第06講圓周角

字【學習目標】

1.理解并掌握圓周角相關概念

2.探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；

【基礎知識】

1.圓周角定義：

像圖中/AEB、ZADB,NACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

1、頂點在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.

2、圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

3、圓心角定理：

圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑，高考物理。

3、圓周角的特點：（1）角的頂點在圓上；（2）角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.

4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關系有三種：解題規(guī)律：

5、解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角，然后再靈活運用圓周角

定理

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

【微點撥】

⑴圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

（2）圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

（3）圓心與圓周角存在三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外

部.（如下圖）

【考點剖析】

一.圓周角定理（共4小題）

1.（2021秋?惠州期末）如圖，已知圓心角/AOB的度數(shù)為100°,則圓周角/AC8的度數(shù)是（）

2.（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，A8邊是圓。的直徑，與圓。交于點。，且。是

的中點，乙BAC=120°,點E在圓。上，則的度數(shù)是（）

3.（2021秋?天津期末）如圖，已知點A,B.C都在。。上，若/BAC=38°,則N8OC的度數(shù)為（）

B

A.80°B.76°C.62°D.52°

4.（2022春?廬陽區(qū)校級期中）直線MN交O。于點A、B兩點，AC是直徑，AD平分NCAM交于。,

DELMN于E.若DE=也,AE=1.求：

（1）OO的半徑；

（2）圓心。點到距離.

二.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共7小題）

5.（2021秋?炎陵縣期末）如圖，ABC。為內(nèi)接四邊形，若/。=85°,則/8=（）

A.85°B.95°C.105°D.115°

6.（2021秋?舟山期末）已知圓內(nèi)接四邊形ABC。中，ZA：ZC=1：2,則NA=（）

A.50°B.60°C.100°D.120°

7.（2022?鼓樓區(qū)校級開學）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，E是BC延長線上一點，若/54。=105°,

則乙DCE的度數(shù)是°.

D

8.（2021秋?吳興區(qū)期末）如圖，四邊形ABC。是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，應=◎.若NC=11O°,

則ZABC的度數(shù)等于

9.（2021秋?泗陽縣期末）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，E為A2延長線上一點，若NAOC=150°,

求/EBC的度數(shù).

10.（2021秋?山西期末）如圖，四邊形A3C。是。。的內(nèi)接四邊形，AD-CD,ZABD^33°,ZACB=

44°.

（1）求N54C的度數(shù).

（2）求NBA。的度數(shù).

11.（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖，四邊形4BC￡）內(nèi)接于。。，E為8C延長線上的一點，點C為前的中點.若

ZDCE=110°,求/BAC的度數(shù).

cE

三.相交弦定理（共4小題）

12.（2020秋?臺江區(qū)校級月考）證明：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

13.（2021秋?東陽市月考）已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點E,AB=AC=AD,AE=3,EC=1,

貝I]BE'DE

C.12D.16

14.（2021秋?余姚市期中）如圖，。。的弦A3、C。相交于點P,若AP=6,8尸=8,CP=4,則CD長

為（）

A.16B.24C.12D.不能確定

【過關檢測】

一.選擇題（共6小題）

1.（2022?睢寧縣模擬）如圖，△A5C的頂點均在上，若NA3C+NAOC=84°,則NAOC的度數(shù)是（）

A.45°B.28°C.56°D.60°

2.（2022?無錫模擬）如圖，已知的弦A3、的延長線相交于點E,NAOO=128°,ZE=40°,

C.24°D.32°

3.（2021?武都區(qū)二模）如圖，在OO中，弦AC,BD交于點E,連接A3、CD,在圖中的“蝴蝶”形中,

9

D.

2

4.（2022?蒼南縣二模）如圖，點A,B在以CD為直徑的半圓上，5是彳&的中點，連結(jié)5。，AC交于點區(qū)

若NC=38°,則NCEO的度數(shù)是（）

A

A.115°B.116°C.118°D.120°

5.（2022?惠山區(qū)一模）如圖，四邊形ABC。為O。的內(nèi)接四邊形，若NA=50°,則/BCD的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

6.（2022?南京一模）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。是死的中點，若4=70。,則/CA。的度數(shù)為

（）

A.70°B.55°C.35°D.20°

填空題（共5小題）

7.（2021?饒平縣校級模擬）如圖，。。中，弦A3、CD相交于點P,若AP=5,BP=4,CP=3,則￡＞尸

為_______

8.（2022?文成縣一模）如圖，點A,3,C都在O。上，ZAOC：ZBOC^I：5,OA//BC,則

9.（2022?南山區(qū)二模）如圖已知四邊形ABCZ）內(nèi)接于O。，ZABC=70°,則乙4OC的度數(shù)是

10.（2022?射陽縣一模）如圖，點A,B,C,。在。。上，OALBC,垂足為E.若NAZ）C=30°,BC=

11.（2022?溫嶺市一模）如圖，48是。。的弦，48=4」，點尸是優(yōu)弧廊上的動點，ZP=45°,連接

E4、PB,AC是△ABP的中線，

（1）若NCAB=/P,則AC=；

（2）AC的最大值=.

三.解答題（共6小題）

12.（2022?邯鄲一模）如圖，在扇形AOB中，ZAOB=90°,C、。是血上兩點，過點。作DE〃OC交

OB于E點、,在。。上取點尸，使。尸=?！?連接CP并延長交08于G點.

(1)求證：LOCF當ADOE；

(2)若C、。是AB的三等分點，0A=2?

①求/OGC；

②請比較GE和BE的大小.

備用圖

13.(2022?金東區(qū)一模)如圖，已知點C在以AB為直徑的半圓。上，點。為弧BC中點，連結(jié)AC并延

長交8。的延長線于點E,過點E作EGL48,垂足為點尸，交于點G,連結(jié)OG,DG=\,DB=2.

(1)求證：AE—AB.

(2)求FB的長.

(3)求0G的長.

14.(2022?瑤海區(qū)一模)已知：RtZkACB中，ZC=90°,以AC為直徑的。。交A8于E,點尸為弧EC

的中點，。廠的延長線交CB于D

(1)求證：CD=BD-,

（2）連接EC交。。于G,若AC=6,CD=4,求GF的長.

15.（2022?宿州一模）如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓分別交AC,8c于點。、E,過點

A作交圓于點R連接。E、EF.求證:

（1）四邊形ACEF是平行四邊形;

(2)EF平分/BED.

16.（2022?蜀山區(qū)一模）如圖，△ABC中，ZBAC=45°,AC,8c交以A8為直徑的半0。于。，E.連

接AE,BD,交點為足

（1）證明：AF=BC；

（2）當點尸是8。中點時，求BE：EC值.

D

17.(2022春?射陽縣校級月考)如圖，是。O直徑，弦于點E,過點C作。8的垂線，交A8

的延長線于點G,垂足為點凡連結(jié)AC,其中NA=/O.

(1)求證：AC=CG；

(2)若CZ)=EG=8,求。。的半徑.

D

C

12/42

13/42

第06講圓周角

旨【學習目標】

1.理解并掌握圓周角相關概念

2.探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；

?【基礎知識】

1.圓周角定義：

像圖中NAEB、NADB、/ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

4、頂點在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.

5、圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

3、圓心角定理：

圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑，高考物理。

6、圓周角的特點：（1）角的頂點在圓上；（2）角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.

4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關系有三種：解題規(guī)律：

5、解決圓周角和圓心角的計算和證明問題，要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角，然后再靈活運用圓周角

定理

3.圓周角定理的推論：

14/42

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

【微點撥】

（1）圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

（2）圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

（4）圓心與圓周角存在三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外

部.（如下圖）

【考點剖析】

一.圓周角定理（共4小題）

1.（2021秋?惠州期末）如圖，已知圓心角NA02的度數(shù)為100°,則圓周角NACB的度數(shù)是（）

【分析】設點E是優(yōu)弧AB上的一點，連接區(qū)4,防，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可求得NE

的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可得到NAC2的度數(shù).

【解答】解：設點E是優(yōu)弧上的一點，連接EA,EB,

V100°,

/.Z￡=1ZA(9B=5O°,

：.ZACB=180°-ZE=130°.

故選：D.

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【點評】本題考查了圓周角定理，知道同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關鍵.

2.（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，A5邊是圓。的直徑，5C與圓。交于點。，且。是

5c的中點，NA4c=120°,點E在圓。上，則N3E。的度數(shù)是（

C.50°D.40°

【分析】根據(jù)AB邊是圓。的直徑，推出NAD3=90。，再推出△ABC是等腰三角形，所以NCW=N

BAD=JZBAC=60°,根據(jù)圓周角定理推出/8瓦＞=/胡。=60°.

2

【解答】解：???A3邊是圓O的直徑,

AZADB=90°,

TO是的中點,

：.AC=AB,

/.ZCAD=ZBAD=lzBAC=60°,

2

：.ZBED=ZBAD=60°,

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.

3.（2021秋?天津期末）如圖，已知點A,B.。都在上，若N3AC=38°,則N50C的度數(shù)為（）

76°C.62°D.52°

16/42

【分析】根據(jù)圓周角定理，即可求得NBOC的度數(shù).

【解答】解：：點A、B、C都在。。上，ZBAC=38°,

AZBOC=2ZBAC=76°.

故選：B.

【點評】此題考查了圓周角定理.此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

4.(2022春?廬陽區(qū)校級期中)直線交0。于點A、8兩點，AC是直徑，平分NCAM交。。于

DE1MN于E.若=AE=1.求：

(1)O。的半徑；

(2)圓心。點到A2距離.

【分析】(1)連接C。，根據(jù)圓周角定理得到NAED=90°,根據(jù)勾股定理得出4。=2,根據(jù)題意得到

AACD^AADE,相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)連接O。，過點。作OTLMN于點T,根據(jù)兩平行線間的距離相等求解即可.

【解答】解：(1)'：DE±MN,

：.ZAED^90°,

,:DE=gAE=1,

AD=+AG=2,

連接CD,

；AC是。。的直徑，

AZADC=ZAED=90°,

,：AD平分/CAM交O。于D,

：.ZCAD=ZDAE,

：.AACD^AADE,

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.ADAC

<?,

AEAD

.2AC

???二,

12

則AC=4,

OO的半徑是2；

(2)連接OD,過點。作OTLMN于點T,

.'.ZODA^ZOAD,

"：ZOAD=ZDAE,

：.ZODA^ZDAE,

C.OD//MN,

?:DELMN,OT±MN,

:.OT=DE=G

，圓心O點到AB距離返.

【點評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵.

二.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(共7小題)

5.(2021秋?炎陵縣期末)如圖，ABC。為。。內(nèi)接四邊形，若/。=85°,則/3=()

A.85°B.95°C.105°D.115°

【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行解答即可.

【解答】解：：ABC。為。。內(nèi)接四邊形，ZD=85°,

.\ZB=180°-ZD=180°-85°=95°.

故選：B.

18/42

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵.

6.（2021秋?舟山期末）已知圓內(nèi)接四邊形ABC。中，ZA：/C=l：2,則/A=（）

A.50°B.60°C.100°D.120°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設/4=無，則/C=2x,

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZA+ZC=180°,

.,.x+2x=180°,

解得，x=60°,即NA=60°,

故選：B.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

7.（2022?鼓樓區(qū)校級開學）如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于。。，E是8C延長線上一點，若/54。=105

則入DCE的度數(shù)是105°.

【分析】由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得NBA￡>+/BCn=180°,又由鄰補角的定義可得：ZBCD+Z

￡>C￡=180°,可得

【解答】解：,.?/氏4。=105°,

：.ZBCD=180°-ZBAD=15°,

AZ￡）CE=180°-ZBC￡>=105°.

故答案為：105.

【點評】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

8.（2021秋?吳興區(qū)期末）如圖，四邊形ABCZ）是半圓的內(nèi)接四邊形，是直徑，血=C8.若NC=110°,

則/ABC的度數(shù)等于55。.

【分析】連接AC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/D48,根據(jù)圓周角定理求出/ACB、ZCAB,計算即

可.

【解答】解：連接AC,

.四邊形ABC。是半圓的內(nèi)接四邊形，

19/42

AZDAB=180°-ZC=70°,

.,應=E

：.ZCAB=|ZDAB=35°,

,：AB是直徑，

ZACB=9Q°,

AZABC=900-ZCAB=55°,

故答案為：55°.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

9.(2021秋?泗陽縣期末)如圖，四邊形48。內(nèi)接于OO,E為延長線上一點，若NAOC=150°,

求/EBC的度數(shù).

【分析】根據(jù)圓周角定理求出NADC,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案.

【解答】解：由圓周角定理得，NA￡)C=；X150。=75°,

,/四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

：.ZEBC=ZADC=15°.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的

內(nèi)對角是解題的關鍵.

10.(2021秋?山西期末)如圖，四邊形ABC。是的內(nèi)接四邊形，AD=CD<NA3D=33°,NACB=

44°.

(1)求NBAC的度數(shù).

(2)求NBA。的度數(shù).

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【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到NC2D=NABZ）=33°,貝I|NABC=66°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和

計算N2AC的度數(shù)；

（2）先根據(jù)圓周角定理得到/ZMC=/DBC=33°,然后計算/BAC+/D4c即可.

【解答】解：（1）

：.ZCBD=ZABD=3y,

ZABC=66°,

.\ZBAC=180°-ZABC-ZACS=180°-66°-44°=70°；

（2）；NZMC=NZ）BC=33°,

：.ZBAD=ZBAC+ZDAC=10°+33°=103°.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.也考查了圓周角定理.

11.（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，E為BC延長線上的一點，點C為麗的中點.若

ZDC￡=110°,求NA4c的度數(shù).

【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得NBA，然后根據(jù)等弧對等角求得答案即可.

【解答】解：：四邊形ABC。內(nèi)接于0O,ZDCE=UQ0,

：.ZBAD=ZDCE=11O°,

:點C為前的中點，

ZBAC=NDAC=久BAZ）=55°.

【點評】考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是了解圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，難度

不大.

三.相交弦定理（共4小題）

12.（2020秋?臺江區(qū)校級月考）證明：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

【分析】連AC,BD,根據(jù)圓周角定理得到/C=NB,ZA=ZD,再根據(jù)三角形相似的判定定理得到△

AECs^DEB,禾傭相似三角形的性質(zhì)得AE：DE=CE：BE,變形有AE?BE=CE?DE；由此得到相交弦

定理.

【解答】解：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

已知，如圖，。0的兩弦AB、CD相交于E,

求證：AE?BE=CE,DE.

21/42

證明：連AC,BD,如圖,

VZC=ZB,ZA^ZD,

：.LAECsADEB,

：.AE：DE=CE：BE,

：.AE-BE=CE-DE；

所以兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.

【點評】本題考查了相交弦定理：圓的兩條弦相交，那么這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等.

13.（2021秋?東陽市月考）已知四邊形A8C。兩條對角線相交于點E,AB=AC=AD,AE=3,EC=1,

貝（IBE*DE

的值為（）

【分析】由題意可知AB=AC=A。，點。、C、8在以點A為圓心的圓周上運動，由相交弦定理可得,

BE?DE=CE,EF即可求出答案.

【解答】-：AB^AC^AD,

點。、C、2在以點A為圓心的圓周上運動，

A￡=3,EC=L

：.AC=AF=AE+CE=3+1=4,

EF=AE+AF=3+4=7,

由相交弦定理可得，

BE-DE=CE-EF=1X7=7,

故選：B.

22/42

【點評】本題考查了相交弦定理，根據(jù)圓心和半徑構(gòu)建圓是解題的關鍵.

14.（2021秋?余姚市期中）如圖，的弦A3、相交于點P,若AP=6,BP=S,CP=4,則CD長

B.24C.12D.不能確定

【分析】由相交線定理可得出再根據(jù)4尸=6,BP=8,CP=4,可得出尸。的長，從而

得出CD即可.

【解答】'：AP-BP=CP'DP,

：AP=6,BP=8,CP=4,

：.PD=12,

CD=PC+PD=12+4=16.

故選：A.

【點評】本題考查了相交線定理，圓內(nèi)兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.

【過關檢測】

一.選擇題（共6小題）

1.（2022?睢寧縣模擬）如圖，八鉆。的頂點均在。。上，若/ABC+NAOC=84°,則NAOC的度數(shù)是（）

23/42

A.45°B.28°C.56°D.60°

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得到NAOC=2NABC,代入N4BC+

ZAOC=84°,求出/ABC的度數(shù)，從而得到NAOC的度數(shù).

【解答】解：是就所對的圓周角，

ZAOC=2ZABC,

VZABC+ZAOC=M°,

3ZABC=84°,

AZABC=28°,

AZAOC=28°X2=56°,

故選：C.

【點評】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的

關鍵.

2.（2022?無錫模擬）如圖，已知。。的弦A3、OC的延長線相交于點E,ZAOZ）=128°,ZE=40°,

則/BDC的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出的度數(shù)，根據(jù)是

的外角即可出答案.

【解答】解：是&所對的圓周角,

ZABD=^ZAOD=；X128。=64°,

/ABD是△BDE的外角，

ZBDC=ZABD-ZE=64°-40°=24°,

故選：C.

【點評】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的

關鍵.

3.（2021?武都區(qū)二模）如圖，在。。中，弦AC,交于點E,連接AB、CD,在圖中的“蝴蝶”形中，

若AE=去AC=5,BE=3,則8。的長為（）

24/42

9

C.5D.-

2

【分析】根據(jù)題意求出EC,根據(jù)相交弦定理計算即可.

7

-

【解答】解：EC=AC2

由相父弦定理得，AE?EC=DE?BE,

[71,1八二AEEC7

則。氏k=7

:.BD=DE+BE=當

故選：B.

【點評】本題考查的是相交弦定理，掌握圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等是解題

的關鍵.

4.（2022?蒼南縣二模）如圖，點A,8在以CO為直徑的半圓上，8是左的中點，連結(jié)BD,AC交于點E,

若/C=38°,則NCED的度數(shù)是（)

C.118°D.120°

【分析】設半圓的圓心為O,連結(jié)AO,BO,8C,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到/C8D=90°,根

據(jù)在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等得到NBOC=NAOB,根據(jù)等腰三角形兩底角相等得到NA

=/ACO=38°,求出/AOC的度數(shù)，進而得到的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理得到/ACB=；

ZAOB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù).

【解答】解：如圖，設半圓的圓心為。，連結(jié)AO,BO,BC,

??,8是0。的直徑，

；./CBD=90°,

：8是在的中點，

ZBOC=ZAOB,

\9OA=OC,ZACO=38°,

25/42

AZA=ZACO=38°,

???NAOC=180°-38°-38°=104°,

：.ZBOC=ZAOB=52°,

VZACB是油所對的圓周角，

???ZACB=:NA05=:x52°=26°,

ZCED是△BCE的外角，

AZCED=ZACB+ZCBD=26°+90°=116°,

【點評】本題考查了圓周角定理，遇到弧的中點，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為圓心角相等或圓周角相等，這是解題的關

鍵.

5.（2022?惠山區(qū)一模）如圖，四邊形ABC。為O。的內(nèi)接四邊形，若NA=50°,則N8C。的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NA+NBCO=180°,代入求出即可.

【解答】解：：四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

AZA+ZBC￡>=180°,

VZA=50°,

AZBCD=130°,

故選：D.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應用，能根據(jù)性質(zhì)得出NA+/8CO=18（）。是解此題的關鍵.

6.（2022?南京一模）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于D是右的中點，若/8=70°,則NCA。的度數(shù)

為（）

26/42

A

B

A.70°B.55°C.35°D.20°

【分析】根據(jù)度數(shù)求出攻的度數(shù)，再求出愈的度數(shù)，再求出/C4Z）的度數(shù)即可.

【解答】解：；NB=70°,

祝的度數(shù)是140°,

:。是配的中點，

和。的度數(shù)都是70°，

AZCAD=x70°=35°,

故選：C.

【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能熟記圓周角定理是解此題的

關鍵.

二.填空題（共5小題）

7.（2021?饒平縣校級模擬）如圖，O。中，弦42、相交于點P,若AP=5,BP=4,CP=3,則。尸

【分析】根據(jù)相交弦定理列式計算即可.

【解答】解：由相交弦定理得，PA-PB=PC-PD,

5X4=3X。尸，

解得，加=冬

故答案為：-

3

【點評】本題考查的是相交弦定理的應用，掌握圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

27/42

是解題的關鍵.

8.（2022?文成縣一模）如圖，點A,B,C都在。。上，ZAOC：/BOC=2：5,OA//BC,則NA2C=20

【分析】根據(jù)圓周角定理及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解:4=02,

ZA=ZOBA,

'：OA//BC,

：.ZA=ZABC,

VZAOC=2ZABC,ZAOC：ZBOC=2：5,

：./BOC=5NABC,

：.ZAOB=1ZABC,

在△AOB中，NA+NAOB+NO2A=180°,

9ZABC=180°,

：.ZABC=20°,

故答案為：20.

【點評】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

9.（2022?南山區(qū)二模）如圖已知四邊形A8C。內(nèi)接于。。，ZABC=10°,則/AOC的度數(shù)是110°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可.

【解答】解：：四邊形A8CZ）內(nèi)接于OO,

AZABC+ZADC=180°,

VZABC=10°,

：.ZAZ）C=110°,

故答案為：110°.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

10.（2022?射陽縣一模）如圖，點A,B,C,。在。。上，OA_LBC,垂足為E.若/4DC=30°,BC=

4V3，則AE=2.

28/42

【分析】連接0C,根據(jù)垂徑定理求出C￡=2E,根據(jù)圓周角定理求出NAOC,解直角三角形求出OC和

OE,再求出答案即可.

【解答】解：連接。C,

?JOALBC,OA過圓心。，BC=4后

：.ZOEC=90°,CE=BE=26,

VZADC=30°,

ZAOC=2ZADC=60°,

/.sinZAOC=CE

OC,

：.sin60°.梨,

解得:OC=4,

VZBCO=9Q°-60°=30°,

：.OE~^OC=2,

2

；.AE=4-2=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形等知識點，能求出CE=BE是解此題的關鍵.

11.(2022?溫嶺市一模)如圖，AB是O。的弦，48=4<2，點P是優(yōu)弧彳礪上的動點，NP=45°,連接

PA.PB,AC是的中線，

(1)若NC4B=NP,則AC=4；

(2)AC的最大值=2+2、=.

29/42

p

【分析】（1）作BH_LAC,根據(jù)求出BC=4,再證明”和C重合即可得到答案;

（2）確定點C的運動軌跡，軌跡點圓關系找到AC的最大值就是AC長，再計算求解.

【解答】解：如圖1,作8//LAC,

'：NB=/B,NBAC=NP,

:.ABACsABBA,

.BABC

??---=-----

BPBA

：.BA2=BC'BP,

：AC是△ABP的中線，

：.BP=2BC,

??(4V2)2=BC25C>

.,.2C=4,

在RtZ\ABH中，ZBAC=45°,43=4、％

：.BH=4,

又"C=4,

.?.點”和點C重合,

：.AC=AH=4.

故答案為4.

(2)如圖2,

;點尸的運動軌跡是圓，

點C的運動軌跡是。3為直徑的圓，

當AC經(jīng)過圓心。，時最大.

VZP=45°,

A90°,

又：AO=4,OO'=2,

AAO'=2^5，

VO'C=2,

=2+2/5，

30/42

：.AC的最大值為2+2/S.

故答案為2+24.

圖2

【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和圓中最值問題，解題的關鍵是，確定AC最大時

點C的位置.

三.解答題(共6小題)

12.(2022?邯鄲一模)如圖，在扇形A08中，NAOB=90°,C、。是布上兩點，過點。作。E〃OC交

OB于￡點，在OD上取點R使OF=DE,連接CB并延長交02于G點.

(1)求證：△OC04DOE；

(2)若C、。是A8的三等分點，04=2、月：

①求NOGC；

②請比較GE和BE的大小.

【分析】(1)根據(jù)平行可得.,./CODn/OQE,再由于OC=O。，OF=DE,即可得證；

(2)①先根據(jù)C、。是弧的三等分點，得到NAOC=NCO￡)=/BOO=30,ZCOG=60°,再根據(jù)

全等得到NOCV=30°,從而得到/。GC的值；

②利用勾股定理和全等三角形的性質(zhì)即可得到OG、OF、0E的值，進而可求出GE,BE值,即可判斷

31/42

出大小.

【解答】解:(1)\-DE//OC,

：.ZCOD=ZODE,

在△OCF和△OOE中，

OC-DO

“OF=zOD￡

IOF=DE

:.△OCF/XDOE(SAS)；

(2)①；C、。是圓的三等分點，NAOB=90°,

/.ZAOC=ZCOD=ZBOD=3>0°,

■:AOCF絲ADOE,

：.ZOCF^ZDOE^30°,

VZCOG=ZCOD+ZDOB=6Q°,

：.ZOGC=9Qa；

②在RtZXOGC中，/OCG=30°,OA=OC=OB=2^

：OG=6,

又：NDOE=30°,

OF=2,

；NOCF=NCOF=30°,

：.CF=OF=2,

■:AOCF沿ADOE,

：.OE=CF=2,

??GE=2-6,BE=2歲-2,

?8E-GE=W54X，

：.BE>GE.

【點評】本題考查圓周角的定理，涉及到全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理等，解題

關鍵是靈活運用所學幾何基礎進行推理計算.

13.(2022?金東區(qū)一模)如圖，已知點C在以AB為直徑的半圓。上，點。為弧8C中點，連結(jié)AC并延

長交8。的延長線于點E,過點￡作EGLA8,垂足為點R交AD于點G,連結(jié)。G,DG=l,DB=2.

(1)求證：AE=AB.

(2)求的長.

(3)求0G的長.

32/42

E

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得NADB=90°,由點Z）為弧BC中點，可得NC4O=/A4。，則可證

明△AED絲即可得出答案；

（2）根據(jù)題意可證明△EDGs/XEFB,則絲RD___________________________

―,根據(jù)勾股定理可得EF={甌-FB2=V*F82,

FBi-/

代入計算即可得出答案;

（3）在Rt^EFB中，根據(jù)已知條件可算出E尸的長，在Rt^EG。中，可算出EG的長，由GF=EF-

EG即可算出GP的長，由△EFBS/XADB,可得一二一，代入計算可算出AZ）的長，在RtzMDB中，

4DDB

可算出AB的長，即可算出。8的長，根據(jù)OF=OB-F8即可算出OF的長，在RtZ\OG尸中根據(jù)勾股定

理即可得出答案.

【解答】解：（1）是半圓。的直徑，

ZADB=90°,

:口=而，

：.ZCAD=ZBAD,

在△AE0和△AD3中，

I^EAD-^BAD

}AD^AD

UADB=ZJW￡=90a

AAED^AADB(ASA),

：.AE=AB.

(2)*：/GED=/FEB,ZEDG=ZEFB=90°,

:.AEDGsAEFB,

,DGED

??=■,

FBEF

,:ED=DB=2,EF=QEB2一W?=丫4>-FB2,

.12

"FB~\16-FB-

解得：FB=空.

(3)在RtZXEFB中，

33/42

：EB=4,FBr里,

3

:.EFZEB2-FB2=竽,

在RtZkEGO中，

EG=y/ED2^GD2=V^+P=VS，

：.GF=EF-EG=誓-尼吧

ww

?；△EFBs^ADB,

?,E.F—=FB—

ADDB

???AD=4,

在RtAADB中，

AB={AD2+DB2=*+22=2書,

?**OB=^AB-、芯，

4

Z.0F=OB-FB=_誓=:

在Rt^OGF中，

OG=y/OF'4GF2=J（'；）JPg，），=<2

【點評】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理及相似三角形，熟練掌握圓周角定理，勾股定理及相似

三角形相關知識進行求解是解決本題的關鍵.

14.（2022?瑤海區(qū)一模）已知：RtZ\ACB中，ZC=90°,以AC為直徑的。。交AB于E,點E為弧EC

的中點，。尸的延長線交C8于。.

（1）求證：CD=BD；

（2）連接EC交0D于G,若AC=6,CD=4,求GP的長.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到/AEC=90°,F為弧EC的中點得到/OGC=90°,從而得到。。

34/42

//AB,從而根據(jù)平行線分線段成比例即可得證；

(2)在RtZXOCO中，勾股定理得出0。長，等面積法得到CG長，從而可在RtZ^OCG中勾股定理求出

OG,即可得Gf1的長.

【解答】(1)證明:AC是直徑，

AZAEC=90°,

???尸為弧EC的中點,

J0FLCE,

：.ZOGC=90°,

，ZAEC=ZOGC,

：.0D//AB,

.0CCD

?*1—=■—二1，

0ABD

:,CD=BD；

(2)解：VAC=6,

???0C=3,

在RtZkOCD中，OD=，32+y=5,

11

x3x4—xSxCG，

22

在RtZ\0CG中，0G-9

g，

：.GF=OF-OG^.

5

【點評】本題考查垂徑定理及圓周角定理，難度一般，解題關鍵是根據(jù)90°得到平行.

15.(2022?宿州一模)如圖，在△ABC中，AB^AC,以A3為直徑的圓分別交AC,BC于點、D、E,過點

A作A/〃BC交圓于點R連接。E、EF.求證：

(1)四邊形ACEP是平行四邊形；

(2)EF平分NBED.

35/42

【分析】（1）連接AEBF,如圖，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦

是直徑.可得NA防=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，CE=BE,根據(jù)矩形的判定方法N明E=N8班

=NBEA=9（T,可得四邊形出四是矩形，即可得出剛=CE,由已知條件A/〃5C即可得出答案；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得NA尸E+NAOE=180°,由鄰補角定義可得NC0E+NAOE=18O°,即

可得出由（1）中結(jié)論可得EF〃AC,可得NFED=NCDE,即可得出N/

再由A尸〃3C,可得NFEB=NAFE,即可得出NBEF=NFEO,即可得出答案.

【解答】證明：（1）連接AE,BF,如圖，

U：AB是直徑，

AZAEB=90°,

u

：AB=AC