2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

相似三角形（京改版）

一、單選題

1.（2025北京昌平初三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC^AAB'C,且A。,。）,

3（2,0）,A'（4,2）,3'（6,1）若丫鉆（7的面積為1,則AAHC的面積為（）

A.73B.3C.75D.5

2.（2025北京平谷初三上期末）如圖，已知正方形ABC。的邊長為6,點E是C。邊上一點，CE=2,以

CE為一邊作正方形CEMN,連接AM交C。于點”，則的長為（）

42

A.—B.1C.3D.一

33

二、填空題

3.（2025北京順義初三上期末）物理課中同學(xué)們觀察了小孔成像現(xiàn)象.如圖，電子蠟燭的火焰高度A8為

3.5cm、倒立的像的高度CD為7cm,小孔到火焰的距離為10cm,則小孔到火焰的像CD的距離為

cm.

4.（2025北京平谷初三上期末）如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下8處向前走了8米到達(dá)點C處時,

發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長2米，則路燈的高為一米.

Ap1

5.(2025北京房山初三上期末)如圖，AD,BC交于點E,AB//CD,—=S=45,則

DE3ACED

S^ABE=-

6.（2025北京通州初三上期末）如圖，在AABC中，AB=AC,中線AD與高線BE相交于點。，寫出一

個與“。石相似的三角形，這個三角形可以是.

7.（2025北京通州初三上期末）如圖，D、E是AABC邊AB、AC上的兩點，且DE〃BC,

DE:BC=1:3,那么AZ）:AB=.

8.（2025北京順義初三上期末）如圖，在四邊形ABCL（中，AB=2,AC=4,AD=8,ZBAC=ZCAD.

(1)求證：△ABCSAACD；

（2）若BC=3,求AACD的周長.

9.（2025北京昌平初三上期末）如圖，在中，ZACB=9（F,CDJ.AB于點。.

（1）求證：AACD^ACBZ）；

Q）若CD=?BD=1,求A￡）.

10.（2025北京昌平初三上期末）如圖，在△ABC中.

求作：正方形DEfG,兩個頂點在48上，另兩個頂點分別在8C和AC上.

①在48上任取一點尸，作尸QS鉆，交AC于點Q；

②在48上截取PN=PQ,過點N和。分別作PN和尸。的垂線，交于點M；

③作射線A"交BC于點。；

④過點。作交AC于點E,過點。作OG〃MN交AB于點G,

⑤過點石作防LAB于點

則正方形DEFG為所求作正方形.

⑴補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：ZQPN=NMQP=NPNM=90°,

二四邊形MNP。是矩形.

PN=PQ,

二.矩形MNPQ是正方形.

:DE〃MQ,

:.AAMQ^AADE.

,AM_MQ

（）（填寫依據(jù)）.

"~M5~~DE

AMMN

同理可得:~AD~DG

._MN_

??一.

DG

MN=MQ.

:.DE=DG.

同理可得：四邊形DEfG為正方形.

11.（2025北京房山初三上期末）如圖，在AABC中，D,E分別為AC,BC邊上的點,

12.（2025北京平谷初三上期末）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，CELAD于點E,點E恰為AE＞中

點，于點R當(dāng)BF=2,AD=6時，求48的長.

13.（2025北京通州初三上期末）在矩形ABC。中，AB=8,點G為邊4）上一點，AG=6,CEL3G于

7

點E,DG=-

⑴求證LABGsAECB；

（2）求證E是BG的中點.

參考答案

1.D

【分析】本題考查了相似三角形的面積之比等于相似比的平方的知識，掌握了以上知識是解題的關(guān)鍵；

本題需要分別求出線段A8和線段AE的長度，進(jìn)而求出相似比，得到兩個三角形的面積之比，根據(jù)

VABC的面積為1,即可求解的面積；

【詳解】解：:A(LO),42,0),4(4,2),8(6,1),

**-AB=2-1=1,AB=J(4-6『+(2-1)~=#,

AB1

VAABC^/\AB'C,而=衣，

.Sp"C=/_L\21

S\ABC(局=5，

「△ABC的面積為1,

，的面積為5；

故選：D；

2.C

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的

關(guān)鍵.證明得出坐=名，代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可.

【詳解】解：???四邊形ABCD為正方形，

AAD=CD=6.ZD=90°,

??,四邊形CEW為正方形，

：.CE=EM=2,ZCEM=90°.

：.ZMEH=180°-90°=90°,ED=6—2=4,

AZD=ZMEH,ZAHD=ZEHM,

：?小ADHs小MEH,

.ADPH

??EM-EH，

.6_PH

^2~4-DH，

解得：DH=3,

故選：C.

3.20

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，設(shè)AC與5。交于點。，過。作于點

E,延長后。，交CO于點尸，由題意得AB〃CD,AB=3.5cm,CD=7cm,OE=10cm,則Ob_LCD,

△AOBs△COD,然后由相似三角形的性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

【詳解】解：如圖，設(shè)AC與50交于點0,過。作于點E,延長￡?,交于點尸,

由題意得：AB//CD,AB=3.5cm,CD=7cm,OE=10cm,

：.OFVCD,△A05s?W,

.ABOE

??而一赤’

.3.5_10

??=~-，

7OF

：.O尸=20,

???小孔到火焰的像CD的距離為20cm,

故答案為：20.

4.8

【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△石CDSQHA是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)CD〃人員得

出△ECDs.EBA,進(jìn)而得出比例式求出即可.

【詳解】解：由題意知，CE=2米，CD=L6米，忒?=8米，CD//AB,

貝IJ班=BC+CE=10米，

CD//AB,

:?AECDS八EBA,

.CDCE口口1.62

??=,即=,

ABBEAB10

解得AB=8（米），

即路燈的高AB為8米.

故答案為：8.

5.5

【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明4s△CED是解題的關(guān)鍵.

由AB〃CD,證明&BE4sACED,則黑比=（個］=（口=-,而邑比。=45,則5^^=5，即

S?CEDVDEJ<3；99

S&ABE=5,于是得到問題的答案.

AF1

【詳解】解：???A3〃CD==；,

DE3

.△BEAsACED,

S.C￡D\DE）13；9

.?q_45

?Q^CED~宣），

S^BEA=QSKED=§x45=5,

,?S^ABE=5，

故答案為：5.

6.△ADC或△50?；騐HEC或△AB。

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形進(jìn)

行判定即可.

【詳解】解：??,AB=AC,AO為中線，

s.ADLBC

???班為高線，

:.ZADC=ZAEB=90°

\-ZDAC=ZOAE

s.^ADC^^AOE；

vZAOE=ZBODfZODB=ZAEB=90°

:.△BOD^AAOE；

?/NOBD+/BOD=90。

ZAOE-i-ZOAE=90°

,\ZOBD=ZOAE

???ZAEB=ZBEC=90。

:ABECS^AOE；

VAB=AC9A。為中線，

「.AO為角平分線，

.\ZBAD=ZDAC

-.-ZADB=ZAEB=90°

.,.△ABDS^AOE；

故答案為：△4￡)?；颉?0。或V5EC或△ABO.

7.-

3

【分析】通過證明△A￡>ES/^ABC,可求解.

【詳解】解：?.?￡>￡■//BC,

:.AADE^/\ABC,

.ADDE.1

"AB~BC~3'

故答案為：j.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

8.(1)見解析

⑵18

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，

(1)根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等的兩個三角形相似”即可得證；

(2)根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例即可求解；

【詳解】(1)證明：?.?AB=2,AC=4,AD=8,

.AB_2_1AC_4_1

,,AC-4-2*AD-8-2'

ABAC

,AC-

XvZBAC=ZC4D,

.△ABCSAACD.

(2)解：-/AABC^AACD,

5cAe1

,CD-2,

???BC=3,

：.CD=2BC=6.

AC+AT>+CD=4+8+6=18.

9.(1)證明見解析

(2)AD=3

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由CD_LAB得出NCDA=NCD3=90。，進(jìn)而得出NACD+NA=90。，由NAC6=90。得出

NACD+NBCD=90。，得到NA=NBCD,進(jìn)而利用相似三角形的判定即可證明結(jié)論；

(2)由(1)得AACDs"BD,進(jìn)而得出黑=黑，計算即可得到答案.

BDCD

【詳解】(1)證明：?.?CD，AD,

：.NCDA=NCDB=9伊，

/.ZACD+ZA=90°,

???ZACB=9Q0,

:.ZACD+ZBCD=90°f

:.ZA=ZBCDf

(2)解：由(1)知△ACDS/XCBD,

.CDAD

???CD=?BD=\,

10.(1)見解析

(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例，嬰

【分析】（1）根據(jù)平行線的作法以及垂線的作法補(bǔ)全圖形即可；

（2）證明矩形MNP。是正方形.根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例推出粵=峪.從而得出止=OG從而

DEDG

可推出結(jié)論.

【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：

C

，四邊形"NP0是矩形.

-,-PN=PQ,

，矩形MNPQ是正方形.

-,-DE//MQ,

AAMQ^AADE.

.AM_MQ

（相似三角形對應(yīng)邊成比例）（填寫依據(jù)）.

"~AD~1DE

AMMN

同理可得:

~AD~DG

MQMN

DE~DG

???MN=MQ.

:.DE=DG.

同理可得：四邊形OEFG為正方形.

故答案為：相似三角形對應(yīng)邊成比例，笑.

DE

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，作圖-復(fù)雜作圖，平行線的作法，垂線的作法，正方形的

判定，矩形的判定等知識，熟記各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

11.見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)公共角NACB=NECD,已知=根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”，證明

ARAC

△ABCs^EDC,根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”，即可得證）=丫

EDEC

【詳解】證明：???。，￡分別為AC,邊上的點，

:.ZACB=NECD,

又：ZABC=/EDC,

.**AABCS^EDC,

,ABAC

**E5-EC'

12.9

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，先證明AC0￡/ACB尸得段=空，再由中點的性質(zhì)得