2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬（一）

數(shù)學(xué)試題

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題58分）

單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z=」一（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）

2.某校高三年級共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校采用

按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為"的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則

n=（）

3.設(shè)a,，,7是互不重合的平面，加，〃是互不重合的直線，給出下面四個說法：

①若a171/3工7，則

②若加_La,mL/3,則a//￡；

③若加//a,nYa,則相〃〃；

④若aV/3,a[}f3=m,nlm,則“_L月.

其中所有錯誤說法的序號是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

4.已知詞=i,W=亞￡與B的夾角為平，則W在B上的投影向量為（）

5.經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為a，X2,X",且數(shù)據(jù)4，/，…，尤”的平均數(shù)

為元，方差為S2,則下列說法正確的是（）

A.若S2=0,則所有的數(shù)據(jù)％（i=L2,…都為0

B.若元=3,則％=2%+甲=1,2,…⑷的平均數(shù)為6

第1頁共6頁

C.若$2=3,則y,=2%+l（i=l,2,…,w）的方差為12

D.若該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為90,則可以估計總體中至少有75%的數(shù)據(jù)不大于90

6.如圖，在正四棱錐尸中，PA=AB=2,E為棱48的中點(diǎn)，則直線尸E與平面尸AC

所成角的正弦值（）

?\~）?

63

7.如圖，在AABC中，ZBAC=|,AD=2DB,P為CD上一點(diǎn)，且滿足而=如a+3而，

若“BC的面積為5則網(wǎng)的最小，值是（）

C."D."

22

8.在正三棱錐P-ABC中，PA=3,A=B3人，如圖，首先將一半球水平放置于三棱錐

P-ABC內(nèi)部，其球心與△ABC的中心重合，隨后將另一小球放置于該半球正上方，使得該

小球與正三棱錐尸-ABC的三個側(cè)面均相切，則半球球面面積（不包括底面積）和小球表面

積之和最小時，小球的半徑為（

V2n君

多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=/_i+（a+i）i,aeR,則下列結(jié)論正確的是（）

第2頁共6頁

A.若z為純虛數(shù)，則。=±1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則ae（-s,-l）

C.若。=0,則三一一

D.若a=。，則|z|=J^

10.一個正四面體形的骰子，四個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,先后拋擲兩次，每次取著地

的數(shù)字.甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)

字是2"，丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”,丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)

字之和是6"，則下列說法正確的是（）

3

B.乙發(fā)生的概率為三

16

C.甲與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

11.如圖，在正四棱臺ABCD-A4G2中，==2&44|=C，則下列說法正確的

是（）

B.二面角C]-B/5-C的大小為60°

C.若點(diǎn)P在四邊形ABC。內(nèi)，"二叵,則動點(diǎn)P的軌跡長度是令

"28

D.若點(diǎn)M在口BOG內(nèi)部（含邊界），則MA+MA的最小值為4

第n卷（選擇題92分）

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某圓錐的側(cè)面積為4血兀，母線長為4,則該圓錐的高為

第3頁共6頁

3

13.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為w，

2

乙獲勝的概率為二，各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽的概率為

14.在△ABC中，內(nèi)角的對邊分別為a,6,c,且(OcosC+ccos3)sin3=6bcosA，

則4=；若c=2,6=UA3C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)p滿足Q2=ZR而，則

PA+PC2的最小值為.

四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知平面向量扇瓦3=(1,6),忖=1,且G與B的夾角為:

⑴求卜+2可；

⑵若G+與2,-43的夾角.

16.為了解中學(xué)生的體育鍛煉情況，調(diào)查小組在某中學(xué)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計了他們

某一周的綜合體育活動時間(單位：時),并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]將樣本

數(shù)據(jù)分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距本

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

024681012

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計該校學(xué)生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)；

(2)利用頻率估計概率，若從該校隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，且兩名學(xué)生的體育活動情況互不

影響，求這兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率.

第4頁共6頁

17.如圖，在三棱柱ABC—AqG中，側(cè)棱AM，底面ABC,AB1BC,。為AC的中

點(diǎn)，AA^=AB=BC=2.

5C

(1)求證：Ag〃平面5CQ

(2)求證：8。1平面A41G。

(3)求直線2G與平面A&G。所成角的大小.

18.如圖，ZSABC內(nèi)角4,瓦。的對邊分別為a,b,c,。為邊5c上一點(diǎn)，且ADLAC,

NACB=NBAD.

A

BDC

(1)已知sin/ACB=Y^.

5

CD

(i)求——的值；

BD

(ii)若BD=E求△ABC的面積；

b2+c2

(2)求一廠的最小值.

a

第5頁共6頁

19.唐代詩人溫庭基的《新添聲楊柳枝詞二首》中寫道“玲瓏骰子安紅豆，入骨相思知不知”,

表達(dá)了詩人的相思之情.為迎接七夕，某超市購進(jìn)了一批“玲瓏骰子”（如圖所示）：棱長為

1的水晶正八面體（八個面都是全等的正三角形），中間的球體部分是被挖空的（表面不被

破壞），并嵌入了紅豆.

（1）當(dāng)給紅豆留出最大空間時，求骰子中間被挖空的球體的表面積.

（2）超市推出一項(xiàng)活動，在“玲瓏骰子”的所有頂點(diǎn)中每次隨機(jī)抽取三個不同的頂點(diǎn)，

能構(gòu)成等邊三角形即可獲得“花好”卡片，能構(gòu)成直角三角形即可獲得“月圓”卡片.甲乙兩人

每人抽取一次（抽取結(jié)果互不影響），求兩人所獲得的卡片能湊成“花好月圓”的概率.

（3）若點(diǎn)尸為（1）中球面上的任一點(diǎn)，設(shè)NPAB=%,NPAD=%，二面角B-AP-D

的平面角為。，求證：tan仇?tan%-cos。為定值.

第6頁共6頁

2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬（一）

數(shù)學(xué)試題（答案）

選擇題

題號1234567891011

答案ACCDCBDABCDACAB

單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)z=—(i為虛數(shù)單位)，貝U|z|=()

1-i

A.也B.1

D.2

22

i<l+i)-1+i11.

【解析】A依題意,-------1--i,

(l-i)(l+i)222

所以|z|=

2.某校高三年級共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校采用

按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為"的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則

n=（）

A.20B.30C.40D.48

【解析】c根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，樣本中男生人數(shù)為：“義二2=衛(wèi)，

20005

樣本中女生人數(shù)為：

20005

由題意，所以彳-彳=8,

所以”=40.

3.設(shè)7是互不重合的平面，山，”是互不重合的直線，給出下面四個說法:

①若?1/,/3工/,則a_L￡；

②若加J_a,mL/3,則tz//月；

③若加//a,n±a,則加〃“；

④若aL/3,a^/3-m,n1m,則〃_L，.

第1頁共17頁

其中所有錯誤說法的序號是（）

A.①③B.①?C.①③④D.②③?

【解析】C①若a，/,PLy,則a//月或％尸相交，故錯誤；

②若加_La,mlj3,則可得a//￡,故正確；

③若加//a,nLa,則〃z_L",故錯誤；

④若aC\j3=m,n1m,當(dāng)〃ua時，〃_!_，，故錯誤.

4.已知園=1,W=亞￡與B的夾角為g，則W在B上的投影向量為（）

A.--B.—走C.--bD.--b

2222

【解析】D依題意a?B=W?Wcos（a,B）=lx&xcos曰=-l,

a?b—1一

所以Z在B上的投影向量為可力=一不匕.

\b\

5.經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為a，x2,...,X",且數(shù)據(jù)毛，/，…，》”的平均數(shù)

為元，方差為S2,則下列說法正確的是（）

A.若S2=0,則所有的數(shù)據(jù)=（i=L2,…都為0

B.若元=3,則-=2玉+1[=1,2,的平均數(shù)為6

C.若$2=3,則-=2%+1、=1,2,…㈤的方差為12

D.若該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為90,則可以估計總體中至少有75%的數(shù)據(jù)不大于90

【解析】C對于A,數(shù)據(jù)為，“，…，尤”的方差$2=。時，說明所有的數(shù)據(jù)毛，/，…，斗

都相等，

但不一定為0,故選項(xiàng)A錯誤；

對于B,數(shù)據(jù)毛，/，…，%的平均數(shù)元=3,

數(shù)據(jù)％=2x,+1（，=1,2,…的平均數(shù)為2x3+1=7,故選項(xiàng)B錯誤；

對于C,數(shù)據(jù)七，％....x”的方差為S2=3,

第2頁共17頁

數(shù)據(jù)y=2x,+1（i=1,2,…川的方差為22x3=12,故選項(xiàng)C正確；

對于D,數(shù)據(jù)4，尤2,…，x”的25%分位數(shù)為90,則可以估計總體中有至少有75%的

數(shù)據(jù)大于或等于90,故選項(xiàng)D錯誤.

6.如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，PA=AB=2,E為棱AB的中點(diǎn)，則直線尸E與平面尸AC

所成角的正弦值（）

如圖，在正四棱錐P-A8CD中，連接AC交8。于點(diǎn)O,連接P。，則POL平面ABC。,

過點(diǎn)E作E”，AC于點(diǎn)連接P",因E//u平面A2CD,則E"，尸。，

因尸0nAe=O,尸O,ACu平面尸AC,故EH_L平面PAC,

故ZEPH為直線PE與平面PAC所成角.

因PA=A8=2,E為棱A8的中點(diǎn)，

%EP=@^AB=M,EH=LBD=&X2=&,

2442

也

故sinNEPH=四=孑

EP也6

7.如圖，在AABC中，ZBAC=-,AD=2DB,P為CD上一點(diǎn),且滿足Q=〃?就+!荏，

32

若△ABC的面積為G，則|而|的最小值是（）

C

ADR

第3頁共17頁

D-T

【解析】D由*.c=gf^||Z^sin/BAC=6,可得|而=

所以ABUAC=|AB||AC|COSABAC=2.

―?2.

由AD=2DB可得AD=-AB.

因?yàn)椤笧镃O上一點(diǎn)，所以設(shè)麗=2反(0WXW1),

則Q==g荏+4覺=：而+/1(/一砌

——?2—?——?——??―?2―?

=AAC+-AB-AAD=AAC+-AB——AAB

333

=2/+(H).

—,―.1—?

因?yàn)?尸二mAC+2A3,

c1

九=mz=—

所以22,1,解得：，

------4=-1

1332m=-

（當(dāng)且僅當(dāng)＜即|AC|=2痣,|麗卜V2時等號成立）.

所以網(wǎng)的最小值是V6

2

8.在正三棱錐尸-ABC中，PA=3,AB=3g,如圖，首先將一半球水平放置于三棱錐

P-A3C內(nèi)部，其球心與AABC的中心重合,隨后將另一小球放置于該半球正上方，使得該

小球與正三棱錐尸-ABC的三個側(cè)面均相切,則半球球面面積（不包括底面積）和小球表面

積之和最小時，小球的半徑為（）

第4頁共17頁

叵

7D-T

如圖，設(shè)半球的球心為點(diǎn)Q,連接PQ,連接AQ并延長交BC于點(diǎn)D,

因另一小球在該半球正上方，且與正三棱錐尸-ABC的三個側(cè)面均相切，故其球心。在

線段PQ上，

連接尸。，則球。必與尸。相切，設(shè)切點(diǎn)為E,連接。￡.

設(shè)球。的半徑為『，半球a的半徑為不

因也AB=3x38=或，AOX=-AD=46,DOi=-AD=—,

22213132

股=加2一（府=5PD=]（6）2+亭=警,

372

OEP07rr~

易得△POE與相似，故有萬有=而，即得尸O==

~T

因尸0+00]=&r+r+q=尸。=6，BPz；=V3-V3r-r,

由題意，半球球面面積（不包括底面積）和小球表面積之和為：

2叫2+4兀產(chǎn)=2兀6+2-）=2jt[（V3-V3r-r）2+2r2]

=2或（6+2月）,-（6+2道）廠+3],

該二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為直線r=g,

故當(dāng)r=J時，2M2+4兀產(chǎn)取得最小值（3-5兀.

-.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

第5頁共17頁

9.已知復(fù)數(shù)z=a2-i+（a+i）i,aeR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則。=±1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則ae（-s,-l）

C.若。=0,則J1

D.若。=0,則|z|=J^

【解析】BCD若z為純虛數(shù)，則片_1=0且a+1/O,解得。=1,故A錯誤；

若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

貝1J/-1>0且a+1<0,

解得。<—1,即ae（—oo,-l）,故B正確；

右。=0,則z=-1+i,得z=—1—i,故C正確；

若。=0,則z=-l+i,得|z|=Jjiy+F=血,故D正確.

10.一個正四面體形的骰子，四個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,先后拋擲兩次，每次取著地

的數(shù)字.甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)

字是2"，丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)

字之和是6"，則下列說法正確的是（）

A.甲發(fā)生的概率為！3

B.乙發(fā)生的概率為二

16

C.甲與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【解析】AC設(shè)事件A表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，事件8表示事件“第二

次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，

事件C表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，事件D表示事件“兩次拋擲骰子所

得數(shù)字之和是6"，

續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的正四面體形的骰子兩次,

有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

第6頁共17頁

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,共16種等可能的不同結(jié)果,

第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1的情況有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,

41

甲發(fā)生的概率為：P（A）=—=-,故A正確；

第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2的情況有：（1,2）,（20,（3,2）,（4,2）,

41

乙發(fā)生的概率為：P（B）=-=-,故B錯誤；

兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5的情況有：（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,

41

丙發(fā)生的概率為：生）=n=“

兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6的情況有：（2,4）,（4,2）,（3,3）,丁發(fā)生的概率為:

P(D)=—,

''16

P(AC)=A，P(CD)=O,P(AC)=P(A)P(C)=^X1=±.

故事件甲與丙相互獨(dú)立，故C正確；

133

P(C)P(D)=-x—=—^O=P(CD),故D錯誤.

11.如圖，在正四棱臺A8CD-AMCB中，AB=2AB1=2V3，M=V6,則下列說法正確的

B.二面角2D-C的大小為60°

C.若點(diǎn)尸在四邊形ABC。內(nèi)，4尸=叵，則動點(diǎn)P的軌跡長度是令

"28

D.若點(diǎn)M在口2。弓內(nèi)部（含邊界），則MA+MA的最小值為4

【解析】AB如圖1,過點(diǎn)A作4H，AC,垂足為則四棱臺的高為A",

第7頁共17頁

因?yàn)锳C=AC=,所以=］視，所以AC=小AA^1—AH。=,A正確;

設(shè)。為四邊形ABC。對角線的交點(diǎn)，則。為8。中點(diǎn)，CO1BD.由G〃=GB，

知CQ±BD,所以二面角C「BD-C的平面角為NCQC,

y.CCl=AAi=ClO=46,CO=^AC=46,所以△C0C為正三角形，所以二面角

6-2。-。的大小為60。，故B正確;

故點(diǎn)尸的軌跡為以〃為圓心，以立為半徑的圓（在正方形ABCO內(nèi)，

2

易知點(diǎn)H到邊AB,的距離都為心），所以動點(diǎn)P的軌跡長度是27rx也=技，C

22

錯誤;

由圖1易得AC，A#cAC=A，4",ACu平面例GC,

故894平面A41GC,不妨設(shè)M落在圖2的AT（在G。外）處,

過作交CQ于A/1，則平面A41cle，跖Au平面A41GC,

故故在REAM|M'中，MXA<M,A（直角邊小于斜邊）；

同理，Mx\<M'\,所以A/14+MiA<M'A+M'A,

故動點(diǎn)M只有落在G。上，MA+MA才有可能取得最小值；

再看圖3,易知AG//。。,AG=oc—eq=oc{=V6,

△G。。和口。。4都為正三角形，A關(guān)于G。的對稱點(diǎn)為。，

可知MA+AMj=AM+MCZ4C=2幾,即M與。重合時，M4+加4有最小值2而，D

錯誤.

第8頁共17頁

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某圓錐的側(cè)面積為4s兀，母線長為4,則該圓錐的高為.

【解析】設(shè)底面半徑為廣，母線長為/,

因?yàn)閭?cè)面積5=4行兀，母線長/=4,

所以7crx4=4A/771＞解得廠=

圓錐的高h(yuǎn)=-\ll2—r2=J.—(VY)=J16-7=s/9=3-

3

13.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為g,

2

乙獲勝的概率為各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽的概率為.

【解析】由題得恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽，有兩種情況：

323354

(1)甲第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，此時《=—x—；

5555625

232224

(2)乙第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，止匕時《=—x—x—x—二---；

5555625

542478

所以恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽的概率為7^+^=--+.

625625625

14.在△ABC中，內(nèi)角A,5,C的對邊分別為〃也c,且ScosC+ccosB)sinB=J§Z?cosA,

則4=；若c=2*=l[ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)尸滿足而2=行.而，則

PA+PC2的最小值為.

【解析】因?yàn)?灰：0$。+比053)$1118=6灰：0574，由正弦定理得

(sinBcosC+sinCcosB)sinB=V3sinBcosA=sinAsinB,

又36(0,兀)，所以sinBwO,所以tanA=g，又Ae(0,兀)，所以A=]；

TTTT

因?yàn)閏=2/=1,易得。=一,5=7.

26

因?yàn)镼2=酢.而，所以Q?—而?麗=而?(4?—赤)=而?麗=()?

所以點(diǎn)尸在以A3為直徑的圓上，要使西2+定2取得最小值,則點(diǎn)尸在劣弧4C上(不

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同于A,C兩點(diǎn))，此時NCPA=一

6

在AE4c中，由余弦定理得AC?=P42+尸。2一2p4pccosNAPC，即

1=PA2+PC2+MPA-PC<PA2+PC2+A/3-0"十尸。,

2

所以出2+P。22__^=4—2石，當(dāng)且僅當(dāng)PA=pc=近二Y1時等號成立，所

2+V32

以麗2+定的最小值為4-2Ji

四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知平面向量a,B,G=(i,g)，W=i,且a與彼的夾角為方

⑴求口+2年

(2)若a2b2a-4b的夾角.

【解析】⑴由a=(1,G),41和a,B的夾角為

則同=2,。5=同Wcosg=2xlxg=l；

\a+2,=4\a+2b|2=次+4的+4廬=V4+4xl+4=2g；

(2)(a+2fe).(2a-4fe)=2a2-4^+4rffe-8p=2a2-8P

=2x4—8x1=0,

故(,+2到_1(2/_4彼)，

TT

所以a+2》與2G-4B的夾角為§.

16.為了解中學(xué)生的體育鍛煉情況，調(diào)查小組在某中學(xué)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計了他們

某一周的綜合體育活動時間(單位：時)，并按照02),⑵4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]將樣本

數(shù)據(jù)分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

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頻率/組距八

0.150;v…二一一廠一?：

0.125…+…+……+

0.100一:…...…

0.075——g…V

0.050.....................，——

0.025...............

024681012^/h

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計該校學(xué)生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)；

(2)利用頻率估計概率，若從該校隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，且兩名學(xué)生的體育活動情況互不

影響，求這兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率.

【解析】(1)第五組的頻率為1-2x(0.05+0.075+0.10+0.125+0.050)=0.2,

02

所以該組對應(yīng)的小矩形高度為與=0.100,故補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：

2

頻率/組距上

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

024681012^/h

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為％,平均數(shù)為工

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在［0,6)的頻率為2x(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5,

樣本數(shù)據(jù)在［0,8)的頻率為2x(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0.5,

貝!JX￡(6,8),所以0.45+0.125x(x—6)=0.5,解得x=6.4,

故估計樣本中位數(shù)為6.4.

x=1x0.1+3x0.15+5x0.2+7x0.25+9x0.2+11xO.l

=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2

故估計樣本平均數(shù)為6.2.

由樣本估計總體，該校學(xué)生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)分別為6.4和6.2.

(2)由頻率分布直方圖可估計該校學(xué)生每周綜合體育活動時間不低于8小時的頻率為

(0.1+0.05)x2=0.3.

記事件A="抽取的第1名學(xué)生每周綜合體育活動時間不低于8小時”，A="抽取的第

2名學(xué)生每周綜合體育活動時間不低于8小時”，由題意A，4相互獨(dú)立.

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利用頻率估計概率，尸(4)=p(4)=0.2+0.i=0.3.

記事件M="抽取的兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時”，

則P(M)=P(A&+A4+A4)=1_P(A4)=1-(1-0.3)X(1-0.3)=0.51.

所以抽取的兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率為0.51.

17.如圖，在三棱柱ABC—44G中，側(cè)棱Ad，底面ABC,ABLBC,。為AC的中

(2)求證：1平面A41G。

(3)求直線Bq與平面A&qC所成角的大小.

【解析】(1)連接gC交2cl于點(diǎn)。，連接?！?,

因?yàn)樗倪呅?CG用為正方形，所以。為4c的中點(diǎn).

因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，所以0D〃A3「

因?yàn)锳31U平面BQ。，0。＜=平面5。1。，所以AB]〃平面

(2)由題意可得A&_L平面ABC,又BDu平面ABC,

所以又。為AC的中點(diǎn)，AB=BC=2,所以AC工3D,

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因?yàn)锳AjLBD,AC1BD,A41cAe=A,明,ACu平面A41clC,

所以1平面A&CiC.

(3)由(2)知3。1平面A&G。，所以直線在平面A&G。的射影為。G，

所以NDC/即為所求的線面角，

在AABC中，AB=BC=2,ABLBC,。為AC的中點(diǎn)，

所以3D=LAC=LX2血=血，所以AC13D,

22

在直角三角形中，DC,=7GC2+CD2=J4+2=網(wǎng),

故在直角三角形中，tanNDC[B=^=9,

717r7T

又NDC^Be0,-,所以即直線3G與平面A&G。所成角為

266

18.如圖，ZSABC內(nèi)角A,3,C的對邊分別為公瓦。，。為邊3c上一點(diǎn)，且ADLAC,

ZACB=ZBAD.

(1)已知sinNAC8=4^

5

CD

(i)求——的值;

BD

(ii)若BD=5求△ABC的面積;

⑵求寧的最小值.

【解析】(1)(i)由題意得,

「八0—ADbsinZCAD.

sin3

CD=用ACO=2=b=5sinB,

2

BDSOABD-AD-CsinZBADcsmZACBsinZACB

2

因?yàn)锳DLAC,NACB=/BAD,

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所以cosZACB-

5

B=n-ZBAC-ZACB=n-\-+ZBAD\-ZACB=--2ZACB,

（2J2

所以sin3=sin1—2ZACB|=cos2ZACB=l-2sin2ZACB=|,

所以---=5sinB=3；

BD

（ii）由（i）得CD=3BD=3#,

在RtAACD中，AD=CDsinC=3,AC=VCD2-AD2=6,

所以SuAc?=gAD-AC=9,

VS|JAC￡）CD

所以=3,

^ABDBD

所以^ABC=8口ABO+^ACD=12；

b2+c2sin2B+sin2C

⑵由正弦定理得丁

sin2ABAC

7T7T

由（1）得8=^—2C,N34C=^+C,

22

故

"2=s-jj—2C〉sin2c=cos22C+sin2c=Qcos?C—1了+上32c

222

aS.i2n（j兀+「CjcosCcosC

令"cos2C，

因?yàn)?=四—2C〉0,所以0<C</，所以"cos?。JL1],

24UJ

則〃+。2_Reos??！?1—cos2c_4-+2-5/

a2cos2Ct

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當(dāng)且僅當(dāng)期=2,即r=時取等