§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

【考試要求】I.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義2掌握向量的加法、減法運(yùn)

算，并理解其幾何意義及向量共線的含義3了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

【知識(shí)梳理】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方面的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或模).

(2)零向量：長(zhǎng)度為的向量，記作。.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相圓的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；

加法三角形法則

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c')

a

平行四邊形法則

減法a-8=Q+(—b)

a

幾何意義

Ual=|z||?l,當(dāng)2>0時(shí)，加的方向與a

2(/ta)=；

的方向相同;

數(shù)乘(A+；

當(dāng)kO時(shí),癡的方向與a的方向相反;

2(a+b)

當(dāng)4=0時(shí)，Aa=O

3.向量共線定理

向量a(aWO)與》共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使b=%.

【常用結(jié)論】

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量，即年石+無(wú)石+用14H----H4”—14：=不就特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量

和為零向量.

2.若/為線段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則5>=氐而+協(xié)）.

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則說(shuō)+沌+死=00尸為△ABC的重心，AP=1（AB

+AQ.

4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b,都有||a|—|訓(xùn)W|a±B|W|a|+|Z>|.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）⑷與|例是否相等，與a,b的方向無(wú)關(guān).（V）

（2）若向量。與，同向,且間>依，則a>A（X）

（3）若向量施與向量無(wú)是共線向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.（X）

（4）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（J）

【教材改編題】

1.（多選）下列命題正確的是（）

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

C.若a,Z,都為非零向量，貝IJ使含+奈=0成立的條件是a與6反向共線

D.若a="b—c,貝!Ia=c

答案BCD

解析A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

C項(xiàng)，因?yàn)樗_尚都是單位向量，所以只有當(dāng)合與微是相反向量，即。與》是反向共線時(shí)才

成立，故C正確；

D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

2.下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）

A.eq+AC=BC

B.eq+MB+BO+OM^AM

C.eq+BC-AC=0

D.eq—AD—DC—BC

答案B

3.已知a與8是兩個(gè)不共線的向量，且向量a+油與一（Z>—3a）共線，貝U2=.

答案—;

解析由題意知存在上WR,

使得a-\-Xb=k[—(b—3a)],

A——k,

所以

A=3k,

題型一平面向量的基本概念

例1(1)(多選)下列說(shuō)法中正確的是()

A.單位向量都相等

B.任一向量與它的相反向量不相等

C.若⑷=|例，則。與占的長(zhǎng)度相等，與方向無(wú)關(guān)

D.若a與》是相反向量，則⑷=|加

答案CD

解析對(duì)于A,單位向量方向不同時(shí)并不相等，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,0的相反向量為0,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,⑷=|臼，則a與6的長(zhǎng)度相等，與方向無(wú)關(guān)，C正確;

對(duì)于D,相反向量是長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，D正確.

⑵(2023?福州模擬)如圖，在正△A8C中，D,E,尸均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和成湘

等的是()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析,：EF,FB,而與危方向不同，：.EF,FB,而與定均不相等;

?.?應(yīng))與危方向相同，長(zhǎng)度相等，：.ED=FC.

思維升華平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)非零向量的平行具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

(4)含是與a同方向的單位向量.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）下列命題中正確的是（）

A.向量成的長(zhǎng)度與向量函的長(zhǎng)度相等

B.向量。與6平行，則。與入的方向相同或相反

C.兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同

D.兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量

答案AC

解析對(duì)于A,向量Q與向量盛的長(zhǎng)度相等，方向相反，故A正確；

對(duì)于B,向量。與％平行，且?；蚍譃榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故C正確；

對(duì)于D,兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，不一定是共線向量，故D錯(cuò)誤.

（2）如圖所示，。是正六邊形ABC。所的中心，則與正相等的向量為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析A,B選項(xiàng)均與病方向不同，C選項(xiàng)與正長(zhǎng)度不相等，D選項(xiàng)與病方向相同，長(zhǎng)度相

等.

題型二平面向量的線性運(yùn)算

命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義

…,02023,12+…+?2023|

例2（2022?濟(jì)南模擬）已知單位向量ei，e2,則忸+。的最大值是

，最小值是.

答案20230

解析當(dāng)單位向量右，C2,…，C2023方向相同時(shí)，

|d+。2T023|取得最大值，

⑶+e2H&023I=|ei|+|改|HH?2023I

=2023；

當(dāng)單位向量ei,出，…，?2023首尾相連時(shí),

的+改+…+氏023=0,

所以?+e2T----卜C2023I的最小值為0.

命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

例3（2022?新高考全國(guó)I）在△ABC中，點(diǎn)。在邊A2上，BD=2ZM.記8=m，而=n,則

昌等于（）

A.3m-InB.-2m+3n

C.3m~\~2nD.2m~\~3n

答案B

解析因?yàn)锽O=2D4,所以蕊=3蠶），所以無(wú)=8+疝=8+3Zb=E+3（db—8）=

一2以+3無(wú)=-2機(jī)+3”.故選B.

命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

例4（2023-大連模擬）在△ABC中，AD=2DB,AE^2EC,P為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，若成=施

+〃AC,九〃GR,則力+〃等于（)

A.1B.eqC.eqD.2

答案B

解析如圖所示，由題意知，

靠=|'公,AD—^AB,

設(shè)5>=尤5k

所以崩=工5+m=蠶）+無(wú)方￡

AD+x(AE-AD)

=xAE+(.l~x)AD

|x4C+^(l—x)AB,

22

所以〃=］尤,A=2(l—x),

222

所以%+〃=§x+w(l—尤)=§.

思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略

（1）向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

（2）求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

跟蹤訓(xùn)練2（1）五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫(huà)成的星星圖形，有許多國(guó)家的國(guó)旗

設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國(guó)國(guó)旗.如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.eq+/D=OB.eq#FE

C.eq+FG=2HGD.eq—AB+AJ

答案D

解析A項(xiàng)，由圖可知CH與相交，所以由與而不是相反向量，故A錯(cuò)誤;

B項(xiàng)，油與方方共線，為與位不共線，所以贏與應(yīng)不共線，故B錯(cuò)誤;

C項(xiàng)，AF+FG=AG^2HG,故C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，連接8凡JF,由五角星的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,

根據(jù)平行四邊形法則可得病=崩+節(jié)，故D正確.

(2)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足麗+兩+麗'=2b，ZkABC的面積是N，的面

積是$2，貝1()

A.Si=4SzB.Si=3Sz

C.&=2&D.SI=52

答案B

解析V^+PB+PC=2AB=2(AP+PB),

：.3AP^BC,

...崩〃灰?并且方向一樣,

設(shè)AP與8C的距離為h,

1一1一

??《△.=2以尸卜瓦S^ABC=^BC\-h,

又??,|病|=3底>|,

**?SAPAB=^^ABC9SI=35*2.

(3)在△ABC中，尸是BC上一點(diǎn)，若麗=2無(wú)，AP=^.AB+i，iAC,則24+〃=

宏安—4

口木3

解析在△ABC中，BP=2PC,

則1^=贏+麗=蕊+,病=成+|(公一施尸拗十|忘

又疝=1+嬴，且花，病不共線，

1?4

則2=5，〃=§,所以22+4=].

題型三共線定理及其應(yīng)用

例5已知O,A,8是不共線的三點(diǎn)，S.OP=m6A+nOB(m,n￡R).

(1)若加+w=l,求證：A,P,8三點(diǎn)共線；

(2)若A,P,8三點(diǎn)共線，求證：機(jī)+"=1.

證明(1)若加+〃=1,則。＞=械*+(1—聞而，OP=[m+(l-m)]OP,

故mOP+(1—m)OP—mOA+(1—m)OB,

即m(dP-dA)=(l-/?j)(dB-OP),

m#=Q—m)港,即成，西共線，

又祚，曲有公共點(diǎn)P,

則A,P,B三點(diǎn)共線.

(2)若A,P,8三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)九使得崩=力說(shuō),

..7X—>—?—*■—0r—*■—*■—*—XOB~\~(9A/OBOA

變形得OP—OA=〃O8—OP),即(1+/1)02=/108+。4,OP=—:—=7—7+7—7.又加

1IX11XIrX

=mOA+nOB故m~\~n=l.

91+21+2

思維升華利用共線向量定理解題的策略

(1)?！瘛?勸SW0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).

(2)若a與b不共線且入a=曲,則2=〃=0.

(3)若以=入/+〃沆0〃為常數(shù))，貝B,。三點(diǎn)共線的充要條件是2+〃=1.

跟蹤訓(xùn)練3⑴若a,5是兩個(gè)不共線的向量，已知血=a—2b,而=2a+kb,PQ^3a-b,

若M,N,。三點(diǎn)共線，則左等于（）

A.11B.1C.eqD.2

答案B

解析由題意知，

NQ=PQ-m=a-（k+l）b,

因?yàn)镹,。三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)人

使得血=刀匝，

即a—2b=X[a—（%+1）加,

整理得（1一外。=[2—44+1）仍,

[1T=O,

因?yàn)橄蛄縜,8不共線,

[2—2（左+1）=0,

解得幺=1,k=l.

（2）如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足病=§贏,AM與CN交于點(diǎn)。，屐）=匈/,

則2等于（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案c

解析在△ABC中，因?yàn)辄c(diǎn)M是3C的中點(diǎn)，所以贏+亍就?,則而=/1/獲/=]矗+制2,

又俞=|?矗，于是得病=亨病+$2,

14

因?yàn)辄c(diǎn)C,D,N共線,則有4+1=1,解得4=亍

課時(shí)精練

《基礎(chǔ)保分練

1.化簡(jiǎn)2（4—3方）-3（a+力的結(jié)果為（）

A.a+4bB.—a-9b

C.2a~\~bD.a~3b

答案B

解析2（〃一35）-3（a+8）=2a—65一3〃-38=-a—9b.

2.（多選）下列命題中，正確的是（）

A.若〃〃A,b//c,貝Ua〃c

B.在△ABC中，AB+BC+CA=O

C.若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反

D.如果非零向量a,》的方向相同或相反，那么a+5的方向與a,6之一的方向一定相同

答案BC

解析對(duì)于A選項(xiàng)，0平行于任何向量，若5=0,滿足a〃方，b//c,但不一定滿足a〃c,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，首尾順次相接，正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反（大小相等，方向相反），

故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)a+5=0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤.

3.設(shè)a,6是平面內(nèi)兩個(gè)向量，"|a|=|a+臼”是臼=0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)a=一/時(shí)，|a+Z>|=-^b+b=如=|〃|,推不出|臼=0；

當(dāng)步|=0時(shí),b=0,則|a+例=|a+0|=|a|,

故“|a|=|a+臼”是“網(wǎng)=0”的必要不充分條件.

4.已知向量a和萬(wàn)不共線，向量油=a+機(jī)方，BC=5a+3b,CD=~3a+3b,若A,8,。

三點(diǎn)共線，則相等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案A

解析因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)九使得由）=屈，

BD=BC+CD=2a+6b,

所以2a-\~6b—Xa~\-mXb,

(2=A,

所以「1解得機(jī)=3.

[6=mA,

5.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，設(shè)油=a,AD=b,AC=c,則|a—Z?+c|等于()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析因?yàn)樗倪呅蜛BC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，

AB—a,AD=b,AC—c,

所以a-Z>+c=AB-AD+AC=AB-AZ)+(AB+Ab)=2AB,

又|靠|=1,所以|a—》+c|=|2贏|=2.

6.如圖，BC,OE是半徑為1的圓。的兩條直徑，BF^2F0,且危=/訪+〃設(shè)，則什〃

等于()

C.3D.4

答案D

解析VFC=FO+OC=4FO=4x1(Fb+FE)=2Fb+2FE,

D=〃=2,??)+〃=4.

7.已知向量ei，改是兩個(gè)不共線的向量，。=2/一氏與)=約+融2共線，則丸等于()

A.2B.12C.—；D.eq

答案C

解析因?yàn)椤?2的一e2與8=d+麓2共線，所以履=》，k#0,

所以k(2e\—?2)=61+成2.

因?yàn)橄蛄苛Γ珻2是兩個(gè)不共線的向量，

所以，?解得4V.

〔一女=九乙

8.已知AABO中，0A=05=1,ZAOB=1,若0C與線段AB交于點(diǎn)尸，且滿足元=%以十

HOB,\OC\=y[3,則2+〃的最大值為（）

A.eqB.1C.eqD.2

答案D

解析?線段0C與線段A3交于點(diǎn)尸，設(shè)次=x5>Q21),

貝|J尤9=4方A+〃曲即方A+等方，

久?：P,A,B三點(diǎn)共線，貝g+f=l，即%+〃=x,

?：OA=OB=1,當(dāng)尸為AB中點(diǎn)時(shí)|辦|最小,此時(shí)尤最大，

又乙4。8=?故此時(shí)|崩=與又因?yàn)樵?迎

：.OC^2OP,

即x=2,即入+〃的最大值為2.

9.設(shè)向量°,力不平行，向量彼十)與。+35平行，則實(shí)數(shù)/的值為

宏安—

口木3

解析向量ta-\-b與a+3b平行，

???存在實(shí)數(shù)k使得ta+b=k(a+3b),

化為(力—k)a+(1—3k)b—0,

向量。，力不平行，

10.已知aABC的重心為G,經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于D,交AC于E,若病=施,贏=〃啟,

則舁戶---------

答案3

解析如圖，設(shè)尸為8c的中點(diǎn)，

則啟=|'石"=!'（贏+AC）,

—?1—?—?1—?

XAB=TAD,ACAE

z〃=~,

.\AG=^AD+T~AE,

3/t3〃

又G,D,E三點(diǎn)共線,

?W+小，即

立綜合提升練

11.已知平面上不共線的四點(diǎn)。，A,B,C,若近一4帥+3沆=0,則幽等于（）

\CA\

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析由力一4而+3不7=0,得屆一為=3（初一而，即函=3無(wú)，

―?―>―?4-A

所以CA=CB+BA=]BA,

所以I贏|=98|,即^［二*

1\CA\

12.已知M為AABC的重心，。為8c的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）

A.\MA\=\MB\=\MC\

B.eq+MB+MC^O

C.eq=^BA+^BD

D.SAMBC='SAABC

答案D

解析如圖，M為△ABC的重心，則屈+凝+證=0,A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；

—>―?—>―>I-?

BM=BD+DM=BD+^DA

=BD+g(BA—BD)=；BA+^BD,C錯(cuò)誤；

由DM=^AD得SAMBC=|SAABC,D正確.

13.設(shè)尸，。為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且贏=|贏+穌，而=拗+|/，則AABP的面積與

△A3。的面積之比為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

_r\__i_

解析如圖，設(shè)病=和，病=水,

：.AP=^AB+^=AM+AN,

由平行四邊形法則知NP〃A3,

?*.AABP的面積與4ABC的面積之比為

同理，由恁=：贏+|/定，可得△A3。的面積與△ABC的面積之比為全

123

AABP的面積與AAB。的面積M比為5：,=正.

14.（2023?麗江模擬）在△ABC中，點(diǎn)。在線段AC上，且滿足|壽|=女/|,點(diǎn)。為線段8。

上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x,y滿足恁=1+嬴，則的最小值為.

答案4+2小

解析由題意知點(diǎn)。滿足■/，故超=品+嬴=為矗+3亞，由點(diǎn)。，B,。三點(diǎn)

共線可得x+3y=l,x>0,y>0,則（+；=《：+!）（尤+3y）=4+,+江4+2小，當(dāng)且僅當(dāng)甲=

Ay\AyjAyx

即x=*21,y=3y時(shí)等號(hào)成立.

R拓展沖刺練

15.（多選）設(shè)點(diǎn)〃是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.^BM—^BC,則由■/+%3

B.若病=2元一3盛，則點(diǎn)M,B,C三點(diǎn)共線

C.若點(diǎn)M是△ABC的重心，則向+施+慶=0

D.^A