期末真題重組練習(xí)卷-2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教版(2019)選擇性必

修第二冊(cè)

一.選擇題(共8小題)

1.(2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)曲線/(x)="+歷(尤+1)在點(diǎn)(0,八0))處的切線方程為()

A.y=2x+lB.y=2x-3C.y=x+2D.y=x-2

2.(2024秋?廣東校級(jí)期末)已知a,b,cGR,則“a,6,c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“a=b

=c”的()

A.充分且不必要條件

B.必要且不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.(2024秋?湖南期末)已知過(guò)點(diǎn)A(a,0)可以作曲線y=(x-1)/的兩條切線，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.(1,+8)B.(-8,-e)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-3)U(1,+8)

4.(2023秋?包河區(qū)校級(jí)期末)已知名為等差數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和，44+2°9+及0=24,則$20=()

A.60B.120C.180D.240

5.(2024春?青岡縣校級(jí)期末)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.(0,B.(1,y)C.(1,e2)D.(0,1)

,(3an+1/。九為奇數(shù),

6.(2024秋?龍崗區(qū)期末)數(shù)列｛〃“｝滿足m=5,an+\=\an國(guó)必則”4=()

為偶數(shù),

A.1B.2C.4D.8

7.（2024秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)

經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量W與時(shí)間f的關(guān)系如圖所示.下列敘述中

正確的是（）

A.在［0,可這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0

B.在上1，句這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率

C.甲水庫(kù)在f2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在口時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率

D.乙水庫(kù)在ti時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率

8.（2024秋?遼寧期末）已知公差不為零的等差數(shù)列｛板｝滿足03+47=49+2,且42,44,成等比數(shù)

歹U,則$2025=（）

A.2026X2025B.2026X2024C.2025X2025D.2024X2025

多選題（共3小題）

（多選）9.（2024秋?平和縣校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)/（X）=（x-a）2（x-2）（aER）,則（）

A.當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,-2）對(duì)稱

B.當(dāng)。=0時(shí)，方程/（X）+sinl=0有3個(gè)實(shí)根

C.當(dāng)aN2時(shí)，。是尤）的極大值點(diǎn)

D.存在實(shí)數(shù)a,f（x）<f（x+1）恒成立

（多選）10.（2024秋?金鳳區(qū)校級(jí)期末）以下命題正確的有（）

A.若等差數(shù)列｛而｝滿足m=8,<24=-1,貝U|ai|+|a2|+…+隧|=32

B.己知等差數(shù)列｛久｝的前"項(xiàng)和為S,若Si5>0,Si6<0,則使得S取得最大值的正整數(shù)〃的值

為8

1

C.若數(shù)列｛劭｝滿足41=2,a九+1=1_/，則〃2025=-1

12

D.已知T九為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)積，若一+—=1,則數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和%=層+2九

anTn

（多選）11.（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽(yáng)光照射的關(guān)系近似為7（。=摧+15,其中T

⑺為蜥蜴的體溫（單位：。C）,/為太陽(yáng)落山后的時(shí)間（單位：根加）.則（）

A.從r=0至卜=5,蜥蜴體溫下降了12℃

B.從f=0至1=5,蜥蜴體溫的平均變化率為-2.4℃/加"

C.當(dāng)f=5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率是-1.2℃加譏

D.蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-rC/min時(shí)的時(shí)刻t=（2V15-5）min

三.填空題（共3小題）

12.（2024秋?宿遷校級(jí)期末）已知函數(shù)/（%）=濟(jì)（2尤+1）,則/（1）=.

13.（2008春?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知等比數(shù)列｛板｝及等差數(shù)列｛加｝,其中61=0,公差dWO.將這

兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，得一新數(shù)列1,1,2,…，則這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和為.

q1

14.（2024秋?西城區(qū)期末）已知無(wú)窮數(shù)列｛斯｝滿足廝+1=亍-丁O=1,2,3,…）.給出下列四個(gè)

乙a九

結(jié)論：

①存在ai,使得集合｛九|&1<0,neN*｝中有無(wú)窮多個(gè)元素；

②存在ai,使得集合｛短廝交，〃CN*｝中有有限個(gè)元素；

③對(duì)于任意的m,集合｛?i|anV0,rieN*｝中至多有一個(gè)元素；

④當(dāng)ai=l時(shí)，集合｛短%1Van+i<2,nGN*｝=N*.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

四.解答題（共5小題）

15.（2020春?西寧期末）已知函數(shù)/（x）—xlnx.

（1）求/（x）的最小值;

(2)若對(duì)所有都有/(x)》辦-1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

1

16.(2023秋?單縣校級(jí)期末)已知函數(shù)/(乂)=a/nx—x+1(aeR).

(1)是否存在實(shí)數(shù)。，使得x=l為函數(shù)/(無(wú))的極小值點(diǎn).若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(2)若/(x)圖象上總存在關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的取值范圍.

17.(2024秋?隨州期末)記數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)和為品，對(duì)任意正整數(shù)”，有2s產(chǎn)〃an,且碓=3.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

mm

(2)對(duì)所有正整數(shù)m,若ak<2<ak+i,則在四和以+1兩項(xiàng)中插入2,由此得到一個(gè)新數(shù)列｛加｝,

求｛加｝的前40項(xiàng)和.

18.(2024秋?項(xiàng)城市期末)已知函數(shù)了(無(wú))=，，點(diǎn)％(an,%)(neN*)均為曲線y=/(無(wú))圖象上

的點(diǎn)，且SzWO,。"+1+々〃=6〃+3,

(1)當(dāng)aiW3時(shí)，證明：｛a”-3”｝是等比數(shù)列；

(2)求加的取值范圍；

(3)證明：直線PnPn+l的斜率隨"的增大而增大.

19.(2024秋?西湖區(qū)校級(jí)期末)已知數(shù)列｛〃〃｝輛足，且。1=1,。2=3,〃“+2=3即+1-2〃〃，設(shè)。〃=斯+1

-an.

(1)求證：數(shù)列｛尻｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記”=.1慌1―4，數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若不等式2(2"+】-1)”<2+成對(duì)任

意吒N*恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

期末真題重組練習(xí)卷-2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教版（2019）選擇性必

修第二冊(cè)

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

題號(hào)12345678

答案AADBCCDA

多選題（共3小題）

題號(hào)91011

答案ABDBDABC

選擇題（共8小題）

1.（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）曲線/（x）=/+歷（/1）在點(diǎn)（0,戶0））處的切線方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x-3C.y=x+2D.y=x-2

【解答】解：因?yàn)?（x）=e^+ln（x+1）,所以/（x）=ex+^,

所以7（0）=1,f'（0）=2,

所以所求切線方程為y=2尤+1.

故選：A.

2.（2024秋?廣東校級(jí)期末）已知a,b,c&R,則“a,b,c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“a=b

=c”的（）

A.充分且不必要條件

B.必要且不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：由a,b,cGR,且a,b,c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，得a=b=c；

反之，由a,b,cGR,且。=b=c,可得a,b,c成等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，

如a=b=c=Q.

故"a,6,c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“a=6=c”的充分不必要條件.

故選：A.

3.(2024秋?湖南期末)已知過(guò)點(diǎn)A(a,0)可以作曲線y=(x-1)/的兩條切線，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.(1,+8)B.(-8,-e)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-3)U(1,+8)

【解答】解:設(shè)切點(diǎn)為(曲,(久o—l)e3),

\"y'=ex+(x-1),=無(wú),，

切線的斜率k=比1。，

xx

切線方程是y-(x0-l)e°=xoe°(x-x0),

:切線過(guò)點(diǎn)A(a,0),

xx

；.一(久o—l)e°=xoe°(a—x0),即xj—(a+l)x0+1=0,

?..過(guò)點(diǎn)A(a,0)可以作兩條切線，

...方程/-(a+1)%0+1=0有兩個(gè)不同的根,

A=(a+1)2-4>0,

解得a>\或a<~3.

故選：D.

4.(2023秋?包河區(qū)校級(jí)期末)已知Sa為等差數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和，。4+2°9+420=24,則S20=()

A.60B.120C.180D.240

【解答】解：解法一、設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為“1,公差為d,

貝!J<74+2。9+。20=(ai+3d)+2(ai+8d)+(ai+19d)=4m+38d=24,

所以2ai+l9d=12,

1

所以S20=20ai+2X20X19d=10(2ai+19d)=10X12=120.

解法二、因?yàn)閿?shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，所以a4+2°9+a20=2ai2+2a9=24,

所以412+49=12,

所以S20==10(%+a2。)=10(a12+a9)=120.

故選：B.

5.(2024春?青岡縣校級(jí)期末)若函數(shù)/(x)=/-依在區(qū)間(0,2)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.(0,B.(1,y)C.(1,e2)D.(0,1)

【解答】解：f(x)=厘-奴在區(qū)間(0,2)上有極值點(diǎn)，即/(x)=/-〃=0在區(qū)間(0,2)

上有解，

即/(x)=y-4在區(qū)間(0,2)上單調(diào)，且在區(qū)間(0,2)上有解，

所以7(0)X/(2)<0,

即(1-a)(2-a)<0,即(〃-1)(a-e2)<0,

所以aE.(1,■).

故選：C.

(3an+1/Gn為奇數(shù),

6.(2024秋?龍崗區(qū)期末)數(shù)列｛斯｝滿足m=5,an+i=\an工/田"則〃4=()

干，。八為偶數(shù),

A.1B.2C.4D.8

3a+La為奇數(shù)

【解答】解:由nn

<21=5,學(xué)，為偶數(shù)’

得。2=3X5+1=16,。3=三=8,44=2=生

故選：C.

7.（2024秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)

經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量W與時(shí)間f的關(guān)系如圖所示.下列敘述中

正確的是（）

A.在［0,⑶這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0

B.在出，切這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率

C.甲水庫(kù)在Z2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率

D.乙水庫(kù)在tl時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在/2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,在［0,⑶這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)的蓄水量減少，其平均變化率均小于0,A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,在Z，⑵這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于0,乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率大

于0,

則在田，勿這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,甲水庫(kù)在及時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于0,而乙水庫(kù)在/2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大

于0,

則甲水庫(kù)在n時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，乙水庫(kù)在fi時(shí)刻切線的斜率大于乙水庫(kù)在f2時(shí)刻切線的斜率，即乙水庫(kù)在ri時(shí)刻蓄水量

的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在Z2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，D正確.

故選：D.

8.(2024秋?遼寧期末)已知公差不為零的等差數(shù)列｛而｝滿足。3+。7=。9+2,且42,。4,128成等比數(shù)

歹U，則$2025=()

A.2026X2025B.2026X2024C.2025X2025D.2024X2025

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,由。3+。7=。9+2,且42,。4,。8成等比數(shù)歹U,

,日+8d=%+8d+2

討+3d產(chǎn)=+d)Qi+7d)解得ai=d=2.

2025x2024

???32025=2025X2+X2=2026X2025.

2

故選：A.

二.多選題(共3小題)

(多選)9.(2024秋?平和縣校級(jí)期末)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)2(x-2)(aER),則()

A.當(dāng)。=-1時(shí)，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-2)對(duì)稱

B.當(dāng)。=0時(shí)，方程/(x)+sinl=0有3個(gè)實(shí)根

C.當(dāng)時(shí)，a是/(x)的極大值點(diǎn)

D.存在實(shí)數(shù)a,f(x)<f(x+1)恒成立

【解答】解：當(dāng)a--1時(shí)，/(x)=(x+1)2(%-2)=x3-3x-2,則/(x)+2=x3-3x為奇函

數(shù)，

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-2)對(duì)稱，故A正確；

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x3-2X2,則/(x)=3J?-4x,

易得函數(shù)/⑴在(-8,0)上單調(diào)遞增，(0,｝上單調(diào)遞減，+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)極大值=/(0)—0,f(x)極小值=-一||，

又因?yàn)?<sinl<l,所以方程/(x)+sinl=O有3個(gè)實(shí)根，故8正確;

/'(%)=3(%—ct)(x2~

當(dāng)。=2時(shí)，f(x)=3(x-2)2》0,

此時(shí)函數(shù)/G)在R上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)/(x)</(x+l)恒成立，故。正確.

故選：ABD.

(多選)10.(2024秋?金鳳區(qū)校級(jí)期末)以下命題正確的有()

A.若等差數(shù)列｛而｝滿足41=8,04=-1,則|“1|+履|+…+嗣=32

B.已知等差數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和為若Si5>0,Si6<0,則使得必取得最大值的正整數(shù)〃的值

為8

1

C.若數(shù)列｛斯｝滿足。1=2,an+1=-z——,則。2025=-1

J.一Q幾

12

D.已知為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)積，若一+—=1,則數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和S九二層+2九

a

nTn

【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)椋！ǎ秊榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d,由ai=8,伙=-1,可得8+3d=-l,

可得d=-3,則斯=8-3(/I-1)=-3/1+11.

則|。1|+|。2|+…+隧|=8+5+2+1+4+7+10+13=50,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,等差數(shù)列｛麗｝的前〃項(xiàng)和為S”,Si5>0,Si6<0,

所以Sis=-15a8>0，即。8>0,

S16=16(歲>6)=16(a*9)〈0,即a8+a9<Q,故°9c0,

所以S8是S的最大項(xiàng)，即使得S取得最大值的正整數(shù)〃的值為8,故2正確；

1

f

對(duì)于C,若數(shù)列｛斯｝滿足“1=2,an+1=T--

j.一a九

1111

可得m=2,a2=^—^-=-1,且通a4=^—^-=2,■)

則此數(shù)列有周期性，故｛久｝是周期為3的數(shù)列，即即+3=。”,

1

則。2025=。3=2，故C錯(cuò)誤；

12

對(duì)于。，已知G為數(shù)列｛麗｝的前〃項(xiàng)積，一+—=1,

anTn

當(dāng)"三2時(shí)，%,=/：，于是生1+2=1，即T聯(lián)1=2,

T

n-1TnTn

,12,

當(dāng)〃=1時(shí)，。1=八，即一+—=1,解得T1=3,

TiTi

數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛T"｝的前n項(xiàng)和匕=3n+n（7）?2=n2+2n,故。正確.

故選：BD.

（多選）11.（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽(yáng)光照射的關(guān)系近似為T(mén)（t）=撥+15,其中7

（力為蜥蜴的體溫（單位：。C）,/為太陽(yáng)落山后的時(shí)間（單位：力加）.則（）

A.從f=0至1=5,蜥蜴體溫下降了12℃

B.從f=0至卜=5,蜥蜴體溫的平均變化率為-2.4℃/加"

C.當(dāng)f=5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率是-1.2℃/加"

D.蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-VCImin時(shí)的時(shí)刻t=（2V15-5）min

【解答】解：根據(jù)題意，7（t）=摧+15,其導(dǎo)數(shù)7?）=；篝，

依次分析選項(xiàng)：

12n170

對(duì)于A,當(dāng)/=0時(shí)，7（0）=詈+15=39,當(dāng)/=5時(shí)，7（5）=愕+15=27,

所以從/=0至！h=5,蜥蜴的體溫下降了39-27=12,故A正確；

對(duì)于B,從t=0至h=5,蜥蜴體溫的平均變化率為=烏?=-2.4,故B正確；

120

對(duì)于C,『（。=二^^，當(dāng)t=5時(shí)，r（5）="2=-1.2,所以當(dāng)f=5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變

?+5相（5+5相

化率為-T.2℃/min,故C正確；

對(duì)于。，令〃?)=二空=—3,解得t=2VIU-5,故。錯(cuò)誤.

(1+5)2

故選：ABC.

三.填空題(共3小題)

2

12.(2024秋?宿遷校級(jí)期末)已知函數(shù)/(%)=ln(2x+l),則/(1).

【解答】解：???/(%)=ln(2x+l),

2

"⑴=/

故答案為：|.

13.(2008春?寶山區(qū)校級(jí)期末)已知等比數(shù)列｛即｝及等差數(shù)列｛瓦｝,其中加=0,公差dWO.將這

兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，得一新數(shù)列1,1,2,則這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和為978.

2

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛礪｝的公比為q,則由題意可得。1+0=1,aiq+d=1,arq+2d=2.

解得“1=1,q=2,d=-1.

故有劭=2"IZ??=0+(n-1)(-1)=1-n.

n1

故新數(shù)列的通項(xiàng)為Cn=an+bn=2~+\-n.

故這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和等于等比數(shù)列的前10項(xiàng)和加上等差數(shù)列的前10項(xiàng)和，

故答案為978.

C1

14.(2024秋?西城區(qū)期末)已知無(wú)窮數(shù)列｛。四滿足刈+1=--k(n=1,2,3,…).給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①存在制，使得集合｛用心VO,neN*｝中有無(wú)窮多個(gè)元素;

②存在m,使得集合｛幾1的1V2,nEN*｝中有有限個(gè)元素;

③對(duì)于任意的41,集合｛九|a九V0,九EN*｝中至多有一個(gè)元素；

④當(dāng)m=l時(shí)，集合｛n|a71Vq九+1V2,nCN*｝=N*.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.

【解答】解：對(duì)于①，假設(shè)存在m,使得集合｛九|%1V0,nCN*｝中有無(wú)窮多個(gè)元素，

當(dāng)時(shí)，Cln+l=5----＞5"，所以〃〃+2=5------，

Za八/Z〃幾+1

K17

因?yàn)檑克?＜----V],

/an+l3

；匚[、151、5221

所以即+2=2—盛匚＞2—耳=而＞2,

這表明，當(dāng)劭＜0時(shí)，后面的項(xiàng)不可能再無(wú)限次地小于0,故①不正確；

對(duì)于②，假設(shè)存在。1，使得集合｛九|%1v2,riEN*｝中有有限個(gè)元素，

q111

由Cbn+\=5----，當(dāng)〃〃＞2時(shí)，0V--＜5，

乙ctfi乙

51、51c

an+l=n----一o=2.

2an22

若。1＞2,則數(shù)列｛斯｝從第二項(xiàng)起都大于2,即集合1V2,九EN*｝中只有有限個(gè)元素，故②正

確；

C1c

對(duì)于③，假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，或＜0,則以+1=亍—丁

51qi7

所以ak+2=因?yàn)樗浴悖见?？＜虧?/p>

2ak+l

q1q991

所以ak+2=5----<5—F=T7T<^2,

乙/3J.U

所以對(duì)于任意的“1,集合｛九|。71V0,九eN*｝中至多有一個(gè)元素,

故③正確；

對(duì)于④,當(dāng)。1=1時(shí)，a2=|—1=43=115643

=_^4=___=_

于是可猜想得出an<an+l<2恒成立.

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

3

當(dāng)〃=1時(shí)，"1=1,42=2，1=41V。2V2滿足上式;

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，或〈以+1V2成立,

5151、11

貝Iak+2-ak+1(--——)———)二----------%+!.一秋〉0,

2Q/c+i2akak+lakak+l

所以ak+2>ak+\-

q1

又因?yàn)橐?2=5-V2，所以當(dāng)〃=無(wú)+1時(shí)也成立.

/ak+l

故當(dāng)〃1=1時(shí)，集合{九|%1Vq九+iV2,nEN*}=N*.故④正確.

故答案為：②③④.

四.解答題(共5小題)

15.(2020春?西寧期末)已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求/(x)的最小值；

(2)若對(duì)所有都有了(X)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)的定義域(0,+8),

1

f'(無(wú))=/nx+l,令f'(x)>0得尤>看此時(shí)/(%)遞增，

令/(x)<0得OVxv］此時(shí)“無(wú))遞減,f(x)最小值為-，

11

(2)由題意得婷令g(x)=/“x+婷

11丫―1

當(dāng)時(shí)，g'(x)=----n=^-20，

xXzxz

所以g(x)遞增，g(X)的最小值為g(1)=1,

所以

1

16.（2023秋?單縣校級(jí)期末）已知函數(shù)/Q）=由點(diǎn)比一比+I（aeR）.

（1）是否存在實(shí)數(shù)。，使得x=l為函數(shù)/（無(wú)）的極小值點(diǎn).若存在，求。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

（2）若/（x）圖象上總存在關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解答】解：（1）由題意可得函數(shù)/（無(wú)）的定義域?yàn)椋?,+8）,

〃/、a,1—x2+ax—l

f（無(wú)—以,

若x=l為函數(shù)/G）的極值點(diǎn)，則/（1）=0,

所以-1+a-1=0,即a=2,

此時(shí)/（X）=產(chǎn)T=/1）2wo,

所以函數(shù)了（無(wú)）在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以X=1不是函數(shù)/（無(wú)）的極值點(diǎn)，

所以不存在。滿足條件.

（2）若/（x）圖象上總存在關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱的兩點(diǎn)，則/（x）（2-x）=0在（0,1）上

有解，

11

所以3心-升泉+3〃（2-x）-（2-％）+吉］=0在（0,1）上有解，

該方程化簡(jiǎn)得（2x-x2）+%22=0,

2x—x￡

n

令t=2x-（0,1）,得2=0,

所以問(wèn)題等價(jià)于〃/加+生-2=0在（0,1）上有解，

2

令h（/）=alm+1—2,怎（0,1）,

當(dāng)時(shí)，h（力在（0,1）上單調(diào)遞減,

又/z(1)=0,

所以。（/）在（0,1）上無(wú)零點(diǎn)，不成立,

22

當(dāng)。>2時(shí)，h（力在（0,一）上單調(diào)遞減，在（一，1）上單調(diào)遞增，且〃（1）=0,

CLCL

2

所以有人（-）<0,

a

1

h(陽(yáng)）=aln—+2〃2-2=a（a-2Ina）+a?-2,

9Y—7

令〃(x)-llnx,則〃'(x)=1——=-----，

xx

當(dāng)x>2時(shí)，u'(x)>0,u(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增,

又u(2)=2-2ln2=2(1-Zn2)>0,

所以當(dāng)x>2時(shí)，u(x)>0,

所以〃-2lna>0,

又。2一2>0,

1

所以/?（―）>0,

22

所以/?G）在（0,-）上有一個(gè)零點(diǎn)，在（一，1）上沒(méi)有零點(diǎn)，

aa

綜上所述，當(dāng)a>2時(shí)，f（x）圖象上總存在一對(duì)關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱的兩點(diǎn),

所以。的取值范圍為（2,+8）.

17.（2024秋?隨州期末）記數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為對(duì)任意正整數(shù)小有2%=〃。"，且及=3.

（1）求數(shù)列｛金｝的通項(xiàng)公式；

m

（2）對(duì)所有正整數(shù)m,若ak<2<ak+i,則在延和ak+1兩項(xiàng)中插入2%由此得到一個(gè)新數(shù)列｛方｝,

求｛加｝的前40項(xiàng)和.

【解答】解：（1）對(duì)任意正整數(shù)%有2S"=w"，且42=3,

可得”=1時(shí)，2ai=2Si=ai,解得。1=0；

幾=2時(shí)，2s2=2(〃i+〃2)=2〃2,解得。1=0;

〃=3時(shí)，2s3=2(41+42+43)=3。3,解得43=6.

當(dāng)〃22時(shí)，由2Sn=ncin,可得2s〃-1=(〃-1)Cln-1,

兩式相減可得2〃“=2(Sn-Sn-1)=ncin~(H-l)Cln-If

化為(〃-2)an=(n-1)an-

幾=2時(shí)，上式顯然成立；

,an-1

時(shí)，---n-=----，

Q■九一171—2.

上式對(duì)w=l,w=2也成立，

所以即=3(?-1),M￡N*；

(2)由服<2",<或+1,即為3(k-1)<2m<3k,

可得數(shù)列｛仇｝中有34項(xiàng)為｛劭｝中的前34項(xiàng),其中的6項(xiàng)為2,4,8,16,32,64,

所以｛加｝的前40項(xiàng)和為T(mén)X34X(0+99)+4三3=1683+126=1809.

18.(2024秋?項(xiàng)城市期末)已知函數(shù)/(無(wú))="，點(diǎn)B(an,%)(>eN*)均為曲線y=/(無(wú))圖象上

的點(diǎn)，且。Q〃+I+Q〃=6〃+3,

(1)當(dāng)“1W3時(shí)，證明：｛斯-3〃｝是等比數(shù)列；

(2)求加的取值范圍；

(3)證明：直線尸點(diǎn)的斜率隨幾的增大而增大.

【解答】(1)證明：由即+1+即=6〃+3,得。〃+1-3(九+1)=-(an~3n)?

又〃1W3,故m-3W0,

則知+「36+1)=

an-3n

則｛斯-3〃｝是以ai-3為首項(xiàng),-1為公比的等比數(shù)列.

(2)解：由即+1+即=6〃+3,得即+2+即+1=6〃+9,貝!]an+2-斫=6,

故｛0231｝與｛a2c(keN*)分別是以m與及為首項(xiàng)的等差數(shù)列.

代入〃=1,2,有〃2+。1=9,硝+。2=15,

貝！J。2='9-43=6+。1.

an+l>an等價(jià)于〃2女+1>〃2女對(duì)于任意任N*成立,

,39

則〃3＞。2＞。1,即6+"1＞9-解得的6(2，2)?

39

因?yàn)辄c(diǎn)2(即，bn)(nEN*)均為y=/(x)圖象上的點(diǎn)，且/(%)=^,則瓦=e。】￡(e2,e2).

(3)證明：直線PnPnl的斜率kn=刎二，=

+。幾+1-Q幾an+l~an