初中數(shù)學(xué)特殊平行四邊形題集引言特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）是初中幾何的核心模塊，也是中考的熱點(diǎn)題型（占比約15%-20%）。它們既是平行四邊形的延伸，又融合了直角、等邊、垂直等特殊元素，連接了勾股定理、全等三角形、三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。掌握其性質(zhì)與判定，不僅能提升幾何推理能力，更能為解決復(fù)雜幾何問(wèn)題（如折疊、旋轉(zhuǎn)）奠定基礎(chǔ)。本文將通過(guò)分類(lèi)考點(diǎn)、例題解析、變式練習(xí)、技巧總結(jié)，系統(tǒng)梳理特殊平行四邊形的解題方法，助力學(xué)生突破難點(diǎn)。一、矩形：直角與對(duì)角線的完美結(jié)合矩形是有一個(gè)角為直角的平行四邊形，核心性質(zhì)是“四個(gè)角都是直角”“對(duì)角線相等”。解題時(shí)需重點(diǎn)關(guān)注直角三角形的勾股定理“對(duì)角線平分且相等”的特點(diǎn)。1.1考點(diǎn)1：矩形性質(zhì)的直接應(yīng)用（邊長(zhǎng)、對(duì)角線、角度）例題1.1.1矩形ABCD中，AB=5，AD=12，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)度及∠ACB的正切值。思路分析：矩形的對(duì)角線將其分成兩個(gè)全等的直角三角形，利用勾股定理求對(duì)角線，再通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系求三角函數(shù)值。解答過(guò)程：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，BC=AD=12（矩形對(duì)邊相等），∴AC=√(AB2+BC2)=√(52+122)=13（勾股定理）；∠ACB是Rt△ABC的銳角，tan∠ACB=AB/BC=5/12。變式1.1.1矩形ABCD中，對(duì)角線AC=20，∠BAC=30°，求AB和BC的長(zhǎng)度。提示：在Rt△ABC中，AB=AC×cos30°=10√3，BC=AC×sin30°=10。1.2考點(diǎn)2：矩形的判定（從平行四邊形到矩形的轉(zhuǎn)化）矩形的判定需明確前提條件：若已知是平行四邊形，只需添加“一個(gè)直角”或“對(duì)角線相等”；若未知是平行四邊形，需證明“三個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等且互相平分”。例題1.2.1如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且OA=OB。求證：四邊形ABCD是矩形。思路分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分（OA=OC，OB=OD），若OA=OB，則AC=BD，根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”可證。解答過(guò)程：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD（平行四邊形對(duì)角線互相平分），又∵OA=OB，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）。變式1.2.1已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求證：四邊形ABCD是矩形。提示：先證明四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行），再利用“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”。1.3考點(diǎn)3：矩形的綜合應(yīng)用（折疊與勾股定理）折疊問(wèn)題是矩形的高頻考點(diǎn)（中考必考），解題關(guān)鍵是找全等圖形“利用折疊的對(duì)稱性”（折痕是對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分），并結(jié)合勾股定理列方程。例題1.3.1（折疊問(wèn)題）矩形ABCD中，AB=8，BC=6，將△ABC沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接BE交AC于點(diǎn)O，求BE的長(zhǎng)度。思路分析：折疊后△ABC≌△AEC，故AC垂直平分BE（對(duì)稱軸性質(zhì)），即BO=OE，∠AOB=90°。利用△ABC的面積（兩種表示方法）求BO，再得BE=2BO。解答過(guò)程：△ABC的面積=1/2×AB×BC=1/2×8×6=24，AC=√(AB2+BC2)=√(82+62)=10，∵△ABC的面積=1/2×AC×BO，∴24=1/2×10×BO，解得BO=24/5=4.8，∴BE=2BO=48/5=9.6。變式1.3.1矩形ABCD中，AB=4，AD=5，將點(diǎn)D沿AE折疊至BC邊上的點(diǎn)F處，求DE的長(zhǎng)度。提示：設(shè)DE=x，則EF=x，AF=AD=5。在Rt△ABF中，BF=√(AF2-AB2)=3，故FC=2。在Rt△EFC中，x2=22+(4-x)2，解得x=2.5。二、菱形：等邊與垂直的靈動(dòng)組合菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，核心性質(zhì)是“四條邊相等”“對(duì)角線互相垂直平分”。解題時(shí)需重點(diǎn)關(guān)注對(duì)角線分成的四個(gè)直角三角形“面積=對(duì)角線乘積的一半”的公式。2.1考點(diǎn)1：菱形性質(zhì)的直接應(yīng)用（邊長(zhǎng)、對(duì)角線、面積）例題2.1.1菱形ABCD的對(duì)角線AC=10，BD=16，求菱形的邊長(zhǎng)及面積。思路分析：菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故OA=5，OB=8，利用勾股定理求邊長(zhǎng)；面積用對(duì)角線乘積的一半計(jì)算。解答過(guò)程：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA=AC/2=5，OB=BD/2=8，∴邊長(zhǎng)AB=√(OA2+OB2)=√(52+82)=√89；面積S=(AC×BD)/2=(10×16)/2=80。變式2.1.1菱形的邊長(zhǎng)為10，一條對(duì)角線長(zhǎng)為12，求另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度及面積。提示：設(shè)另一條對(duì)角線長(zhǎng)為x，則(12/2)2+(x/2)2=102，解得x=16，面積=(12×16)/2=96。2.2考點(diǎn)2：菱形的判定（邊或?qū)蔷€的條件）菱形的判定需抓住“等邊”或“垂直”的特點(diǎn)：若已知是平行四邊形，添加“一組鄰邊相等”或“對(duì)角線互相垂直”；若未知是平行四邊形，添加“四條邊相等”或“對(duì)角線互相垂直平分”。例題2.2.1如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。求證：四邊形ABCD是菱形。思路分析：平行四邊形的對(duì)邊平行，若對(duì)角線平分一組對(duì)角，則鄰邊相等（角平分線+平行線→等腰三角形）。解答過(guò)程：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC（平行四邊形對(duì)邊平行），∴∠DAC=∠BCA（內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴AB=BC（等角對(duì)等邊），∴平行四邊形ABCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）。變式2.2.1已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，且AC平分BD，求證：四邊形ABCD是菱形。提示：先證明四邊形是平行四邊形（對(duì)角線互相平分），再利用“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”。2.3考點(diǎn)3：菱形的綜合應(yīng)用（三角函數(shù)與折疊）菱形的對(duì)角線將其分成四個(gè)全等的直角三角形，解題時(shí)可通過(guò)三角函數(shù)求角度或邊長(zhǎng)，結(jié)合折疊的對(duì)稱性解決復(fù)雜問(wèn)題。例題2.3.1菱形ABCD中，∠ABC=60°，邊長(zhǎng)AB=6，求對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)度。思路分析：菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，故∠ABD=30°，AC⊥BD。在Rt△AOB中，利用30°角的三角函數(shù)求OA、OB，再得對(duì)角線長(zhǎng)度。解答過(guò)程：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABD=∠ABC/2=30°，OA=AC/2，OB=BD/2，在Rt△AOB中，AB=6，∴OA=AB×sin30°=6×1/2=3，OB=AB×cos30°=6×√3/2=3√3，∴AC=2OA=6，BD=2OB=6√3。變式2.3.1菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，求∠BAD的度數(shù)（精確到1°）。提示：OA=3，OB=4，AB=5，tan∠OAB=OB/OA=4/3，∠OAB≈53.13°，故∠BAD=2×53.13°≈106°。三、正方形：矩形與菱形的終極融合正方形是同時(shí)滿足矩形和菱形性質(zhì)的特殊平行四邊形，核心性質(zhì)是“四條邊相等”“四個(gè)角都是直角”“對(duì)角線相等且互相垂直平分”。解題時(shí)需靈活運(yùn)用矩形的直角“菱形的垂直”“旋轉(zhuǎn)全等”等特點(diǎn)。3.1考點(diǎn)1：正方形性質(zhì)的直接應(yīng)用（邊長(zhǎng)、對(duì)角線、面積）正方形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線、面積之間存在固定關(guān)系：若邊長(zhǎng)為a，則對(duì)角線長(zhǎng)為a√2；面積=邊長(zhǎng)2=（對(duì)角線2）/2。例題3.1.1正方形ABCD的對(duì)角線AC=8，求正方形的邊長(zhǎng)及面積。思路分析：利用正方形對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系求解。解答過(guò)程：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則AC=a√2=8，解得a=8/√2=4√2；面積S=a2=(4√2)2=32，或S=(AC2)/2=82/2=32。變式3.1.1正方形的面積為25，求對(duì)角線的長(zhǎng)度。提示：邊長(zhǎng)=5，對(duì)角線=5√2。3.2考點(diǎn)2：正方形的判定（矩形與菱形的結(jié)合）正方形的判定需同時(shí)滿足矩形和菱形的條件，常見(jiàn)路徑有：1.矩形+一組鄰邊相等→正方形；2.菱形+一個(gè)直角→正方形；3.對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形→正方形。例題3.2.1如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD。求證：四邊形ABCD是正方形。思路分析：矩形的對(duì)角線相等，若再垂直，則滿足菱形的對(duì)角線條件，故矩形+菱形→正方形。解答過(guò)程：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形對(duì)角線相等），OA=OC=AC/2，OB=OD=BD/2（矩形對(duì)角線平分），∴OA=OB=OC=OD，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形），∴矩形ABCD是正方形（既是矩形又是菱形的四邊形是正方形）。變式3.2.1已知菱形ABCD中，∠ABC=90°，求證：四邊形ABCD是正方形。提示：菱形的四個(gè)角相等（對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)），若有一個(gè)角是直角，則四個(gè)角都是直角，故菱形+矩形→正方形。3.3考點(diǎn)3：正方形的綜合應(yīng)用（旋轉(zhuǎn)與全等）正方形的對(duì)稱性（中心對(duì)稱、軸對(duì)稱）使其成為旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的常用背景，解題時(shí)需利用旋轉(zhuǎn)全等（旋轉(zhuǎn)后圖形與原圖形全等）的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理或等腰直角三角形的特點(diǎn)。例題3.3.1（經(jīng)典半角模型）正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在CD邊上，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF。思路分析：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，使AD與AB重合，利用旋轉(zhuǎn)全等得AF=AG，∠DAF=∠BAG，再證明△AEF≌△AEG（SAS），從而EF=EG=BE+BG=BE+DF。解答過(guò)程：1.旋轉(zhuǎn)：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，則△ADF≌△ABG，∴DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG；2.角度轉(zhuǎn)化：∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，即∠BAE+∠BAG=45°，故∠EAG=45°；3.全等證明：在△AEF和△AEG中，AE=AE（公共邊），∠EAF=∠EAG=45°，AF=AG（旋轉(zhuǎn)得），∴△AEF≌△AEG（SAS）；4.結(jié)論：EF=EG=BE+BG=BE+DF（BG=DF）。變式3.3.1正方形ABCD中，EF=BE+DF，求證：∠EAF=45°。提示：逆向應(yīng)用旋轉(zhuǎn)法，將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADF，證明△AEF≌△AEG，從而∠EAF=∠EAG=45°。四、特殊平行四邊形解題技巧總結(jié)4.1折疊問(wèn)題：找對(duì)稱，用勾股折疊后對(duì)應(yīng)邊相等“對(duì)應(yīng)角相等”，折痕是對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分；設(shè)未知數(shù)（如折疊后的邊長(zhǎng)），利用直角三角形的勾股定理列方程求解。4.2對(duì)角線問(wèn)題：分直角，算面積矩形、菱形、正方形的對(duì)角線均將其分成全等三角形，其中菱形、正方形的對(duì)角線還將其分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，正方形面積=對(duì)角線2/2，可快速計(jì)算面積。4.3判定問(wèn)題：明前提，選條件若已知是平行四邊形，只需添加一個(gè)特殊條件（矩形：直角/對(duì)角線相等；菱形：鄰邊相等/對(duì)角線垂直；正方形：鄰邊相等+直角/對(duì)角線相等+垂直）；若未知是平行四邊形，需先證明平行四邊形，再添加特殊條件，或直接用四邊形的判定條件（如四條邊相等→菱形，對(duì)角線相等且垂直平分→正方形）。五、中考真題演練真題1（2023·江蘇南京）：矩形折疊問(wèn)題矩形ABCD中，AB=4，BC=3，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，BE交CD于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)度。解答：設(shè)CF=x，則DF=CD-CF=4-x，由折疊得△ABD≌△EBD，故∠ADB=∠EDB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD（內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠EDB=∠CBD，∴BF=DF=4-x，在Rt△BCF中，BC=3，CF=x，BF=4-x，由勾股定理得：32+x2=(4-x)2，解得x=7/8。真題2（2022·浙江杭州）：菱形面積問(wèn)題菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，求菱形的高（即AB邊上的高）。解答：菱形面積=(AC×BD)/2=24，邊長(zhǎng)AB=√((6/2)2+(8/2)2)=5，高=面積/AB=24/5=4.8。真題3（2021·廣東廣州）：正方形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題正方形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADQ，連接PQ，求證：△APQ是等腰直角三角形。解答：旋轉(zhuǎn)后△AB