接于體積為4eq\r(3)π的球，則球面上的點(diǎn)到△ABC的最大距離為_(kāi)_______．eq\f(4\r(3),3)[設(shè)M是△ABC的外心，半徑為r，設(shè)球心為O，球體半徑為R，則V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，即R＝eq\r(3)，在Rt△OMC中，2r＝eq\f(2\r(2),sin60°)，則r＝eq\f(2\r(2),\r(3))，d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(3－\f(8,3))＝eq\f(\r(3),3)，dmax＝d＋R＝eq\f(\r(3),3)＋eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).]2．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為eq\r(2)，此時(shí)四面體ABCD外接球體積為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖9－13eq\f(5\r(5)π,6)[根據(jù)題意可知三棱錐B－ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD，DC⊥DA，底面是直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜邊的中點(diǎn)連線的中點(diǎn)處，求出上下底面斜