專題01相交線與平行線

（考題猜想，n種易錯(cuò)重難點(diǎn)與解題模型73題專項(xiàng)訓(xùn)練）

墨型人集合

根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系（易錯(cuò)）

根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)（重點(diǎn)）

平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用（新趨勢(shì)）

根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度（難點(diǎn)）

根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明（常考）

利用平移解決實(shí)際問(wèn)題（?？迹?/p>

驗(yàn)理大通關(guān)

__________________

題型一：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

1.（23-24七年級(jí)下?北京?期中）如圖，由線段A5,AM,CM,8組成的圖形像3稱為"X形BAMCZT.

圖1圖2

（1）如圖1,X形朋MCD中，若AB〃CD,ZAMC=60°,則/A+NC=

（2）如圖2,連接￡形B4MCD中8,。兩點(diǎn)，若/ABD+/3DC=16O。，ZAMC=a,試猜想N54M與

/MCD的數(shù)量關(guān)系

2.（23-24七年級(jí)下?甘肅蘭州?期中）探究題:

⑴如圖1,若AB〃CD,則4+ND=NE,你能說(shuō)明理由嗎？

（2）若將點(diǎn)E移至圖2的位置，此時(shí)NB、ND、2E之間有什么關(guān)系？并證明

3.（23-24七年級(jí)下?遼寧鐵嶺?期中）已知直線4〃，2,直線4與直線4、4分別相交于C、。兩點(diǎn).

圖a圖，

（1）如圖。，有一動(dòng)點(diǎn)尸在線段C。之間運(yùn)動(dòng)（不與C、。兩點(diǎn)重合），問(wèn)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

/I、N2、/3又怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由.

（2）如圖6,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸線段之外運(yùn)動(dòng)（不與C、D兩點(diǎn)重合），問(wèn)上述結(jié)論是否成立？若不成立，試寫(xiě)出

新的結(jié)論并說(shuō)明理由.

4.（23-24七年級(jí)下?云南曲靖?期中）如圖，已知射線4〃〃加，連接48,點(diǎn)尸是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（與點(diǎn)A不重合），BC平分尸交AM于點(diǎn)C、BD平分NPBN交AM于點(diǎn)、D.

⑴若NA=60。，求/C2D的度數(shù)；

（2）數(shù)學(xué)興趣小組探索后發(fā)現(xiàn)無(wú)論點(diǎn)P在射線AM上的什么位置，NAP3與24汨之間的數(shù)量關(guān)系都保持

不變，請(qǐng)你寫(xiě)出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

5.（23-24七年級(jí)下?遼寧?期中）己知，直線AB〃CD,點(diǎn)E為直線A8上一定點(diǎn)，直線EK交CD于點(diǎn)F

/鳥(niǎo)B

CD

圖3

⑵點(diǎn)尸為射線所上一點(diǎn)，點(diǎn)M為直線A3上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,過(guò)點(diǎn)P作尸交直線CD于點(diǎn)

N.

①如圖2,點(diǎn)尸在線段所上，若點(diǎn)M在點(diǎn)￡左側(cè)，求N3MP與/PNC的數(shù)量關(guān)系；

②點(diǎn)尸在線段跖的延長(zhǎng)線上，當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NMPN的一邊恰好與射線FG平行，直接寫(xiě)

出此時(shí)/PN/的度數(shù)（用含a的式子表示）.

題型二：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

6.（22-23七年級(jí)下?甘肅白銀?期中）如圖1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其

主要作用是動(dòng)力傳輸.如圖2是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知CG//EF,

ZBAG=150°,ZAGC=80°,則NDE尸的度數(shù)為（）

7.（23-24七年級(jí)下?江蘇宿遷?期中）在同一平面內(nèi)，NA與-3的兩邊一邊平行，另一邊垂直，且NA比

-3的3倍少10°,則ZB的度數(shù)為（）

A.25°B.50°C.25?；?0。D.不能確定

8.（23-24七年級(jí)下?廣東江門(mén)?期中）如圖，AB//CD,尸為上一點(diǎn)，F(xiàn)D//EH,過(guò)點(diǎn)尸作bGLE"

于點(diǎn)G,且所平分ZAFG,ZAFG=2ND.有下列結(jié)論：@ZD=30°；②2ZD+/EHC=90。；③FD

平分NHFB；④FH平分NGFD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

9.（24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）某興趣小組利用幾何圖形畫(huà)出螳螂的簡(jiǎn)筆畫(huà)，如圖，已知

ABAC=125°,AB//DE,ZD=85°,則ZACD=

10.（24-25七年級(jí)上?湖南衡陽(yáng)?期中）如圖，一張長(zhǎng)方形紙條A8CD沿所折疊.已知：=63。24',

則NEFB=

11.(23-24七年級(jí)下?江蘇徐州,期中)如圖，點(diǎn)、B、C在直線AD上，ZABE=40°,BF平分NDBE,

CG//BF,求/OCG的度數(shù).

12.(23-24七年級(jí)下?貴州遵義,期中)今年春節(jié)期間，為了營(yíng)造節(jié)日氛圍，各地紛紛上演各種“燈光

秀燈光秀”為了強(qiáng)化燈光效果，某地在河的兩岸安置了可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖L燈A射線AE自4〃開(kāi)

始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至⑷V便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線3尸自3P開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照

射.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3。/秒，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1。/秒，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為f秒，假定這一帶

兩岸河堤是平行的，即PQ〃跖V,且N54N=45。.

(2)當(dāng)r=55時(shí)，求NBC4的度數(shù)；

(3)如圖2,在燈A射線已轉(zhuǎn)過(guò)但未到達(dá)AN時(shí).若兩燈射出的光束交于點(diǎn)C,過(guò)C作CD_LAC交尸。于

點(diǎn)。，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，/BCD：/54c的比值是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.（24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】已知：AB//CD,直線分別交直線AB、CD于

E、F,EQ1MN,垂足為E,EP平分ZMEB.

（1）如圖1,若/CWW=48。，求ZPEQ的度數(shù)；

（2）如圖1,若NCFM=a,則NPEQ的度數(shù)為（用含有a的式子表示，不必說(shuō)明理由）；

【拓廣探究】

（3）將圖1中的直線繞點(diǎn)r旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，試探究ZPEQ和BMW度數(shù)之間的

關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；

（4）將圖1中的直線繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，若NCFM=a,則/理。的度數(shù)為

（用含有a的式子表示，不必說(shuō)明理由）；

（5）在（4）間的條件下，過(guò)點(diǎn)尸作尸K肝交射線E。于點(diǎn)K,過(guò)K作KH〃CZ）交直線"N于H.請(qǐng)?jiān)?/p>

圖3中畫(huà)出圖形；若ZCFM=tz=60。，則ZFKEZHKE.（填"＞或"="）

題型三：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

14.（23-24七年級(jí)下?廣東清遠(yuǎn)?期中）如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁DE,使

DE//BC.若NABC=30。，則—ADE應(yīng)為（）度.

A.30°B.60°C.1200D.150°

15.（23-24七年級(jí)下?河南鄭州,期中）一輛汽車在路上行駛，兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原方向相同，那么

轉(zhuǎn)彎的角度有可能是（）

A.先向左轉(zhuǎn)70。，再向右轉(zhuǎn)70°B.先向左轉(zhuǎn)70。，再向左轉(zhuǎn)70°

C.先向左轉(zhuǎn)70。，再向右轉(zhuǎn)HO。D.先向左轉(zhuǎn)70。，再向左轉(zhuǎn)110。

16.（23-24七年級(jí)下?遼寧大連?期中）如圖，燒杯內(nèi)液體表面A8與燒杯下底部CD平行，光線所從液體

中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成質(zhì)，點(diǎn)G在射線跖上，已知/”FB=20。，NFED=60°,Z.GFH

的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.60°

17.（23-24七年級(jí)下,福建廈門(mén)?期中）在兩千多年前，我們的先祖就運(yùn)用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名叫

作威子.如圖，這是一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)，已知/1=102。，則/2的度數(shù)為.

18.（23-24七年級(jí)下?山東濰坊?期中）某小區(qū)地下停車場(chǎng)的限高欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時(shí)

ZABC=120°,若此時(shí)CD平行地面AE,貝!J/BCD=度.

19.（23-24七年級(jí)下?山西晉中?期中）如圖1的晾衣架中存在多組平行關(guān)系，將晾衣架的側(cè)面抽象成如圖2

的數(shù)學(xué)平面圖形，已知〃尸。，若/2=100。，NDBE=130。,求N1的度數(shù).

20.（23-24七年級(jí)下?廣西南寧?期中）閱讀材料，解決問(wèn)題:

【閱讀材料】如圖1,物理學(xué)光的反射現(xiàn)象中，把經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)。并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射

光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角叫做反射角，且：,，這就是光的反射定律.

圖1圖2

（1）在圖1中，證明N1=N2；

【解決問(wèn)題】根據(jù)光的反射定律,人們制造了潛望鏡，如圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB,CD是平

行放置的兩面平面鏡，E尸是射入潛望鏡的光線，G8是經(jīng)平面鏡兩次反射后離開(kāi)潛望鏡的光線，由（1）

可知，光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射時(shí)，有N1=N2,Z4=Z5.

（2）請(qǐng)問(wèn)/3和/6有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；

（3）小明嘗試制作一如示意圖的簡(jiǎn)易潛望鏡，但發(fā)現(xiàn)光線無(wú)法順利通過(guò)，請(qǐng)思考應(yīng)如何調(diào)整平面鏡A8,

的位置，并給出建議（合理即可）.

21.（23-24七年級(jí)下,全國(guó)?期中）如圖①是一盞可以伸縮的臺(tái)燈，它的優(yōu)點(diǎn)是可以變化伸縮，找到合適的

照明角度.圖②是這盞臺(tái)燈的示意圖.已知臺(tái)燈水平放置，當(dāng)燈頭AB與支架平行時(shí)可達(dá)到最佳照明

角度，此時(shí)支架與水平線8E的夾角NCBE=130。，兩支架和CD的夾角ZBCD=110。.

圖①圖②

⑴求此時(shí)支架CD與底座MN的夾角ZCDM的度數(shù)；

（2）求此時(shí)燈頭AB與水平線BE的夾角NABE的度數(shù).

22.（23-24七年級(jí)下?山西晉城?期中）汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶的兩岸各安置了一

探照燈，便于夜間察看河水及兩岸河堤的情況，如圖1，探照燈A射出的光束自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立

即回轉(zhuǎn)，探照燈8射出的光束自8尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若探照燈A射

出的光束的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是4°/秒，探照燈3射出的光束的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是6。/秒，且。，6滿足

卜-3,+（。+6-4）2=0,假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即且N54N=45。.

圖1圖2

⑴求。，6的值.

⑵如圖2,兩探照燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在探照燈A射出的光束到達(dá)AN之前，兩探照燈射出的光束交于點(diǎn)C,若

ZBG4=70°,求的度數(shù).

⑶若探照燈B射出的光束先轉(zhuǎn)動(dòng)40秒，探照燈A射出的光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在探照燈8射出的光束第一次

到達(dá)8。之前，當(dāng)兩探照燈的光束互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出探照燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間.

題型四：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

23.（23-24七年級(jí)下?甘肅蘭州?期中）如圖，直線砂分別與直線AB,CD相交于G、H,已知

Zl=Z2=50°,GM平分交直線CD于點(diǎn)/.則N3等于（）

A.65°B.70°C.75°D.130°

24.（23-24七年級(jí)下,貴州遵義?期中）如圖，CDLAB,垂足為D,FE±AB,垂足為E,

ZACD+ZF=180°.

⑴求證：AC//FG；

(2)若NP=3NG,NBCD:ZACD=2:3,求ZBCD的度數(shù).

25.（23-24七年級(jí)下?甘肅蘭州?期中）如圖，已知點(diǎn)￡、廠在直線48上，點(diǎn)G在線段C。上，EO與FG相

交于點(diǎn)H,ZC=ZEFG,ZBFG=ZAEM,NO=30。，求：一血＞的度數(shù).（完成下列填空）

⑦ZBEC=NBFG（等量代換）

B1MC//（同位角相等，兩直線平行）

BIZC^ZFGD（兩直線平行，同位角相等）

B1ZC=ZEFG（已知）

0Z=?EFG,（等量代換）

3AB//CD（）

0+ZD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

0ZD=30°(已知)

0ZA￡D=___________

26.（23-24七年級(jí)下?貴州黔東南?期中）【問(wèn)題情境】將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起，當(dāng)

0。</48<90。且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，解決下列問(wèn)題（提示：ZA=60°,ZD=30°,

NB=NE=45°）：

【問(wèn)題解決】

⑴①若/DCE=ND,則-4CB的度數(shù)為度；

②若ZACB=130°,則NDCE的度數(shù)為度；

（2）請(qǐng)猜想一ACB與/DCE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶隨著—ACE的度數(shù)的變化，三角板3CE的一邊是否能與三角板ACD的一邊平行？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

/ACE的度數(shù)的所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.（23-24七年級(jí)下?江蘇泰州?期中）如圖1,ZACB=90°,MA//BN.

（1）①如果4c=30。，求NCBN的度數(shù)；

②設(shè)NM4C=c,NCBN=,直接寫(xiě)出a、夕之間的數(shù)量關(guān)系：—；

⑵如圖2,/MAC、NCBN的角平分線交于點(diǎn)P,當(dāng)NM4c的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，NAP3的度數(shù)是否發(fā)生

變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；

⑶在（2）的條件下，若NM4c=40°,點(diǎn)E為射線3N上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作跖〃3c交直線AP于點(diǎn)

F,連接EP.已知NFEP=10。，求N5PE1的度數(shù).

題型五：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明

28.（23-24七年級(jí)下?福建龍巖?期中）如圖，已知：Z1=Z2.

八￡L

8C

⑴證明：BD//CE-,

⑵若NC=ND,ZA=35。，求/尸的度數(shù).

29.（23-24七年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，Nl=80。,Z2=100°,且AC〃D尸，探索NC與/￡＞的數(shù)量

關(guān)系并說(shuō)明理由.

30.（23-24七年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖1,在四邊形ABCD中,AD//BC,ZA=NC.

A

D__________CD/\C

//

圖1圖2

⑴求證：AB//CD；

（2）如圖2,點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)G在線段AD的延長(zhǎng)線上，連接BG,ZAEB=2ZG,N1與N2相等嗎？

說(shuō)明理由.

31.（23-24七年級(jí)下?福建廈門(mén)?期中）已知：如圖，在VA2C中，點(diǎn)。在BC上，連接A。，點(diǎn)、E、尸分別

在AD、

A8上，連接且滿足/DFE=/C,Zl+Z2=180°.

⑴判斷所和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）證明：ZCAB=ZDFB.

32.（24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）幾何說(shuō)理填空：如圖，尸是上一點(diǎn)，房人42于點(diǎn)6,H

是上一點(diǎn)，”E_LAC于點(diǎn)E,N1=N2,求證：DE//BC.

證明：連接口

EIFGAAC,HEIAC

0ZFGC=90°,ZHEC=90。()

aNFGC=NHEC

0II()

0Z3=Z()

X0Z1=Z2

0Z1+Z3=Z2+Z4

即NDEF=NEFC

^\DE//BC（）

33.（24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，已知ZB+ZE=180°.

⑴求證：BC//EF；

⑵若/9/￡=60。，射線"G平分/3HE,求NHGE的度數(shù).

34.（24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）已知：8E平分NABD,ZBED=ZDBE（本題不能直接用三

角形內(nèi)角和）

（1）如圖1,求證：AB//DE；

(2)如圖2,點(diǎn)K、尸分別在BE、BD的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)C在線段OE上,且滿足/FCD=/FCK,求證:

/F+ZABD+/FCK=180°；

⑶如圖3,在（2）的條件下，NF—/K=15°,且DN平分N8廠，求NRVD的度數(shù).

題型六：利用平移解決實(shí)際問(wèn)題

35.（23-24七年級(jí)下?湖北荊州,期中）如圖，在一塊長(zhǎng)為am,寬為6m的草地上有兩條小路：路I路

II.其中路I是彎曲的，路II是直的，且每條小路的右邊線都是它的左邊線向右平移1m得到的.記兩條小

路的面積分別為E，sn,則下列判斷正解的是（）

c.C<品D.無(wú)法比較E與品的大小

36.（23-24七年級(jí)下?河南周口?期中）有一塊長(zhǎng)為am,寬為加1的長(zhǎng)方形草地，計(jì)劃在里面修一條小路,

共有四種方案如圖所示，圖中每一條小路的右邊線都是由左邊線向右平移1m得到的.四條小路的面積從左

至右依次用E，S2,S3,凡表示.則關(guān)于四條小路面積大小的說(shuō)法正確的是（）

37.（23-24七年級(jí)下?寧夏固原?期中）如圖,在高為2.8米，寬為5.6米的樓梯表面鋪設(shè)地毯，則需要地毯

的總長(zhǎng)度為米.

38.（23-24七年級(jí)下?湖北荊州?期中）如圖是一塊從一個(gè)邊長(zhǎng)為7cm的正方形材料中剪出的墊片，現(xiàn)測(cè)得

GF=lcm,則這個(gè)剪出的墊片圖形的周長(zhǎng)是cm.

39.（23-24七年級(jí)下?北京?期中）街心公園里有一塊草坪，長(zhǎng)21米，寬16米，草坪中間修有1米寬的小

路，將草坪分成兩塊（如圖）則草坪面積（陰影部分）是.m2.

40.（23-24七年級(jí)下?浙江?期中）如圖（單位，m）,一塊長(zhǎng)方形草坪中間有兩條寬度相等的石子路（每條

石子路間距均勻），那么草坪（陰影部分）的面積是

41.（23-24七年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?期中）如圖，某校的草坪是一塊長(zhǎng)為5米、寬為3米的長(zhǎng)方形草坪中間有

條彎曲的小路，若小路的任何地方的水平寬度都是1米，則草坪的面積為平方米.

42.（23-24七年級(jí)下?廣東汕頭?期中）已知：如圖，有一塊邊長(zhǎng)為8m的正方形的土地，上面修了橫縱各兩

條路，寬度都是1m,空白部分種上各種花草，則種花草的面積

43.（23-24七年級(jí)下?貴州遵義?期中）如圖，在長(zhǎng)為50m,寬為22m的長(zhǎng)方形地面上修筑寬度都為2m的道

路，余下的部分種植花草，則種植花草部分的面積為m2

5()m

44.（23-24七年級(jí)下?廣東東莞?期中）如圖，有一塊長(zhǎng)為12m,寬為8m的長(zhǎng)方形地，中間的陰影部分是一

條小路，空白部分為花圃.如果小路的寬度為2m,那么花圃的面積為m2.

45.（23-24七年級(jí)下,四川德陽(yáng)?期中）如圖所示，某商場(chǎng)重新裝修后，準(zhǔn)備在門(mén)前臺(tái)階上鋪設(shè)地毯，已知

這種地毯的批發(fā)價(jià)為每平方米50元，其臺(tái)階的尺寸如圖所示，則購(gòu)買地毯至少需要元.

46.如圖，粗線①AfC-3和細(xì)線②AfOfEf尸fG—3是泉州公交車從青少年宮A到僑

鄉(xiāng)體育館3的兩條行駛路線.

（1）判斷兩條線的長(zhǎng)短：粗線①，田線②.（填“或"="）

（2）小麗坐出租車由僑鄉(xiāng)體育館8到青少年宮A,假設(shè)出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為起步價(jià)8元，3千米以后按每

千米1.2元計(jì)費(fèi)，用代數(shù)式表示出租車行駛x（x>3）千米時(shí)的費(fèi)用.

（3）如果（2）中的這段路程長(zhǎng)5千米，小麗身上的10元錢(qián)夠不夠小麗坐出租車由僑鄉(xiāng)體育館到青少年

宮呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型七：解題模型-豬蹄模型

47.（23-24七年級(jí)下?浙江寧波?期中）如圖，已知AB〃CD,點(diǎn)區(qū)尸分別在48,8上，點(diǎn)G,”在兩條平

行線AB,CD之間，NAEG與NFWG的平分線交于點(diǎn)M.若NEGH=84°,ZHFD=20°,則NM

48.（22-23七年級(jí)下?湖北武漢,期中）如圖，直線AB〃CD,點(diǎn)E在上，點(diǎn)尸在CD上，點(diǎn)P在A3,

CD之間，N4EP和/CFP的角平分線相交于點(diǎn)M,NDFP的角平分線交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,下列

四個(gè)結(jié)論：①NEPF=ZAEP+NCFP；②/EPF=2./M：③若EP〃FN,則/4EM=NCW；④

ZMNF+Z.PEM=90°-ZPFM.其中正確的結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）.

圖1圖2

⑴如圖1,若NE=80。，求ZBFD的度數(shù)；

（2）如圖2,^ZABM=^ZABF,NCDM=；NCDF,試求出與/E之間的數(shù)量關(guān)系.

50.（23-24七年級(jí)下?廣東梅州?期中）綜合運(yùn)用

(1)如圖1,AB//CD,點(diǎn)E在直線AB、CD之間，連接￡B、ED.若N3=25。，ZD=40°,求NBED

的大小;

（2）如圖2,AB//CD.BE、CE交于點(diǎn)、E,探究—BEC、NB、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）如圖3,AB//CD,BF、CG分別平分'和/DCE,且跳'、CG所在直線交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)歹作

FH//AB,若N3￡C=104。，求ZB”的度數(shù).

A

C

圖1

51.（23-24七年級(jí)下?上海楊浦?期中）已知AB〃CD.

圖3

⑴如圖1,若。，F(xiàn)G垂足為點(diǎn)憶ZFGD=50°,則NAEF=_.

⑵如圖2,砂，RG垂足為點(diǎn)憶過(guò)點(diǎn)/作FHLAB于點(diǎn)H,說(shuō)明N毋E=NFG。；

⑶如圖3,NBEF、NFGD的角平分線交于點(diǎn)H,若NEFG=a°,則/"=_（用含a的式子表示）.

52.（23-24七年級(jí)下?江西南昌?期中）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

如圖1,是我國(guó)西北地區(qū)農(nóng)村使用的太陽(yáng)能燒水器，其原理是利用凹面鏡的聚光技術(shù).如圖2是圖1的軸

截面示意圖，平行的太陽(yáng)光線A2和CD經(jīng)過(guò)凹面鏡的反射后，反射光線BE,DF交于一點(diǎn)、P.

【提出問(wèn)題】

/BPD,NABP和/CDP三個(gè)角之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系?

【分析問(wèn)題】

已知平行，可以利用平行線的性質(zhì)，把一/>￡>分成兩部分進(jìn)行研究；

【解決問(wèn)題】

⑴如圖2,寫(xiě)出NBPD,NAB尸和/CDP三個(gè)角之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由

（2）如圖3,己知點(diǎn)N分別在AB,CD上，點(diǎn)P是48,AB,CD之間，"N右側(cè)任意一

點(diǎn)，連接尸M,PN,則一尸，ZAMP,NOVP的數(shù)量關(guān)系為；（不需要寫(xiě)解答過(guò)程）

（3）如圖4,在（2）條件下，AB,CD之間，左側(cè)再取一點(diǎn)Q,連接QM,QN,若使得

ZAMQ=-ZAMP,ZCNQ=-ZCNP,求—P與NQ的數(shù)量關(guān)系.（用〃表示）

nn

53.(23-24七年級(jí)下?河南信陽(yáng),期中)課題學(xué)習(xí)：平行線問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想.

【閱讀理解】"兩條平行線被第三條直線所截"是平行線中的一個(gè)重要的"基本圖形與平行線有關(guān)的角都

存在著這個(gè)"基本圖形"中，且都分布在"第三條直線"的兩旁，當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形"不完整”時(shí)要添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線將其補(bǔ)充完整，將"非基本圖形"轉(zhuǎn)化為"基本圖形"這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.有這樣一道典型問(wèn)題：

例題：如圖1,已知點(diǎn)E在直線A3、C￡＞之間，探究NBED與NB、”之間的關(guān)系.

解：過(guò)點(diǎn)E作跖〃AB.

出EF〃AB,AB//CD,

^AB//CD//EF,

:.ZB=ZBEF,ZD=NDEF,

ZBED=ZBEF+ZDEF,

:.ZBED=ZB+ZD.

【學(xué)以致用】

(1)如圖1,若N3=40。，〃=35。時(shí)，NBED=：

(2)如圖2,已知若NA=130。，ZC=125°,求出/AEC的度數(shù).

【拓展運(yùn)用】

(3)善于思考的南南同學(xué)猜想：將圖1的部分與圖2重合如圖3,AB〃CD不變，當(dāng)AB,C尸分別平分

NAEB和，ECD時(shí)，/AEC出與NA/C之間也存在著某種數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)寫(xiě)出/AEC出與NA尸C之間的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

54.（23-24七年級(jí)下,福建福州,期中）如圖1,點(diǎn)A是直線HD上一點(diǎn)，C是直線GE上一點(diǎn)，3是直線

之間的一點(diǎn)，HD//GE.

(1)求證：ZHAB+ZBCG=ZABC；

（2汝口圖2,作N3CP=N3CG,C戶與NR4H的角平分線交于點(diǎn)尸.若。+4=50。，求NB+N尸的度數(shù);

⑶如圖3,CR平分NBCG,BN平分NABC,BM〃CR,已知N54H=40。，貝|NASM=(直

接寫(xiě)出結(jié)果）.

55.（23-24七年級(jí)下?廣西南寧?期末）綜合與實(shí)踐

已知AB〃CE）,E,F分別是AB,CD上的兩點(diǎn).點(diǎn)G在AB,CO之間.探究/BEG、NDFG與NEGF

之間的數(shù)量關(guān)系.

⑴當(dāng)點(diǎn)G在如圖1所示位置時(shí)，NBEG=123°,ZDFG=132°,則/EGF=。.

（2）當(dāng)點(diǎn)G在如圖2所示位置時(shí)，求證：ZBEG+ZDFG=ZEGF.

⑶如圖3,在（2）的條件下，作尸用平分NCFG,且與GE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,作AV平分BCPVf,EN

平分/AEG相交于點(diǎn)N,當(dāng)MG〃小時(shí)，若ZBEG=ZDFG+50,求N硒F的度數(shù).

56.（23-24七年級(jí)下,山東青島,單元測(cè)試）提出問(wèn)題:

(1)如圖1,將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，其中則N2與21、N3度數(shù)之間有何等量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你

的理由.

類比探究:

(2)如圖2,將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，其中CD,則Nl、N2、N3、N4、/5的度數(shù)之間的等量關(guān)系

是

綜合應(yīng)用:

(3)如圖3,直線AB//CD,ZEFA=30°,ZFGH=90°,/HMN=30°,ZCNP=50°,則Z.GHM=

(4)如圖4,直線CD,BF平分NABE,DF平分NCDE,ZBFD=55°,貝!]N5ED=—.

.H

ffll

題型八：解題模型-鉛筆模型

57.（23-24七年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）【問(wèn)題情境】（1）如圖1,AB//CD,ZPAB=13O°,ZPCD=nO0,

求度數(shù).小穎同學(xué)的解題思路是：如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作PEAB,請(qǐng)你幫忙完成推理過(guò)程:

圖3圖4

則

ZAPE+ZPAB^180°(_)

0ZAPE=180°—ZPAB=180°—130°=50°

SPEAB,AB//CD

SPE//CD(_)

EIZPCD+ZCPE=180°

又回/PCD=120°

0ZCPE=180°-ZPCD=180°-120°=60°

0ZAPC=ZAPE+ZCPE=50°+60°=110°

【問(wèn)題遷移】（2）如圖3,AD〃3C,點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸在A、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),

ZADP=Za,ZBCP=Z]3.試判斷/CPO,////?之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,已知兩條直線AB〃CD,點(diǎn)尸在兩平行線之間，且的平分線與NOEP的

平分線相交于點(diǎn)。，求NP+2NQ的度數(shù).

58.(1)如圖1,M\//NA,,貝度.

如圖2,MAt//NA3,貝1|/4+/4+/4=_度.

如圖3,M\〃NA[,貝1]/4+/4+/4+/44=_度.

請(qǐng)?jiān)趫D2中，證明你所填寫(xiě)結(jié)論的正確性.

(2)如圖4,MA./ZNA^,則N4+N&+N4++4,=一度.

(3)利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖5,已知AB〃CD0ABE和EICDE平分線相交于尺^(guò)E=m°(0<m<

iso),用含根代數(shù)式表示aBED度數(shù)，并判斷as即是鈍角、銳角還是直角？

59.已知AB〃CD,點(diǎn)尸在直線AB、CD之間，連接AP,CP.

⑴探究發(fā)現(xiàn)：（填空）

如圖1,過(guò)P作尸0〃A3,

.-.ZA+Z1=0

ABCD（已知）

PQ〃CD

.-.ZC+Z2=180°（）

.-.Z4+ZC+ZAPC=°；

（2）解決問(wèn)題：

①如圖2,延長(zhǎng)PC至點(diǎn)E,AF.CF分別平分/R4ANECD,AF交CD于點(diǎn)。試判斷/尸與/尸存在怎

樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖3,若NAPC=100。，分別作附〃&己加〃「。,40、ZW分別平分/R43,NCDN,求/拉的度

數(shù)（直接寫(xiě)出結(jié)果）.

60.（22-23七年級(jí)下?湖北武漢?期中）已知直線AB〃CD,點(diǎn)尸在直線AB,CD之間，連接AP,CP.

圖2

圖1圖3

（1）如圖1,若NAPC=120。，ZPAB=130°,直接寫(xiě)出/PC。的大小;

⑵如圖2,點(diǎn)。在AB,CD之間，ZQAP=2ZQAB,ZQCP=2ZQCD,試探究NAPC和NAQC的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由;

（3）如圖3,的角平分線交CC于點(diǎn)且。，點(diǎn)N在直線AB,CD之間，連接OV,MN,

1/N

ZPCN=nZNCD,ZAMN=-ZNMD,n>l,直接寫(xiě)出,的值（用含〃的式子表示，題中的角均指大于

nZ.P

0。且小于180。的角）.

題型九：鳥(niǎo)頭模型

61.①如圖1,AB//CD,貝!]NA+NE+NC=360。；②如圖2,AB//CD,則NP=NA—NC；③如圖3,

AB//CD,則NE=NA+/1；④如圖4,直線〃EF,點(diǎn)。在直線斯上，則

Na-々+々=180。.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

62.（23-24七年級(jí)下?遼寧大連?期末）【問(wèn)題初探】

（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線的作用,李老師給出如下問(wèn)題：AB//CD,點(diǎn)P為

下方一點(diǎn)，連接上4,PC,得到NAPC,試探究—APC與/PCD的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

①小紅的做法是：如圖2,過(guò)點(diǎn)P作網(wǎng)

②小明的做法是：如圖3,設(shè)交8于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF〃尸C.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的做法,寫(xiě)出證明過(guò)程.

【歸納總結(jié)】

（2）李老師和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過(guò)程中，都運(yùn)用了作平行線的方法，平行線起到了構(gòu)造等角的

作用.為了幫助學(xué)生更好的體會(huì)平行線的作用，李老師提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答.

如圖4,直線AB〃CE>,點(diǎn)E在AB,C。之間，點(diǎn)P在。下方，連PM,PN.延長(zhǎng)PN至歹，ZBMP

和NRVD的角平分線相交于點(diǎn)E.探究/MEN與/MPN的數(shù)量關(guān)系；

P

圖4

63.(1)如圖(1)AB//CD,猜想/BPD與NAND的關(guān)系，說(shuō)出理由.

(2)觀察圖(2),已知AB〃CD,猜想圖中的4?尸￡>與N&N。的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知AB〃CO,猜想圖中的NBPD與4、ND的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由.

(1)(2)

64.已知40〃CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB_L3C于8.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點(diǎn)B在兩條平行線外，則/A與NC之間的數(shù)量關(guān)系為;

(2)點(diǎn)8在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)8作LAW于點(diǎn)D.

①如圖2,說(shuō)明N4Br>=NC成立的理由；

②如圖3,BF平分NZ>3C交于點(diǎn)EBE平分ZABD交ZW于點(diǎn)E.若

/FCB+/NCF=180°,NBFC=3/DBE,求ZEBC的度數(shù).

65.已知AB//MN.

⑴如圖1,求證：NN+ZE=/5；

(2)若尸為直線MN、AB之間的一點(diǎn)，NE=3NEFB,BG平分ZABF交MN于點(diǎn)、G,EF交MN于氤C.

①如圖2,若NN=54。，且BG〃EN,求NE的度數(shù)；

②如圖3,若點(diǎn)K在射線3G上，且滿足,若ZNKB=NEFB,NE:NFBD=3:4,直

接寫(xiě)出々的度數(shù)一.

66.(23-24七年級(jí)下,遼寧大連,期末)【問(wèn)題初探】

(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線的作用.李老師給出如下問(wèn)題：

AB//CD,點(diǎn)、P為CD下方一點(diǎn)、,連接尸4PC,得到ZAPC,試探究NAPC與的數(shù)量關(guān)

系.

(1)小紅的做法是：如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作

(2)小明的做法是：如圖3,設(shè)R4交CO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF〃尸C.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的做法，寫(xiě)出證明過(guò)程.

【歸納總結(jié)】

(2)李老師和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過(guò)程中，都運(yùn)用了作平行線的方法，平行線起到了構(gòu)造等角的

作用.為了幫助學(xué)生更好的體會(huì)平行線的作用，李老師提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答.

如圖4,直線至〃CD,點(diǎn)E在AB,CD之間，點(diǎn)尸在CD下方，連PM,PN.延長(zhǎng)PN至和

NRVO的角平分線相交于點(diǎn)E.探究/MEN與/MPN的數(shù)量關(guān)系；

【學(xué)以致用】

(3)如圖5,和NHVO的角平分線相交于點(diǎn)E.作MP平分〃河尸交ME的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

Q,若/"=130。，求NEAR的度數(shù).

題型十：靴子模型

67.(23-24七年級(jí)下