平面向量與復數(shù)

?HI

2025高考真題

一、單選題

1.(2025?全國一卷?高考真題)(l+5i)i的虛部為()

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.

【詳解】因為(l+5i)i=i+5f=-5+i,所以其虛部為1,

故選：C.

2.(2025?全國二卷,圖考真題)已知z=l+i,則---=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【分析】由復數(shù)除法即可求解.

【詳解】因為z=l+i,所以」：=/J=1=!=T.

z-11+1-111

故選:A.

3.(2025?北京,高考真題)已知復數(shù)z滿足i.z+2=2i,則|z|二()

A.41B.2V2c.4D.8

【答案】B

【分析】先求出復數(shù)z,再根據(jù)復數(shù)模的公式即可求出.

【詳解】由i-z+2=2i可得，z=*^=2+2i,所以目=后港=2后,

1/24

故選：B.

4.（2025?全國一卷?高考真題）帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航

海學中稱為視風風速，視風風速對應的向量，是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和，其中船

行風速對應的向量與船速對應的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對

應關系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖2（風速的大小和向

量的大小相同），單位（m/s）,則真風為（）

等級風速大小m/s名稱

21.1?3.3輕風

33.4?5.4微風

45.5?7.9和風

58.0-10.1勁風

%[___=

視風磐

2礴

1

0123X

A.輕風B.微風C.和風D.勁風

【答案】A

【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風風速對應的向量和船行風速對應的向量，求出真風風速對應的向量,

得出真風風速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.

【詳解】由題意及圖得，

視風風速對應的向量為：?=（0,2）-（3,3）=（-3,-1）,

視風風速對應的向量，是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和，

船速方向和船行風速的向量方向相反,

2/24

設真風風速對應的向量為，，船行風速對應的向量為元，

：.n=n1+^,船行風速：^=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

4=n—n2=(-3,-1)—(-1,-3)=-2,2),

同=J(_2)2+2?=141它2.828,

...由表得，真風風速為輕風，

故選：A.

5.(2025?北京?高考真題)在平面直角坐標系xOy中，|O*=|O8六虛，|/切=2.設C(3,4),則12c4+/為

的取值范圍是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)刀=礪-方，求出〈刀,礪〉，進而可以用向量力，礪表示出2臣+方，即可解出.

【詳解】因為|CM|=|OB|=C，|您|=2,

________.JT

由方=痂-而平方可得，O4OB=0^所以〈。4。8〉=5.

2CA+AB=2(dA-OC^+OB-OA=OA+OB-2OC,|OC|=A/32+42=5,

所以，\2CA+AB^=OA2+OB2+4OC2-4^)A+OB)OC

=2+2+4x25-4(9+兩衣=101便+OB^OC,

又|(方+礪)?瓦石歷+礪卜5x72+2=10,Bp-10<(ft4+a8j-OC<10,

所以|2刀+冏,[64,144],Bp|2c5+^|e[8,12],

故選：D.

二、填空題

3/24

6.（2025?天津?高考真題）己知i是虛數(shù)單位，則——=.

1

【答案】Vio

【分析】先由復數(shù)除法運算化簡出，再由復數(shù)模長公式即可計算求解.

1

【詳解】先由題得彳=T（3+i?』所以"卜…疝

故答案為：Vio

7.（2025?全國二卷?高考真題）已知平面向量2=（苞1）石=（》-1,2》）,若。，（3-可，貝小用=

【答案】V2

【分析】根據(jù)向量坐標化運算得=再利用向量垂直的坐標表示得到方程，解出即可.

【詳解】a-b=（\,\-2x）,因為則。（"3）=0,

貝！1x+l—2x=0,解得x=l.

貝！］3=（1,1）,則|叫=0.

故答案為：V2.

8.（2025?天津?高考真題）V/BC中，D為邊中點，CE=^CD,AB=a,AC=b,則荔=（用方,

3表示），若|荏|=5,AELCB,則彳^.函=

1_?-

【答案】+-15

63

【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應用數(shù)量積運算律計算求解空二.

【詳解】如圖，

A

A

BC

4/24

因為直=g畫，所以左一刀=；(力_就)，所以次

—?1—?2—?1一2-

因為〃為線段NB的中點，所以4E=z/B+；/C=za+；6；

6363

又因為|樂|二5,4E，CB,所以次2=1，2+23丫=工言+2小3+±廬=25,

11(63J3699

—?—?2—'/—'1cl-2->c1__

AE.CB=\-a+-b\(a-b}=-^+-a-b--b=Q,所以/+37⑤=47

所以J+4〃.B=180，

所以次?函=]：@+|^]]_3+：/]=5@2+：小3_：覺=_L^2+2a,K-8p

1一2-

故答案為：—a+—b；-15.

63

9.（2025?上海?高考真題）已知復數(shù)z滿足22=Q）2/Z|V1,則|z-2-3i|的最小值是.

【答案】2V2

【分析】先設z=a+bi,利用復數(shù)的乘方運算及概念確定仍=0,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計算即

可.

【詳解】設z=a+6i（a,beRz=a-bi,

由題意可知z?="+2a6i-/二二2二/—2a6i—/,則。6=0，

又目=V7壽VI,由復數(shù)的幾何意義知Z在復平面內(nèi)對應的點z（a,6）在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標軸

上運動，如圖所示即線段/反。上運動，

設￡（2,3）,則|z-2-3i同組,由圖象可知忸同=加＞「?=2后，

所以儂L=2收.

故答案為：2亞

5/24

1,x>0

10.(2025?上海?高考真題)已知/(x)=0,X=O,a,6、1是平面內(nèi)三個不同的單位向量.若

-1,x<0

f(ab)+f(b-c)+f(c-a)=0,則|Z+1+H|可的取值范圍是.

【答案】(1,V5)

【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得什(。4),/即),/『")}={-1,0,1},再根據(jù)數(shù)量積關系設出旅

坐標，利用坐標運算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.

【詳解】若/@可=/("。=/日甸=0,貝D=W3￡=o，

又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量“,瓦2兩兩垂直，顯然不成立；

故{/(。彳),/()￡)}={-1,0,1).

'f(a-b]=\

不妨設"=則a%>0,"c=0,oa<0,

f[c-a)=-\

不妨設I=(1,0),1=(0,1),a=(cos0,sin,6>e[0,2TI),

L[后=COSJ>0L(3c)

則一一.…，則eq/2兀,

[c-a=sm0<0<2)

貝!J，+B+c|=|(l+cosai+sing)卜^1+cos0)2+(1+sin0)2=2cos0+2sin0

=,3+2后sin(6+：),

6/24

由eeQ兀,2兀)嗚eQ兀T，

貝！]sin(夕+')￡----,——,2V2sin(0+—)e(-2,2)

4I22J4

故卜+5+c]￡(1,V5).

故答案為：(1,6).

HI■

一、單選題

1.（2025?河北石家莊?三模）設復數(shù)==4-3i的共輾復數(shù)為"貝!lz-W=（）

A.-25B.10C.13D.25

【答案】D

【分析】先求出7,再根據(jù)復數(shù)的乘法計算即可.

【詳解】由z=4-3i可得彳=4+3i,貝！Jz「=（4-3i）（4+3i）=16-9i?=16+9=25.

故選：D.

2.（2025?北京?三模）若復數(shù)z滿足—r=i，則復數(shù)z的共輾復數(shù)（）

-1-1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

【答案】D

【分析】通過復數(shù)的運算得出z=1-i,然后根據(jù)共粗復數(shù)的概念求解.

【詳解】根據(jù)題意，z=i（T-i）=l-i,

所以彳=l+i.

故選：D

7/24

3.（2。25?湖南長沙三模）在復平面內(nèi),復數(shù)句對應的點與復數(shù)對應的點關于實軸對稱,則均等

于（）

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的四則運算求出復數(shù)Z2,再由Z2在復平面內(nèi)對應的點的對稱性求得21即可.

-3+i(-3+i)(l+2i)_-5-5i

【詳解】由所以Z1=-l+i.

(l-2i)(l+2i)-5

故選：C.

4.（2025?湖南長沙?二模）已知平面向量23滿足內(nèi)=2,+垃，則屋。=（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關系的向量表示、數(shù)量積的運算律求解.

【詳解】由a_L（a+5）,得+B）=a~+a4=0,所以￡.g=—7=一I.

故選：C

5.（2025?江西?三模）已知復數(shù)z滿足力2022=1二,則2=（）

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

【答案】A

【分析】首先求出12。22的值，然后利用復數(shù)的除法計算出復數(shù)z.

【詳解】因為P=i"2=_"=71=L所以產(chǎn)2=i2=_1.

1-i

所以z=_=T+i.

故選：A.

6.（2025?遼寧?二模）若z=3（aeR）的虛部為:，貝!|。=（）

1+12

A.-6B.-4C.2D.6

【答案】A

8/24

【分析】利用復數(shù)的除法運算先求復數(shù)z,根據(jù)復數(shù)的虛部為:即可求解.

2

,、乂&力.

【詳解】因為2=c下i—i=(甘tz—i)百(l—iy)=〒a—一\〒a+?\.的,,虛A部r為T5,

所以-胃=1,解得。=-6.

22

故選：A.

7.(2025?河北保定?二模)若非零復數(shù)z滿足(2-i)z=|zf,則彳=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】C

【分析】由|z『=zi結(jié)合條件即可求解.

【詳解】由題意(2-i)z=|zf=z-1,因為ZHO,所以］=2-i.

故選：C.

z+i.

8.(2025?湖南岳陽?三模)若復數(shù)z滿足一；=l+i,則在復平面內(nèi)，［對應的點位于()

z-\

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)四則運算求z,再由復數(shù)的幾何意義可得.

【詳解】因為葉=l+inz+i=(l+D(z-l)nz+i=(l+i)z-(l+i)

z-1

1—1

所以三=2+i.

所以I對應的點位于第一象限.

故選：A

9.(2025?河南?三模)若點/在點。的正北方向，點2在點。的南偏西60°方向，且|。旬=|。⑷=2km,則

向量厲+礪表示()

A.從點。出發(fā)，朝北偏西60。方向移動2月km

9/24

B.從點。出發(fā)，朝北偏西75。方向移動26km

C.從點O出發(fā)，朝北偏西60°方向移動2km

D.從點。出發(fā)，朝北偏西75°方向移動2km

【答案】C

【分析】以O為坐標原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立平面直角坐標系，

標出題中所給信息，再利用向量加法的平行四邊形法則求出次+漏即可.

【詳解】以O為坐標原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直

角坐標系，

依題意可得2/08=180°-60°=120°,

設無=刃+礪，因為|CM|=|O同=2km,所以四邊形。4a為菱形，

則乙40c=；x120。=60。，則△49C為正三角形，所以甌卜2km,

故向量方+礪表示從點。出發(fā)，朝北偏西60。方向移動2km.

10.（2025?山東青島?三模）若l+2i是關于尤的實系數(shù)方程無2+法+C=0的一個復數(shù)根，則b,c的值分別

為（）

A.b=—2,c=5B.b=2,c=5

C.b=—2,c=—5D.b=2,c=—5

【答案】A

【分析】根據(jù)實系數(shù)方程的復數(shù)根的性質(zhì)求出方程的另一個根，再利用韋達定理求出6、。的值.

【詳解】已知l+2i是實系數(shù)方程/+bx+c=0的一個復數(shù)根，根據(jù)實系數(shù)方程的復數(shù)根成對出現(xiàn)的性質(zhì),

10/24

可知方程的另一個根為l-2i.

對于方程/+6x+c=0,由韋達定理可得兩根之和玉+工2=-A,其中占=1+21,x2=l-2i,則

(l+2i)+(l-2i)=-fe,即2=",解得b=-2.

由韋達定理可知兩根之積七％=c,貝!!(1+2i)(l-2i)=c.

可得：(l+2i)(l-2i)=l2-(2i)2=l-4i2=5,即c=5.

6的值為-2,c的值為5.

故選：A.

11.(2025?湖南?三模)若向量滿足同=2忖=8,且(3-孫3=48,則癡的夾角為()

7171_712兀

A.-B.—C.-D.—

6323

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義計算即可得出結(jié)果.

【詳解】?.［司=2歸＞8,(a-b\a=^.

.第=8,『4,鼠』6,..?儂色)=雨=0=5，

且04a1)4兀，貝

故選：B.

12.(2025?甘肅金昌?三模)已知a為非零實數(shù)，復數(shù)4=。+上/2=1-i,其中i為虛數(shù)單位，則

a

A.4.22的虛部為。-工

a

B.㈤的最小值為近

3

C.zjz2的實部為。+—

a

D.當。=-1時，Z/Z2為純虛數(shù)

【答案】B

11/24

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法及復數(shù)的概念判斷ACD,根據(jù)復數(shù)的模及基本不等式判斷B.

'

【詳解】由題意，ffl+ll(l-i)=a+l+fl-a),實部為a+工，虛部為工一a,故A,C錯誤；

Va)a\a)aa

吁卜2?(：＞=6(當且僅當)=,，即。=±1時取等號)，故B正確；

當"T時，4&=-2,為實數(shù)，故D錯誤.

故選：B

13.(2025?江蘇蘇州?三模)在平面直角坐標系xOy中，已知點4(一2,0),8(2,0),若點尸滿足|力+函=2,

則^AP-BP=()

A.-3B.0C.1D.4

【答案】A

【分析】設點尸(“)，得到刀，麗，沙+麗的坐標，由同+而|=2,可得x2+/=i,將其代入萬;.而即

可得解.

【詳解】設點尸(x,力，則尸/=(-2-工,-力/尸=(尤+2,9，

麗=(2-x,-y),即=［一2/),所以強+麗=(-2x,-2y),

因為|西+而|=2,所以J(一2x『+(-2yJ=2,

整理可得=1,

所以萬?麗=(x+2)(x_2)+/=x2_4+y2=_3

故選：A

14.(2025?湖南岳陽三模)已知不共線的向量1五滿足同=1,a-b=2,\a-c\=\la+c\,貝申-目的最

小值為()

395

A.—B.2C.-D.一

242

【答案】D

【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律可得。?。=-：，設/(l,0),C(xj),b=(m,n),進而知點C

12/24

在直線尤=-＜上，點3直線x=2上，結(jié)合1-日.=|cs|,計算即可求解.

2IIminIImin

【詳解】由|"|=四+可,得區(qū)一請=國+日2,

即/一2鼠1+/=4/+411+了,又同=1,

整理得ec=-上.

2

=OA,b=OB,c=OCf貝!15—1=礪一反=G，

設4(l,0),C(x,y),貝!|a=(1,0),。=(x,.),

一一］1

所以a-c=x=_：,即點C在直線戶-：上；

22

設B=(加,〃)，由a4=2，得加=2,即點3直線x=2上，

而B-W=PI的幾何意義為直線X=2上的點5到直線X=-；上的點C的距離，

所以匠a.=|詞.=2-(-1)=1,

IIminI1mm22

即歸-目的最小值為g.

故選：D

15.(2025?浙江?二模)已知向量3=(2,1),K=(2,-l),貝5=助+^n=a+^b(A,〃eR),則下列表

述正確的是()

A.存在唯一的實數(shù)對(Z〃)，使得應〃為B.存在唯一的實數(shù)對(乙〃)，使得麗，五

c.存在唯一的實數(shù)對(4〃)，使得玩=萬口.存在唯一的實數(shù)對(4〃),使得同=同

【答案】c

【分析】由題意所=行+5=(22+2,"I),力=3+而=(2+2〃,1-〃)，由向量平行的充要條件判斷A；由

向量垂直的充要條件判斷B；由向量相等的充要條件判斷C,由向量模的計算公式判斷D.

［詳解］因為向量1=(2,1),b=(2,-1),貝!|比=+B=(24+2,4_1),為=1+〃B=(2+2〃,1一〃)，

對于A,而〃方當且僅當2(1+2)(1_〃)=2(2—+,BP1+A—//—A,fi=kjj,—/z+A—1,

13/24

即幾〃=1,由此可知存在無數(shù)組實數(shù)對（4〃），使得而〃力，故A錯誤；

對于B,行上萬當且僅當4（2+1）（〃+1）+。_1）（1一〃）=0,

即4（4〃+/1+〃+1）+（/1—1一九〃+〃）=0,即（3彳+5）〃=_（5/1+3）,

當X=時，該方程不成立，此時不存在實數(shù)對（月〃），使得所，解

當2=時，此時〃=0,由此可知存在實數(shù)對卜|,。）,使得行,河，

當幾彳一4;且2片一（S時，此時存在無數(shù)對實數(shù)對（4〃），使得而，力，故B錯誤；

122+2=2+2〃

對于C,比=為當且僅當,1?尸，解得a=//=1,故C正確；

（丸-1二1一4

對于D,|w|=|w|=>4（2+l）2+（2-l）2=4（//+lf+Q-丁f,

即5A2+62=5〃2+6〃，進而可得（彳—〃）（52+5〃+6）=0

故當％=〃或者52+5〃+6=0時，此時有無數(shù)組實數(shù)對伉〃），使得而|=冏，故D錯誤.

故選：C.

二、多選題

16.（2025?江西?一模）已知i為虛數(shù)單位，虛數(shù)z滿足z2-3iz-l+3i=0，則（）

A.\z\—VfoB.z+z=2

C.z2=—8—6iD.iz=3—i

【答案】AC

【分析】首先對式子進行因式分解，解得z=-l+3i,再分別對每個選項逐個計算得答案.

【詳解】由z2-3iz-l+3i=0得,（z-l）［z-（3i-l）］=0,

所以z=-l+3i或z=l（舍）

選項A,因為z=-l+3i,所以國=而，A正確；

14/24

選項B,z+z=(-l+3i)+(-l-3i)=-2,B錯誤；

選項C,z2=(-l+3i)2=-8-6i,

所以C正確；選項D,iz=i(-l+3i)=-3-i,所以D錯誤.

故選：AC

17.(2025?吉林?三模)已知向量方=(cos6,g),1(1,sin。)，若忖+可=卜-司，則6可能為()

71c2兀-5兀e11兀

At.——B.—C.—D.

6366

【答案】ACD

【分析】由M+可+-可，得到@4,再由向量數(shù)量積的坐標表示列出等式求解即可.

【詳解】-：\a+b\=\a-b\,以Z花為臨邊的平行四邊形對角線相等，

aA.b9

:.a-b=cos^+V3sin0=2'cos。I"sin。=2sirf6/]=(,

22t6

八TTi_7八?八兀5兀IljT

.e.0—----\-kji,左1EZ,左=0,l,2時，0=—,—,---

66669

故選：ACD.

18,(2025?浙江金華,二模)已知復數(shù)4，Z2互為共輒復數(shù)，則()

A.㈤=卜|B.zrz2=|^|'|z2|

2Y

22C

C.|Z1-Z2|=-(Z1-Z2)D.氣=五

Z2\Z2)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)共朝復數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設4=。+歷，則Z2="bi,

22

A選項，\Zi\=\z2\=^a+b,所以A選項正確.

B選項，=a2+b2a2+b2,所以B選項正確.

15/24

C選項，Z]—2=2歷，|z「Z2「=(26)2=療,一(4一Z2『=-(232=4/，

所以C選項正確.

D選項，設Z|=l+i/2=l-i,則.=l±i=(1：：)=i,

Z21-1(1-1)(1+1)

則B=辟=11fLi=i2=-l.所以D選項錯誤.

故選：ABC

19.(2025?貴州黔南?三模)已知向量2=(2,1)方=例,一2),且B在2方向的投影向量為。,則()

A.若一〃B，則〃?=-3B.若|萬-同=|萬+可，則加=1

C.若c=2G，貝！1加=5D.若3=,則=—§

【答案】BD

【分析】對于A,由向量共線的坐標形式求解機=-4后可判斷正誤；對于B,由向量垂直的坐標形式求解

加=1后可判斷正誤，對于CD,利用投影向量公式計算后可判斷正誤.

【詳解】對于A,因為故2X(-2)=1XM,故加=-4,故A錯誤；

對于B,因為歸-用=歸+可，故()+0=(1-0，整理得a/=o,

故2"7+1、(-2)=0,故加=1,故B正確;

己了一「a-b

對于C,由題設有B在&方向的投影向量為寸a=2。，故后r=2,

故4詈=2即〃2=6,故C錯誤，

a-b15

對于D,由C的分析可得匚評=-1，故展6=-：，故D成立.

同33

故選：BD.

20.(2025?江蘇南通?三模)已知復數(shù)Z-Z2在復平面內(nèi)對應的點分別為Z-Z2,則下列說法正確的有()

A.若Z]-Z2<0,則4<z?

16/24

B.若z；+z；=0,則Izj=lz2|

C.若IZi+zl=|Zi-Zzl,貝！|西.西=0

D.若西，西，則z/Z2=0

【答案】BC

【分析】由復數(shù)不能比較大小，即可判斷A,由復數(shù)的模長公式即可判斷BC,舉出反例即可判斷D.

【詳解】Z1-Z2<0,如z=l+i,z2=2+i,此時為與z2無大小關系，A錯.

22

z：+z；=0,Zi=-z1,：.=|-zfI,|zj=|z2|,|zj=|z2|,B對.

zx=a+b\,z2=c+di[^a,b,c,deR),|z[+z2|=\zt—z2|,

即J(a+c『+(6+t/)2=^(<2-c)2+(b-d^,

貝！]ac+6c/=0,OZX-OZ2—ac+bd=0,C對.

設西=(1,1),OK=(1,-1),此時西?匹=0但/2=2/0,D錯，

故選：BC.

21.(2025?四川巴中?二模)已知復數(shù)z的共朝復數(shù)記為彳，對于任意的三個復數(shù)Z3與下列結(jié)論錯誤的

是()

A.復數(shù)z=2的共軌復數(shù)彳=-5-2i

-1

B.若z=(l+2i>,則復平面內(nèi)7對應的點位于第四象限

C.已知復數(shù)z滿足|z-lRz+l|,貝！J|z-l+i|的最小值為2

D.Z]■。,且Z]Z?—Z1Z3,則Z[—Z3

【答案】BC

【分析】A選項，利用復數(shù)除法法則和共輾復數(shù)的概念得到A正確；B選項，利用復數(shù)乘方法則得到

z=-3+4i,z=-3-4i,得到對應點坐標，得到所在象限；C選項，由模長的幾何意義得到z對應的點在虛

軸(加上原點)上，由幾何意義得到最小值為1;D選項，z1(z2-z3)=0,又Z|/0,則z2=Z3.

17/24

【詳解】A.復數(shù)z=*=包絲=-5+2i,則共粗復數(shù)7=-5-2i,正確：

-1-1

B.z=(l+2i)2=l+4i+4i2=-3+4i,z=-3-4i,對應點為(一3,-4),在第三象限，B錯：

C.復數(shù)z滿足|z-l|=|z+l|,則z對應的點在是以-1,1對應點為端點的線段的中垂線上，即虛軸(加上原點)

上，

|z-l+i|表示虛軸(加上原點)上的點到點(1,T)的距離，最小值為1,C錯誤.

D.若平2=平3,則式2廠/)=。'又Z］WO,則%=為，故D正確：

故選：BC

三、填空題

22.(2025?天津?二模)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)虛曰=_______.

2V3-i

【答案】—+—i

1313

【分析】根據(jù)復數(shù)除法法則直接求解即可.

6+i("+。(2括'+耳5+3弧53^.

【詳?shù)牡诙　?

故答案為：工+巫i.

1313

23.(2025?安徽合肥三模)已知向量)=(x,l),5=(-2,1),若"x4//B,貝ijx=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)向量的坐標運算與平行的坐標表示即可求解.

［詳解］Va-xb-(3x,l-x),(3-xb^/lb,b=(-2,1)

/.3x+2(1—x)=0,解得x=—2,

故答案為：-2.

18/24

24.（2025?上海?三模）已知復數(shù)z滿足z2=4-3i（其中i為虛數(shù)單位），則同=.

【答案】非

【分析】應用復數(shù)模的運算有且H=|Z|,即可得.

【詳解】由|z2Hz『=|4-3i|=J16+9=5,則|z|=5故且=5

故答案為：石

25.（2025?天津濱海新?三模）已知復數(shù)z滿足z（l+2i）=|3-4i|（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z為.

【答案】l-2i

【分析】利用復數(shù)的模和除法公式求解.

【詳解】因為復數(shù)z滿足z（l+2i）=|3-4i|,

55（1—2i）

所以

故答案為：1-2i

26.（2025?北京昌平?二模）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1，貝;(25+^j-c=

【答案】0-5

【分析】建立平面直角坐標系，寫出向量的坐標，利用向量的坐標運算即可求解.

【詳解】

19/24

所以a石=1一1=0，21+在=（2,-2）+（1/）=0,-1）儂+3/=-3-2=-5,

故答案為：0；—5

27.（2025?甘肅金昌?三模）已知向量2,3,其中時=2,3為單位向量，且￡%=0，則

cos（2a+g,3a-2石）=.

【答案】nVnO/JLTno

170no

【分析】求出悔+斗怔一2司,（3屋2孫儂+可后由夾角公式可求余弦值.

［詳解］忸+可="用+4.3+廬=717,同理g_2.=2折，

(3?-2孫(21+*)=6八2小=24-2=22,

2211^70

故cos23+5,3a-23=

2710x717170

故答案為：I①.

170

28.（2025?寧夏銀川?三模）在直角梯形45C。中，AB//CD,CD=2AB,ABLAD,E是CO的中點，若

UULLUULLUULL

AC=ABD+］uAE,貝!］/+〃=.

【答案】1

【分析】首先用通，皮將向量而，酢表述出來，然后化簡原等式，從而可求出入〃的值，從而得到答案.

［詳解］芯=彳而+〃在況+回+〃［而+g加Hg反+(/i+〃)2D,

20/24

3

1_1u=—

2=12

而就=亞+皮，所以2-,解得,

4+2=1A=—

2

所以幾+〃=1

故答案為：1.

29.（2025?黑龍江佳木斯三模）已知復數(shù)z滿足=則|z-i|的最小值為.

【答案】V2-1/-1+V2

【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題即可得到答案

【詳解】設2=工+滅（尤,yeR）,

由上一1|=1得|x-l+yi|=l,

所以（1）2+/=],

即點（XJ）是圓心為（1,0）,半徑為1的圓上的動點，

|一|=卜+心_1）,表示的是點a,y）與點（0,1）的距離，

所以其最小值為點（0,1）到圓心（1,0）的距離減去半徑，

即|z-i|的最小值為血-1.

故答案為：V2-1.

30.（2025?河北衡水?三模）已知向量7=（1,1）,6=（1,-1）,若（3+焉），且4>0,則2-〃的最小

值為