三年真題(2023—2025)

4<04照列

■三年考情-探規(guī)律.

考點三年考情(2023-2025)命題趨勢

等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念依舊是是題型上依然涵蓋選擇題、

常考內容，常給出數(shù)列為等差(等比)數(shù)列，填空題和解答題，但出現(xiàn)了一

或通過構造為等差(等比)數(shù)列，來求通項些變化。一方面，數(shù)列在解答

公式及前n項和。如2023年全國乙卷、題中的位置有所變動，不再固

考點1數(shù)列

2023年全國新I卷、2023年天津卷等都定為簡單大題，如2024年有

的通項公式

有涉及。數(shù)列考壓軸的情況。另一方面，

與前n項和

數(shù)列求和方法：裂項相消求和、錯位相可能會出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如

減求和、分組及并項求和等是?？純热荩?024年新高考I卷考查了

結合不等式、最值及范圍進行考查。數(shù)列的新定義問題lo

背景情境化：數(shù)列題目更

注重聯(lián)系實際生活，以實際問

題為背景，要求考生從現(xiàn)實問

數(shù)列常與函數(shù)、方程、不等式、概率等

題中抽象出數(shù)列模型，如2023

知識綜合考查。如2023年新高考一卷數(shù)列

年新高考II卷數(shù)列題以環(huán)保

和概率結合；數(shù)列與不等式的綜合問題是高

項目為背景2。這體現(xiàn)了數(shù)學

考考查的熱點，考查不等式的恒成立問題、

在實際生活中的應用，也考查

與數(shù)列有關的不等式的證明問題等，常通過

了考生的數(shù)學建模能力。

構造函數(shù)證明，或者直接利用放縮法證明。

難度兩極化：整體難度呈

等差、等比數(shù)列的綜合：重點考查等差、等

現(xiàn)兩極化趨勢。基礎題主要考

考點2數(shù)列比數(shù)列的基本運算、性質以及通項公式、前

查數(shù)列的基本概念，難度較低，

的綜合應用n項和公式的應用。如2024年全國甲卷理

如2024年高考新高考II卷

科真題中，通過等差數(shù)列的性質來解題。

填空題中考查等差數(shù)列基本量

數(shù)列求和及應用：考查數(shù)列求和方法，如裂

的計算，難度較易lo但部分

項相消法、錯位相減法、分組及并項求和法

綜合題或創(chuàng)新題難度較大，對

等，并且求和后常與不等式、函數(shù)最值等問

考生的邏輯推理、運算求解、

題相互交織。2025年新高考一卷第16題，

知識遷移等能力要求較高，如

就采用錯位相減法求差比數(shù)列的和。

2024年高考新高考II卷大

題中結合雙曲線考查等比數(shù)列

的證明，難度較難。

?考點分練?精準達標.

考點01數(shù)列的通項公式與前“項和

一、單選題

1.(2025?北京?高考真題)已知是公差不為零的等差數(shù)列，的=—2,若。3，口4，。6成等比數(shù)列，則的。=()

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中項的性質結合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,(d*0),

因為a3，a4，a6成等比數(shù)列，且的=一2,

所以嫌=a3a6，即(一2+3d>=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去)，

所以aio=a1+9d=-2+9x2=16.

故選：C.

2.(2025?全國二卷?高考真題)記無為等差數(shù)列｛時｝的前"項和，若S3=6,S5=-5,則56=()

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列前“項和公式結合題意列出關于首項的和公差d的方程求出首項的和公差d,再由等差

數(shù)列前n項和公式即可計算求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則由題可得二A今以二彳，

所以56=6al+15d=6x5+15x(-3)=—15.

故選：B.

3.(2025?天津?高考真題)Sn=+8九，則數(shù)列｛|即|｝的前12項和為()

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由題設結合an=Sn-S“_i求出數(shù)列｛&J的通項公式，再結合數(shù)列｛的J各項正負情況即可求解.

【詳解】因為Sn=—/+8加

所以當n=l時，&=S】=一I?+8x1=7,

2

當?！22時,cin—Sn-Sn_]=(—聲+gn)—[―(n—I)+8(n—1)]=-2n+9,

經檢驗，的=7滿足上式，

所以廝=—2n+9(nGN*),令an=-2n+9>0=>n<4,an=-2n+9<0=>n>5,

設數(shù)列｛|an|｝的前〃項和為經，

2

則數(shù)列｛|廝|｝的前4項和為74=s4=-4+8X4=16

數(shù)列｛|%J｝的前12項和為

aa—a—aa

7271=1^11+|d2|+11,+\a12\=+?2+3+456-------------12

2

=2S4-S12=2x16-(-12+8x12)=80.

故選：C

4.(2024?全國甲卷?高考真題)已知等差數(shù)列｛廝｝的前幾項和為%,若S9=l,則。3+。7=()

72

A.-2B.-C.1D.-

39

【答案】D

【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成的和d來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處

理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

由S9=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9=9a1+瞪d=1=9%+36d=1,

22

又CI3+a：=a1+2d+a1+6d——2al+8d=-(9a1+36d)=—.

故選：D

方法二：利用等差數(shù)列的性質

根據(jù)等差數(shù)列的性質，ai+a9=a3+a7,由S9=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,

=9(0^)=9(?^)=故的+。7=|.

故選：D

方法三：特殊值法

不妨取等差數(shù)列公差d=0,則S9=1=9al今的=1,則CZ3+a7=2al=|.

故選：D

5.(2024.全國甲卷.高考真題)記％為等差數(shù)列的前幾項和，已知S5=Sio,a5=1,則%=()

7717

A.-B.-C.--D.--

23311

【答案】B

【分析】由S5=S1O結合等差中項的性質可得為=0,即可計算出公差，即可得的的值.

【詳】由Si。-—。6+。7+。8+。9+。10=5a8=。，則。8=。，

則等差數(shù)列｛5｝的公差d=弩=—3故的=d5_4d=1_4x(_§=￡

故選：B.

6.(2023?全國甲卷?高考真題)記無為等差數(shù)列｛即｝的前n項和.若a2+(^=1。，a4a8=45,則S5=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列｛廝｝的公差和首項，再根據(jù)前71項和公式即可解出;

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前n項和公式的性質即可解出.

【詳解】方法一：設等差數(shù)列｛。九｝的公差為d,首項為由,依題意可得，

。2+。6=+d+%+5d=10,即%+3d=5,

又a4a8=(。1+3d)(ai+7d)=45,解得:d=l,ar=2,

所以S5=5%+等xd=5x2+10=20.

故選：C.

萬法——<?：a2+。6=2。4=10,a4a8=45,以。4=5,CLQ=9,

從而d==1,于是的=%—d=5—1=4,

所以S5—5a3=20.

故選：C.

7.(2023?全國甲卷,高考真題)設等比數(shù)列｛%J的各項均為正數(shù)，前幾項和%,若%=LS5=5S3-4,則

S4=()

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】c

【分析】根據(jù)題意列出關于q的方程，計算出q,即可求出s4.

【詳解】由題知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)_生

即q3+q，=佃+4/,即q3+g2-4g-4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以q=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

故選:C.

8.(2023?天津?高考真題)已知數(shù)列｛a1｝的前〃項和為%,若的=2,an+1=2Sn+2(nGN*),則<14=()

A.16B.32C.54D.162

【答案】C

【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.

【詳解】當n22,neN*時，廝=2S“_i+2,所以an+i-an=2a“，即時+】=3%j,

當n=1時，a2=2sl+2=2al+2=6=3%,

所以數(shù)列｛an｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，

則a4=OiQ3=54.

故選：C.

9.(2023?新課標II卷?高考真題)記S”為等比數(shù)列｛廝｝的前”項和，若54=-5,S6=21S2,則S&=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)S-S8的關系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質求解.

【詳解】方法一：設等比數(shù)列｛%J的公比為q,首項為的,

若q=—1,則S4=0W—5,與題意不符，所以qH—1;

若q=1,則$6=6al=3X2al=3s2W0,與題意不符，所以q*1；

4

由54=-5,S6=21s2可得，。仁)=-5,當尹=21x。仁2)①,

由①可得，l+q2+q4=21,解得：q2=%

所以S8=以黑3)=的普4)X(1+q4)=-5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設等比數(shù)列｛即｝的公比為q,

因為54=-5,S6=21S2,所以qR-l,否則54=0,

從而，$2,$4-52,S6-$4,$8一56成等比數(shù)列，

2

所以有，(—5-S2)=S2(21S2+5),解得：52=-1或S2=

當S2=—1時,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,即為一1,一4,-16島+21,

易知，S8+21=-64,即58=-85；

22

當52=:時，$4=的+=(?1+?2)(1+Q)=(1+q)52>0,

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前幾項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握S4，Sg的關

系，從而減少相關量的求解，簡化運算.

二、多選題

10.(2025?全國二卷?高考真題)記立為等比數(shù)列｛%｝的前"項和,q為｛時｝的公比,q>0,若S3=7,a3=1,

則()

,1_1

A.QB.etc.——

V——259

C.S5=8D.an+Sn=8

【答案】AD

【分析】對A,根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前n項和公式得到方程組，解出a1,q,再利用其通項公式和前n項

和公式一一計算分析即可.

(Q“2—1(a1=4(a]9

【詳解】對A,由題意得】q2r，結合q〉o,解得1或1(舍去)，故A正確；

(a1+的q+的口2=7"(Q=-U=-與

對B,則=a"=4xG)=%故B錯誤;

對C,S5=喑兄故c錯誤;

3n

則即+Sn=2-+8-23f=8,故D正確；

故選：AD.

三、填空題

11.(2025?全國一卷?高考真題)若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4,前8項和為68,則該

等比數(shù)列的公比為.

【答案】2

【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前n項和的定義，

得到關于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前n項和性質得到關于q的方程，解之即可得解.

【詳解】法一：設該等比數(shù)列為Sn是其前n項和，則S4=4,S8=68,

設的公比為q(q>0),

當q=1時，S4=4al=4,即％=1,則Sg=8al=8768,顯然不成立，舍去；

當q*1時，則54=筆手=4,58=。仁，=68,

兩式相除得三=竽，即i+V)=.

1-q44(「?1-(q4

則1+/=17,所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法二：設該等比數(shù)列為S"是其前71項和，則$4=4,Sg=68,

設｛%｝的公比為q(q>0),

所以S4=+%+。3+。4=%

SQ=%+%+。3+。4+。5+。6+

444

=%+02+%++a/+a2q+a3q+a4q

=+。2+。3+。4)(1+Q4)=68,

所以4(l+q4)=68,則1+/=",所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法三：設該等比數(shù)列為伍九｝,S九是其前幾項和，則$4=4下8=68,

設的公比為q(q>0),

因為S&—S4—的+“6+。7+=68—4—64,

=Q]+。2+。3+。4=4,

所以包#=q4=?=16,所以q=2,

044

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

12.（2025?上海?高考真題）己知等差數(shù)列的首項的=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項和為

【答案】12

【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S6=6%+等4=12.

故答案為：12

13.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是畬、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依

次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

【答案】2357.5號

【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.

【詳解】設升量器的高為瓦，斗量器的高為初（單位都是mm）,則案生=學守=1°，

若）電《等）電

故九2=23mm,hr=—mm.

故答案為：23mm,mm.

14.（2024?新課標II卷?高考真題）記立為等差數(shù)列的前幾項和，若的+。4=7,3a2+a5=5,則

Sio=-----------

【答案】95

【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

【詳解】因為數(shù)列a“為等差數(shù)列，則由題意得點:解得「憶”

-1AyQ

則Si。=10%+手d=10x（-4）+45x3=95.

故答案為：95.

15.（2023?全國甲卷?高考真題）記立為等比數(shù)列｛an｝的前n項和.若8s6=753,則｛廝｝的公比為

【答案】

【分析】先分析q片1,再由等比數(shù)列的前幾項和公式和平方差公式化簡即可求出公比q.

【詳解】若q=1,

則由8s6=7S3得8?6a】=7?3a「則a1=0,不合題意.

所以q小1.

當q41時，因為8s6=753，

所以8.爾上式2=7?業(yè)喳，

1-q1-q

即8-(1-q6)-7-(1-q3),即8-(1+q3)(l-q3)=7-(1-q3),即8-(1+q3)=7,

解得q=—

故答案為：-1

16.(2023?全國乙卷?高考真題)已知｛&J為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,則即=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對G2a4。5=。3。6化簡得的q=1，聯(lián)立。9。10=-8求出或=-2,最后得的=@19-

q5=q5=-2.

【詳解】設｛。九｝的公比(qW0)，貝(JQ2a4。5=a3a6=a?q,tigQ,顯然a九W0,

29

則。4=q?,即Q]q3=q,則a1q=1,因為a9a電=-8,則的勺'?arq=-8,

53s5

則qis=(Q)=—8=(—2)3,則qS=—2,則劭=arq-q=q=-2,

故答案為：-2.

考點02數(shù)列的綜合應用

2025年6月21日高中數(shù)學作業(yè)

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.(2023?全國乙卷?高考真題)已知等差數(shù)列｛時｝的公差為等集合S=｛cos%1meN*｝,若S=｛a,b｝,則ab=

()

A.TB,C.0D.|

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理

作答.

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛an｝中，a”=%+(n—l)-=￡+(%—》

顯然函數(shù)丫=cos[gn+(附一m)]的周期為3,而neN*,即cosan最多3個不同取值，又｛cosan|neN*｝=

｛a,b｝,

貝！J在cosai，cosa2，cosa3中，cos%=cosa2Wcos/或cos的Wcosa2=cosa3^cosa1=cosa3工cosa2

于是有COS。=COS(6+g)或COS。=COS(0+y),

即有g+(B+爭=2kn,kGZ,解得8=fcn-/ceZ；

或者e+(6+y)=2kn,kez,解得。=/cjc-pfcez；

所以keZ,ab=cos(k?！猑)cos[(fcn—^)+y]=—cos(fc7t—；)cosk?r=一cos2k兀cos；=一1或ab=cos(k?！?/p>

^C0Sfc7t=-i

故選：B

2.(2023?北京?高考真題)已知數(shù)列｛斯｝滿足廝+1=；(%1—6)3+601=1,2,3,i),則()

A.當?shù)?3時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得廝〉用恒成立

B.當?shù)?5時，｛&J為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MW6,使得恒成立

C.當?shù)?7時，｛心｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6,使得廝〉用恒成立

D.當?shù)?9時，｛即｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得an<M恒成立

【答案】B

【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質，故可判斷B的正誤.

法2：構造f(x)=：O-67+6-%,利用導數(shù)求得f(x)的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項與所

32

在區(qū)間，從而判斷｛an｝的單調性;對于A,構造h(x)=-x--x4-26x—47(x<3),判斷得冊+i<an—1,

進而取TH=-[M]+4推得斯>M不恒成立；對于B,證明。九所在區(qū)間同時證得后續(xù)結論；對于C,記血0=

32

log3|^21ogi(M—6)+1],取zn=[m0]+1推得a九>M不恒成立；對于D,構造g(x)=i%—1%+26%—

49(x>9),判斷得%i+i>an+1,進而取Til=[M]+1推得a九<M不恒成立.

33

【詳解】法1：因為a九+1=—6)+6,故G九+1—6=--(an—6),

對于A,若的=3,可用數(shù)學歸納法證明：an—64—3即冊￡3,

證明：當九=1時，-6=-3<-3,此時不等關系a九工3成立；

設當九=々時,ak—6<—3成立，

則以+1-6=[(%—6)36(—8,一?)，故以+1-6<-3成立，

由數(shù)學歸納法可得冊<3成立.

32

而a九+1—an(an—6)—(an—6)=(an—6)七(an—6)—1],

一(a九一6產一1>—1=—>0,cc—6V0,故。九+1—V0，故

444n

故｛a九｝為減數(shù)列，注意以+i-6<-3<0

32

故的i+i-6=j(an—6)=(an—6)xj(an—6)<j(an—6),結合％i+i—6<0,

所以6—N￡(6—@九)，故6—an+iZ3(J,故冊+i<6—3，

若存在常數(shù)MW0,使得%>時恒成立，則6-3(?"一1>時，

故>()),故九<]og&w!+i,故％1>M恒成立僅對部分九成立，

3\4/43

故A不成立.

對于B,若的=5,可用數(shù)學歸納法證明：—13即一6<0即53即<6,

證明：當n=l時，-1W%-6=-1W0,此時不等關系5W<6成立；

設當幾=k時,5<ak<6成立，

則Q/c+i-6=：(ctk-6尸6(一[10),故—1<ak+i—6<0成立即

由數(shù)學歸納法可得5<ak+1<6成立.

a2

而a九+1-Q/i=；(n-6尸—(an-6)=(an—6)^(an—6)—1],

九一6尸一1v0,an-6<0,故a九+1—。九>0,故a九+1>。九，故｛。九｝為增數(shù)列，

若M=6,則a九<6恒成立，故B正確.

對于C,當?shù)?7時，可用數(shù)學歸納法證明：0V。九一6<1即6<。九<7,

證明：當九二1時，0<。1一6<1,此時不等關系成立；

設當九=k時，6<ak<7成立，

則以+i-6=](以一6尸6?]，故。Vak+i-641成立即6<以+i<7

由數(shù)學歸納法可得6<an<7成立.

2

而a九+1—。九二(a九—6)(an-6)—1]<0,故。九+1<。九，故｛a九｝為減數(shù)列，

2

又%i+i-6=(a九—6)X(an—6)<(an-6),結合a九+1-6>?？傻茫篴n+1—6<(%—6)(1)，所以

an+l36+(J,

若%+146+(￡),若存在常數(shù)M>6,使得%,>M恒成立，

則M—6V(￡fT恒成立，故幾Vlogq(M—6)+1,九的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.

對于D,當?shù)?9時，可用數(shù)學歸納法證明：廝一623即時29,

證明：當九二1時，—6=3>3,此時不等關系成立；

設當幾=憶時，之9成立，

則以+1-6=[(。左—6>>^>3,故縱+iN9成立

由數(shù)學歸納法可得冊>9成立.

a2

而％1+1一%I=(n-6)[](%!-6)-1]>0,故冊+1>an,故｛&J為增數(shù)列，

2

又a九+1—6=((1n—6)x-(an—6)>-(an—6),結合a九-6>0可得：c^n+i-6>(4—6)Q)=

3(曠】，所以。6+3(曠】，

若存在常數(shù)M>0,使得an<M恒成立，則”>6+3(?”:

故M>6+3(?”T,故n<log2(等)+1,這與"的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.

故選：B.

法2：因為a九+1—ct——(a九一6>+6—c1———a：+26a九-48,

n4n42

令f(x)=i%3—|x2+26x—48,則尸(%)=jx2—9%+26,

令f'(x)>0,得0<x<6-竽或x>6+手；

令/'(x)<0,得6—竽<久<6+竽；

所以/'(%)在(-00,6—今3和(6++8)上單調遞增，在(6—6+上單調遞減，

令/'(x)=0,貝6/+26刀—48=0,Bpi(x—4)(x—6)(x—8)=0,解得％=4或％=6或x=8,

注意到4<6-不<5,7<6+竽<8,

所以結合f(x)的單調性可知在(一8,4)和(6,8)上f(x)<0,在(4,6)和(8,+8)上/(口>0,

a3

對于A,因為a^+i—7(n—6尸+6,則出1+1—6=；(czn—6),

44

當九=1時，4=3,劭一6=工(％.—6尸V—3,則的<3,

4

假設當幾=左時，ak<3,

當71=k+1時，以+i—6=-(以一6"<-(3—6)3V—3,則以+iV3,

綜上：an<3,即a九E(-8,4),

因為在(一8,4)上/(%)V0,所以冊+i〈a九，則｛&J為遞減數(shù)列，

因為a九+1—a+1=—(cz—6尸+6-cc+1=-碎—+2661—47,

n4n42nrl

令九(%)=-x3--X2+26%—47(%<3),則九'(%)=-x2—9%+26,

424

因為h'(x)開口向上，對稱軸為X=-N=6,

2XJ

所以"(x)在(—8,3]上單調遞減，故》(x)>〃⑶=-X32-9X3+26>0,

4

所以九(x)在(-8,3]上單調遞增,故h(x)<h(3)=ix33--x32+26X3-47<0,

42

故a九+1—c1n+1<0,即V。九—1，

假設存在常數(shù)M<0,使得冊>M恒成立，

取恤=-[M]+4,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ,

aa

因為G九+1<an—1,所以。2<—L。3<。2—1，…，-[M]+4<-[M]+3~1，

上式相加得，a_[M]+4V—(-[M]+3)<3+M-3=M,

則%ni=Q[M]+4VM,與%I>M恒成立矛盾，故A錯誤；

對于B,因為的=5,

當九=1時，臼=5<6,g=：—6尸+6=[X(5—6)3+6V6,

假設當?1=k時，ak<6,

當ri=k+1時，因為以<6,所以以—6<0,則(以—6)3<0,

所以。上+1=[(以-6)3+6<6,

33

又當九=1時，a2—5=-(<!-￡—6)+l=-x(5-6)+1>0,即為>5,

假設當幾=k時，ak>5,

當九=k+1時，因為耿之5,所以一6之一1,貝!1(以一6>>—1,

所以以+1=-(cifc-6)3+6之5,

綜上：5<an<6,

因為在(4,6)上/(%)>0,所以即+1>。九，所以｛廝｝為遞增數(shù)列，

此時，取M=6,滿足題意，故B正確；

對于C,因為a九+1=：(a九一6尸+6,則a九+1—6=；(a九一6)3,

44

3443

注意到當—7時，g=](7—6尸+6=—+6,(I3=[Q+6—6)+6=Q)+6,u4——(j+6—6+

6=(曠+6

/八如"T)

猜想當幾>2時，ak=Q)+6,

當72=2與n=3時，的=1+6與%—(J+6滿足a九=05+6,

假設當幾=k時,ak=(J?+6,

當n=/c+l時，所以以+1=](以一6>+6=1(f,)+6-6+6=()(,+6,

/i\-(3n-l)

綜上：an=(Z)2+6(九>2),

易知371—1>0,則0<Q)2<1,故即=(3+66(6,7)522),

所以廝e(6,7],

因為在(6,8)上/(%)<0,所以即+i(二,則｛an｝為遞減數(shù)列，

假設存在常數(shù)M>6,使得廝>M恒成立，

記=log21ogi(M-6)+1,取m=[m]+1,其中小。-1<[m]<m,mGN*,

3L40000

則3m>37no=210g式M—6)+1,

4

故/37n—])>logi(M—6),所以G)，<M—6,即G)，+6<M,

所以a^VM,故生>M不恒成立，故C錯誤；

對于D,因為a1=9,

當九二1時，&-6=](Qi—67=§>3,則g>9,

假設當九=七時，ak>3,

當71=/c+1時，%+1—6=-(a之一6尸>-(9-6)3>3,則>9,

綜上：an>9,

因為在(8,+8)上/(%)>0,所以即+1>。九，所以｛的J為遞增數(shù)列，

因為。九+1-ctn_1=~(a九一6尸+6—un—1=—碎——W+26(1rl—49,

令g(%)=-x3--x2+26x—49(x>9),貝!Jg'(%)=-%2—9x+26,

424

因為g'(x)開口向上，對稱軸為尤=一三=6,

所以“0)在[9,+8)上單調遞增，故“(x)2“(9)=：X92—9X9+26>0,

所以g(x)>g(9)=ix93-1x92+26x9-49>0,

故an+i—an—1>0,即an+i>an+1,

假設存在常數(shù)M>0,使得與<M恒成立，

取小2=[M]+1,其中M-1<[M]<M,且[M]6Z,

aa

因為的1+1>an+1>所以。2>+L。3>。2+1，…,[M]+l>[M]+1>

上式相加得，>ai+[M]>9+M-l>M,

貝bg=a[M]+l>M,與(In<M恒成立矛盾，故D錯誤.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是根據(jù)首項給出與通項性質相關的相應的命題，再根據(jù)所得命題結合

放縮法得到通項所滿足的不等式關系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.

3.(2025?上海?高考真題)已知數(shù)列｛ci"｝、｛%｝、｛%｝的通項公式分別為即=10n-9,bn-2"、，cn=Xan+

(1-冷..若對任意的4e[0,1],an>.、%的值均能構成三角形，則滿足條件的正整數(shù)兀有()

A.4個B.3個C.1個D.無數(shù)個

【答案】B

【分析】由“=+(1-可知％范圍，再由三角形三邊關系可得廝,5,Q的不等關系，結合函數(shù)零

點解不等式可得.

【詳解】由題意%，%,%>0,不妨設4(n,an),B(n,%),C(n,C"),

三點均在第一象限內，由“u/Lan+Q—Q%可知，BC^ABA.Xe[0,1],

故點C恒在線段48上，則有minSn，5｝<cn<max｛an,bn｝<an+bn.

即對任意的2e[0,1],“<Cln+%恒成立，

令lOx—9=2”,構造函數(shù)/'(x)=2X-10x+9,x>0,

則f'(x)=2久ln2-10,由f'(x)單調遞增，

又尸(3)<0,尸(4)>0,存在x°e(3,4),使廣(而)=0,

即當0<%<%0時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;

當x>%o時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;

故/(x)至多2個零點，

又由/⑴>0,/(2)<0,/(5)<0,/(6)>0,

可知/(x)存在2個零點，不妨設“1，%2(尤1<%2)，且*1e(1,2),%26(5,6).

①若%i<bn,即lOn—9<2九時，此時九=1或九>6.

則3i<cn<bn,可知“+cn>a九成立，

要使冊、匕、%的值均能構成三角形，

所以an+cn>%恒成立,故匕<2an,

所以有12n<2（1071-9”解得71=6;

n

②若即>bn,BPlOn-9>2時,此時n=2,3,4,5.

則/i>cn>bn,可知an+cn>匕成立,

要使冊、bn、”的值均能構成三角形，

所以bn+cn>a九恒成立，故冊<2bn,

所以有｛1黑丫9吃2公，解得1或5；

綜上可知，正整數(shù)n的個數(shù)有3個.

故選：B.

二、填空題

4.（2023?北京?高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現(xiàn)了類似于祛碼的、用來

測量物體質量的“環(huán)權”.已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列｛aj,該數(shù)列的前

3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且的=l,as=12箝9=192,則。7=；數(shù)列｛即｝所有項的

和為?

【答案】48384

【分析】方法一：根據(jù)題意結合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解d,q,進而可求得結果；方法二：根據(jù)

等比中項求。7，。3,在結合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.

【詳解】方法一：設前3項的公差為d,后7項公比為q>0,

則q4=￡=詈=16,且q>0,可得q=2,

則（Z3=1+2d=號，即1+2d=3,可得d=1,

（7

=

空1：可得=3,a7—48,

空2：%+a2+…+=1+2+3+3X2+…+3X26=3+*5P=384

方法二：空1：因為｛an｝,3WnW7為等比數(shù)列，則謗=a5a9=12X192=482,

且曲>0,所以a7=48；

又因為諜=a3a7，則。3=生=3;

a7

空2：設后7項公比為q>0,則q2=%=%解得q=2,

a3

i「4日3（Qi+QQ）CL-i-CLaCl3—192x2ccyuui、［

可倚％+g+。3=---------=6,%+。4+。5+。6+。7+。8+=-------=---------=381,所以％+的+

21—Q1—2

+cig=6+381-的=384.

故答案為：48；384.

5.（2024?北京?高考真題）設｛an｝與仍n｝是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合M=｛k\ak=bk,kE

N*｝,給出下列4個結論：

①若Sn｝與｛g｝均為等差數(shù)列，則加中最多有1個元素；

②若｛5｝與｛b｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；

③若｛廝｝為等差數(shù)列，｛%｝為等比數(shù)列，則加中最多有3個元素；

④若｛5｝為遞增數(shù)列，｛.｝為遞減數(shù)列，則加中最多有1個元素.

其中正確結論的序號是.

【答案】①③④

【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特

征及反證法可判斷③的正誤.

【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，

而兩條直線至多有一個公共點，故M中至多一個元素，故①正確.

對于②，取冊=2…也=一（一2嚴「則｛aj也｝均為等比數(shù)列，

但當n為偶數(shù)時，有即=2吁1=%=-（-2嚴-\此時M中有無窮多個元素，故②錯誤.

n

對于③，設小=AqQAqW0,qH±1）,an=kn+h（fcH0）,

若M中至少四個元素，則關于ri的方程4f=kn+b至少有4個不同的正數(shù)解，

若q>0,qW1,則由y=Zq九和y=kn+b的散點圖可得關于九的方程/q九=fcn+b至多有兩個不同的解，

矛盾；

若q<0,qW±1，考慮關于九的方程//1=/m+b奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，

當Zq71=kn+b有偶數(shù)解，此方程即為川ql71=kn+b,

方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時Z