2025年平方差競賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題4分，共20分）1.已知\(a^2+b^2=15\)且\(a+b=5\)，則\(a-b\)的值為：A.2B.3C.4D.52.若\(x^2-y^2=16\)，且\(x+y=8\)，則\(x-y\)的值為：A.2B.4C.6D.83.化簡\((3x+4y)^2-(3x-4y)^2\)的結(jié)果是：A.24xyB.48xyC.72xyD.96xy4.若\(a+b=7\)且\(a-b=1\)，則\(a^2-b^2\)的值為：A.24B.25C.26D.275.已知\(m^2-n^2=20\)，且\(m+n=5\)，則\(m-n\)的值為：A.3B.4C.5D.6二、填空題（每題5分，共25分）6.若\(a^2+b^2=25\)且\(a+b=5\)，則\(a-b\)的值為________。7.若\(x^2-y^2=36\)，且\(x+y=6\)，則\(x-y\)的值為________。8.化簡\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2\)的結(jié)果是________。9.若\(p+q=10\)且\(p-q=2\)，則\(p^2-q^2\)的值為________。10.若\(r^2-s^2=32\)，且\(r+s=8\)，則\(r-s\)的值為________。三、解答題（每題10分，共50分）11.已知\(a+b=9\)且\(a^2+b^2=85\)，求\(a-b\)的值。12.化簡\((5x+7y)^2-(5x-7y)^2\)。13.若\(m+n=12\)且\(m-n=4\)，求\(m^2-n^2\)的值。14.已知\(x^2-y^2=50\)，且\(x+y=10\)，求\(x-y\)的值。15.化簡\((4u+5v)^2-(4u-5v)^2\)并求值當(dāng)\(u=2\)，\(v=3\)時(shí)。四、證明題（每題15分，共30分）16.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(a\)和\(b\)，都有\(zhòng)(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。17.證明：若\(x+y=5\)且\(x^2-y^2=15\)，則\(x\)和\(y\)的值。答案與解析選擇題1.B.3解析：由\(a+b=5\)，得\(a=5-b\)。將其代入\(a^2+b^2=15\)，得\((5-b)^2+b^2=15\)，解得\(b=2\)或\(b=3\)。對(duì)應(yīng)\(a=3\)或\(a=2\)，所以\(a-b=1\)或\(a-b=2\)，因此\(a-b=3\)。2.B.4解析：由\(x+y=8\)，得\(x=8-y\)。將其代入\(x^2-y^2=16\)，得\((8-y)^2-y^2=16\)，解得\(y=4\)或\(y=4\)，對(duì)應(yīng)\(x=4\)或\(x=4\)，所以\(x-y=4\)。3.B.48xy解析：\((3x+4y)^2-(3x-4y)^2=[(3x+4y)+(3x-4y)][(3x+4y)-(3x-4y)]=6x\cdot8y=48xy\)。4.C.26解析：由\(a+b=7\)和\(a-b=1\)，得\(2a=8\)，即\(a=4\)，再得\(b=3\)，所以\(a^2-b^2=16-9=7\)。5.B.4解析：由\(m+n=5\)，得\(m=5-n\)。將其代入\(m^2-n^2=20\)，得\((5-n)^2-n^2=20\)，解得\(n=3\)或\(n=2\)，對(duì)應(yīng)\(m=2\)或\(m=3\)，所以\(m-n=1\)或\(m-n=4\)，因此\(m-n=4\)。填空題6.2解析：由\(a+b=5\)，得\(a=5-b\)。將其代入\(a^2+b^2=25\)，得\((5-b)^2+b^2=25\)，解得\(b=2\)或\(b=3\)。對(duì)應(yīng)\(a=3\)或\(a=2\)，所以\(a-b=1\)或\(a-b=2\)，因此\(a-b=2\)。7.6解析：由\(x+y=6\)，得\(x=6-y\)。將其代入\(x^2-y^2=36\)，得\((6-y)^2-y^2=36\)，解得\(y=3\)或\(y=3\)，對(duì)應(yīng)\(x=3\)或\(x=3\)，所以\(x-y=3\)。8.72xy解析：\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2=[(2x+3y)+(2x-3y)][(2x+3y)-(2x-3y)]=4x\cdot6y=24xy\)。9.96解析：由\(p+q=10\)和\(p-q=2\)，得\(2p=12\)，即\(p=6\)，再得\(q=4\)，所以\(p^2-q^2=36-16=20\)。10.4解析：由\(r+s=8\)，得\(r=8-s\)。將其代入\(r^2-s^2=32\)，得\((8-s)^2-s^2=32\)，解得\(s=4\)或\(s=4\)，對(duì)應(yīng)\(r=4\)或\(r=4\)，所以\(r-s=4\)。解答題11.解：由\(a+b=9\)，得\(a=9-b\)。將其代入\(a^2+b^2=85\)，得\((9-b)^2+b^2=85\)，解得\(b=4\)或\(b=5\)。對(duì)應(yīng)\(a=5\)或\(a=4\)，所以\(a-b=1\)或\(a-b=1\)，因此\(a-b=1\)。12.解：\((5x+7y)^2-(5x-7y)^2=[(5x+7y)+(5x-7y)][(5x+7y)-(5x-7y)]=10x\cdot14y=140xy\)。13.解：由\(m+n=12\)和\(m-n=4\)，得\(2m=16\)，即\(m=8\)，再得\(n=4\)，所以\(m^2-n^2=64-16=48\)。14.解：由\(x+y=10\)，得\(x=10-y\)。將其代入\(x^2-y^2=50\)，得\((10-y)^2-y^2=50\)，解得\(y=5\)或\(y=5\)，對(duì)應(yīng)\(x=5\)或\(x=5\)，所以\(x-y=5\)。15.解：\((4u+5v)^2-(4u-5v)^2=[(4u+5v)+(4u-5v)][(4u+5v)-(4u-5v)]=8u\cdot10v=80uv\)。當(dāng)\(u=2\)，\(v=3\)時(shí)，\(80\cdot2\cdot3=480\)。證明題16.證明：\((a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\)，所以\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。17.證明：