《線性代數(shù)》同濟(jì)大學(xué)版課后習(xí)題答案詳解第一章行列式1利用對角線法則計(jì)算下列三階行列式(1)解2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644(2)解acbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3(3)解bc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)(4)解x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x33xy(xy)y33x2yx3y3x32(x3y3)2按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序求下列各排列的逆序數(shù)(1)1234解逆序數(shù)為0(2)4132解逆序數(shù)為441434232(3)3421解逆序數(shù)為532314241,21(4)2413解逆序數(shù)為3214143(5)13(2n1)24(2n)解逆序數(shù)為32(1個(gè))5254(2個(gè))727476(3個(gè))(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1個(gè))(6)13(2n1)(2n)(2n2)2解逆序數(shù)為n(n1)32(1個(gè))5254(2個(gè))(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1個(gè))42(1個(gè))6264(2個(gè))(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1個(gè))3寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng)解含因子a11a23的項(xiàng)的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s其中rs是2和4構(gòu)成的排列這種排列共有兩個(gè)即24和42所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424計(jì)算下列各行列式(1)解(2)解(3)解.(4).解=abcd+ab+cd+ad+1.5.證明:(1)=(a-b)3;證明=(a-b)3.(2);證明.(3);證明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);證明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1++an-1x+an.證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=2時(shí),,命題成立.假設(shè)對于(n-1)階行列式命題成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2++an-2x+an-1,則Dn按第一列展開,有=xDn-1+an=xn+a1xn-1++an-1x+an.因此,對于n階行列式命題成立.6.設(shè)n階行列式D=det(aij),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90、或依副對角線翻轉(zhuǎn),依次得,,,證明,D3=D.證明因?yàn)镈=det(aij),所以.同理可證..7.計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式):(1),其中對角線上元素都是a,未寫出的元素都是0;解(按第n行展開)=an-an-2(2)=an-2(a2-1).;解將第一行乘(-1)分別加到其余各行,得,再將各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1(3).;解根據(jù)第6題結(jié)果,有此行列式為范德蒙德行列式..(4);解(按第1行展開).再按最后一行展開得遞推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2.于是而.,所以.(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;解aij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2an≠0.解.8.用克萊姆法則解下列方程組:(1);解因?yàn)?,,,,所以,,,.(2).解因?yàn)?,,,,,所以,,,,.9.問λ,μ取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解？解系數(shù)行列式為.令D=0,得μ=0或λ=1.于是,當(dāng)μ=0或λ=1時(shí)該齊次線性方程組有非零解.10.問λ取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解？解系數(shù)行列式為=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.令D=0,得λ=0,λ=2或λ=3.于是,當(dāng)λ=0,λ=2或λ=3時(shí),該齊次線性方程組有非零解.第二章矩陣及其運(yùn)算1.已知線性變換:,求從變量x1,x2,x3到變量y1,y2,y3的線性變換.解由已知:,故,.2.已知兩個(gè)線性變換,,求從z1,z2,z3到x1,x2,x3的線性變換.解由已知,所以有.3.設(shè),,求3AB-2A及ATB.解,.4.計(jì)算下列乘積:(1)解(2)解;.;=(1?3+2?2+3?1)=(10).(3);解.(4);解.(5);解=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3).5.設(shè),,問:(1)AB=BA嗎?解AB≠BA.因?yàn)?,所以AB≠BA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎?解(A+B)2≠A2+2AB+B2.因?yàn)榈?,,所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎?解(A+B)(A-B)≠A2-B2.因?yàn)?,,而,故(A+B)(A-B)≠A2-B2.6.舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的:(1)若A2=0,則A=0;解取,則A2=0,但A≠0.(2)若A2=A,則A=0或A=E;解取,則A2=A,但A≠0且A≠E.(3)若AX=AY,且A≠0,則X=Y.解取,,,則AX=AY,且A≠0,但X≠Y.7.設(shè),求A2,A3,???,Ak.解,,??????,.8.設(shè),求Ak.解首先觀察,,,,??????,.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k=2時(shí),顯然成立.假設(shè)k時(shí)成立，則k+1時(shí)，,由數(shù)學(xué)歸納法原理知:.9.設(shè)A,B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣.證明因?yàn)锳T=A,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,從而BTAB是對稱矩陣.10.設(shè)A,B都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA.證明充分性:因?yàn)锳T=A,BT=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB是對稱矩陣.必要性:因?yàn)锳T=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩陣的逆矩陣:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因?yàn)?故(2)解.;.|A|=1≠0,故A-1存在.因?yàn)?所以.(3);解.|A|=2≠0,故A-1存在.因?yàn)?所以.(4)(a1a2???an≠0).解,由對角矩陣的性質(zhì)知.12.解下列矩陣方程:(1);解(2)解.;.(3);解.(4).解.13.利用逆矩陣解下列線性方程組:(1);解方程組可表示為,故,從而有.(2)解方程組可表示為.,故,故有.14.設(shè)Ak=O(k為正整數(shù)),證明(E-A)-1=E+A+A2+???+Ak-1.證明因?yàn)锳k=O,所以E-Ak=E.又因?yàn)镋-Ak=(E-A)(E+A+A2+???+Ak-1),所以(E-A)(E+A+A2+???+Ak-1)=E,由定理2推論知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+???+Ak-1.證明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由Ak=O,有E=(E-A)+(A-A2)+A2-???-Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+???+Ak-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+???+Ak-1)(E-A),兩端同時(shí)右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+???+Ak-1.15.設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=O,證明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.證明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2E,或,由定理2推論知A可逆,且由A2-A-2E=O得.A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或由定理2推論知(A+2E)可逆,且.證明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,兩端同時(shí)取行列式得|A2-A|=2,即故|A||A-E|=2,|A|≠0,所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=O?A(A-E)=2E?A-1A(A-E)=2A-1E?,又由A2-A-2E=O?(A+2E)A-3(A+2E)=-4E?(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,.16.設(shè)A為3階矩陣,,求|(2A)-1-5A*|.解因?yàn)?所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8?2=-16.17.設(shè)矩陣A可逆,證明其伴隨陣A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.證明由,得A*=|A|A-1,所以當(dāng)A可逆時(shí),有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,從而A*也可逆.因?yàn)锳*=|A|A-1,所以(A*)-1=|A|-1A.又,所以(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.18.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明:(1)若|A|=0,則|A*|=0;(2)|A*|=|A|n-1.證明(1)用反證法證明.假設(shè)|A*|≠0,則有A*(A*)-1=E,由此得A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,所以A*=O,這與|A*|≠0矛盾，故當(dāng)|A|=0時(shí),有|A*|=0.(2)由于,則AA*=|A|E,取行列式得到|A||A*|=|A|n.若|A|≠0,則|A*|=|A|n-1;若|A|=0,由(1)知|A*|=0,此時(shí)命題也成立.因此|A*|=|A|n-1.19.設(shè),AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故.20.設(shè),且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因?yàn)?所以(A-E)可逆,從而.21.設(shè)A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求B.解由A*BA=2BA-8E得(A*-2E)BA=-8E,B=-8(A*-2E)-1A-1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)-1=4[diag(2,-1,2)]-1=2diag(1,-2,1).22.已知矩陣A的伴隨陣且ABA-1=BA-1+3E,求B.解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.,由ABA-1=BA-1+3E得AB=B+3A,B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A.23.設(shè)P-1AP=Λ,其中,,求A11.解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11=A=PΛ11P-1.|P|=3,,,而故,.24.設(shè)AP=PΛ,其中,,求?(A)=A8(5E-6A+A2).解?(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).?(A)=P?(Λ)P-1.25.設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆,證明A-1+B-1也可逆,并求其逆陣.證明因?yàn)锳-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,而A-1(A+B)B-1是三個(gè)可逆矩陣的乘積,所以A-1(A+B)B-1可逆,即A-1+B-1可逆.(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.26.計(jì)算.解設(shè),,,,則而,,,所以,即.27.取,驗(yàn)證.解,而故,.28.設(shè),求|A8|及A4.解令,,則,故,..29.設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆,求(1);解設(shè),則.由此得?,所以.(2).解設(shè),則.由此得所以?,.30.求下列矩陣的逆陣:(1);解設(shè),,則,.于是.(2).解設(shè),,,則.第三章矩陣的初等變換與線性方程組1.把下列矩陣化為行最簡形矩陣:(1);解(下一步:r2+(-2)r1,r3+(-3)r1.)~~~~~~(下一步:r2÷(-1),r3÷(-2).)(下一步:r3-r2.)(下一步:r3÷3.)(下一步:r2+3r3.)(下一步:r1+(-2)r2,r1+r3.).(2);解(下一步:r2?2+(-3)r1,r3+(-2)r1.)~~~(下一步:r3+r2,r1+3r2.)(下一步:r1÷2.).(3);解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.)~~~(下一步:r2÷(-4),r3÷(-3),r4÷(-5).)(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2.).(4).解(下一步:r1-2r2,r3-3r2,r4-2r2.)~~~(下一步:r2+2r1,r3-8r1,r4-7r1.)(下一步:r1?r2,r2?(-1),r4-r3.)(下一步:r2+r3.)~.2.設(shè),求A.解是初等矩陣E(1,2),其逆矩陣就是其本身.是初等矩陣E(1,2(1)),其逆矩陣是E(1,2(-1))..3.試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q,求下列方陣的逆矩陣:(1);解~~~~故逆矩陣為.(2).解~~~~~故逆矩陣為.4.(1)設(shè),,求X使AX=B;解因?yàn)?所以.(2)設(shè),,求X使XA=B.解考慮ATXT=BT.因?yàn)?所以從而,.5.設(shè),AX=2X+A,求X.解原方程化為(A-2E)X=A.因?yàn)?所以.6.在秩是r的矩陣中,有沒有等于0的r-1階子式?有沒有等于0的r階子式?解在秩是r的矩陣中,可能存在等于0的r-1階子式,也可能存在等于0的r階子式.例如,,R(A)=3.是等于0的2階子式,是等于0的3階子式.7.從矩陣A中劃去一行得到矩陣B,問A,B的秩的關(guān)系怎樣?解R(A)≥R(B).這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式,故A的秩不會(huì)小于B的秩.8.求作一個(gè)秩是4的方陣,它的兩個(gè)行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣:,此矩陣的秩為4,其第2行和第3行是已知向量.9.求下列矩陣的秩,并求一個(gè)最高階非零子式:(1);解(下一步:r1?r2.)~(下一步:r2-3r1,r3-r1.)~(下一步:r3-r2.)~,矩陣的,是一個(gè)最高階非零子式.(2);解(下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1.)~(下一步:r3-3r2.)~,矩陣的秩是2,是一個(gè)最高階非零子式.(3).解(下一步:r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4.)~(下一步:r2+3r1,r3+2r1.)~(下一步:r2÷16r4,r3-16r2.)~~,矩陣的秩為3,是一個(gè)最高階非零子式.10.設(shè)A、B都是m?n矩陣,證明A~B的充分必要條件是R(A)=R(B).證明根據(jù)定理3,必要性是成立的.充分性.設(shè)R(A)=R(B),則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的.設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D,則有A~D,D~B.由等價(jià)關(guān)系的傳遞性,有A~B.11.設(shè),問k為何值,可使(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.解.(1)當(dāng)k=1時(shí),R(A)=1;(2)當(dāng)k=-2且k≠1時(shí),R(A)=2;(3)當(dāng)k≠1且k≠-2時(shí),R(A)=3.12.求解下列齊次線性方程組:(1);解對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換,有A=~,于是,故方程組的解為(k為任意常數(shù)).(2);解對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換,有A=~,于是,故方程組的解為(k1,k2為任意常數(shù)).(3);解對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換,有A=~,于是,故方程組的解為.(4).解對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換,有A=~,于是,故方程組的解為(k1,k2為任意常數(shù)).13.求解下列非齊次線性方程組:(1);解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,有B=~,于是R(A)=2,而R(B)=3,故方程組無解.(2);解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,有B=~,于是,即(k為任意常數(shù)).(3);解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,有B=~,于是,即(k1,k2為任意常數(shù)).(4).解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,有B=~,于是即,(k1,k2為任意常數(shù)).14.寫出一個(gè)以為通解的齊次線性方程組.解根據(jù)已知,可得,與此等價(jià)地可以寫成,或或,,這就是一個(gè)滿足題目要求的齊次線性方程組.15.λ取何值時(shí),非齊次線性方程組.(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多個(gè)解?解.(1)要使方程組有唯一解,必須R(A)=3.因此當(dāng)λ≠1且λ≠-2時(shí)方程組有唯一解.(2)要使方程組無解,必須R(A)<R(B),故(1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2≠0.因此λ=-2時(shí),方程組無解.(3)要使方程組有有無窮多個(gè)解,必須R(A)=R(B)<3,故(1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2=0.因此當(dāng)λ=1時(shí),方程組有無窮多個(gè)解.16.非齊次線性方程組當(dāng)λ取何值時(shí)有解？并求出它的解.解~.要使方程組有解,必須(1-λ)(λ+2)=0,即λ=1,λ=-2.當(dāng)λ=1時(shí),~,方程組解為或,即(k為任意常數(shù)).當(dāng)λ=-2時(shí),~,方程組解為或,即(k為任意常數(shù)).17.設(shè).問λ為何值時(shí),此方程組有唯一解、無解或有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)求解.解B=~.要使方程組有唯一解,必須R(A)=R(B)=3,即必須(1-λ)(10-λ)≠0,所以當(dāng)λ≠1且λ≠10時(shí),方程組有唯一解.要使方程組無解,必須R(A)<R(B),即必須(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0,所以當(dāng)λ=10時(shí),方程組無解.要使方程組有無窮多解,必須R(A)=R(B)<3,即必須(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以當(dāng)λ=1時(shí),方程組有無窮多解.此時(shí)，增廣矩陣為B~,方程組的解為,或(k1,k2為任意常數(shù)).18.證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT.證明必要性.由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為,即存在可逆矩陣P和Q,使,或.令,bT=(1,0,???,0)Q-1,則a是非零列向量,bT是非零行向量,且A=abT.充分性.因?yàn)閍與bT是都是非零向量,所以A是非零矩陣,從而R(A)≥1.因?yàn)?≤R(A)=R(abT)≤min{R(a),R(bT)}=min{1,1}=1,所以R(A)=1.19.設(shè)A為m?n矩陣,證明(1)方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m;證明由定理7,方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A,Em),而|Em|是矩陣(A,Em)的最高階非零子式,故R(A)=R(A,Em)=m.因此,方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m.(2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n.證明注意,方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解.由(1)ATYT=En有解的充分必要條件是R(AT)=n.因此，方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=R(AT)=n.20.設(shè)A為m?n矩陣,證明:若AX=AY,且R(A)=n,則X=Y.證明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因?yàn)镽(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.第四章向量組的線性相關(guān)性1.設(shè)v1=(1,1,0)T,v2=(0,1,1)T,v3=(3,4,0)T,求v1-v2及3v1+2v2-v3.解v1-v2=(1,1,0)T-(0,1,1)T=(1-0,1-1,0-1)T=(1,0,-1)T.3v1+2v2-v3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T-(3,4,0)T=(3?1+2?0-3,3?1+2?1-4,3?0+2?1-0)T=(0,1,2)T.2.設(shè)3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a),求a,其中a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T.解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得=(1,2,3,4)T.3.已知向量組A:a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,a3=(2,3,0,1)T;B:b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,-2,1,1)T,b3=(4,4,1,3)T,證明B組能由A組線性表示,但A組不能由B組線性表示.證明由知R(A)=R(A,B)=3,所以B組能由A組線性表示.由知R(B)=2.因?yàn)镽(B)≠R(B,A),所以A組不能由B組線性表示.4.已知向量組A:a1=(0,1,1)T,a2=(1,1,0)T;B:b1=(-1,0,1)T,b2=(1,2,1)T,b3=(3,2,-1)T,證明A組與B組等價(jià).證明由,知R(B)=R(B,A)=2.顯然在A中有二階非零子式,故R(A)≥2,又R(A)≤R(B,A)=2,所以R(A)=2,從而R(A)=R(B)=R(A,B).因此A組與B組等價(jià).5.已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,證明(1)a1能由a2,a3線性表示;(2)a4不能由a1,a2,a3線性表示.證明(1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4線性無關(guān),故a2,a3也線性無關(guān).又由R(a1,a2,a3)=2知a1,a2,a3線性相關(guān),故a1能由a2,a3線性表示.(2)假如a4能由a1,a2,a3線性表示,則因?yàn)閍1能由a2,a3線性表示,故a4能由a2,a3線性表示,從而a2,a3,a4線性相關(guān),矛盾.因此a4不能由a1,a2,a3線性表示.6.判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān):(1)(-1,3,1)T,(2,1,0)T,(1,4,1)T;(2)(2,3,0)T,(-1,4,0)T,(0,0,2)T.解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A.因?yàn)?所以R(A)=2小于向量的個(gè)數(shù),從而所給向量組線性相關(guān).(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B.因?yàn)?所以R(B)=3等于向量的個(gè)數(shù),從而所給向量組線性相無關(guān).7.問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1)T,a3=(1,-1,a)T.解以所給向量為列向量的矩陣記為A.由知,當(dāng)a=-1、0、1時(shí),R(A)<3,此時(shí)向量組線性相關(guān).8.設(shè)a1,a2線性無關(guān),a1+b,a2+b線性相關(guān),求向量b用a1,a2線性表示的表示式.解因?yàn)閍1+b,a2+b線性相關(guān),故存在不全為零的數(shù)λ1,λ2使λ1(a1+b)+λ2(a2+b)=0,由此得,設(shè),則b=ca1-(1+c)a2,c∈R.9.設(shè)a1,a2線性相關(guān),b1,b2也線性相關(guān),問a1+b1,a2+b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之.解不一定.例如,當(dāng)a1=(1,2)T,a2=(2,4)T,b1=(-1,-1)T,b2=(0,0)T時(shí),有a1+b1=(1,2)T+b1=(0,1)T,a2+b2=(2,4)T+(0,0)T=(2,4)T,而a1+b1,a2+b2的對應(yīng)分量不成比例,是線性無關(guān)的.10.舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的:(1)若向量組a1,a2,???,am是線性相關(guān)的,則a1可由a2,???,am線性表示.解設(shè)a1=e1=(1,0,0,???,0),a2=a3=???=am=0,則a1,a2,???,am線性相關(guān),但a1不能由a2,???,am線性表示.(2)若有不全為0的數(shù)λ1,λ2,???,λm使λ1a1+???+λmam+λ1b1+???+λmbm=0成立,則a1,a2,???,am線性相關(guān),b1,b2,???,bm亦線性相關(guān).解有不全為零的數(shù)λ1,λ2,???,λm使λ1a1+???+λmam+λ1b1+???+λmbm=0,原式可化為λ1(a1+b1)+???+λm(am+bm)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,???,am=em=-bm,其中e1,e2,???,em為單位坐標(biāo)向量,則上式成立,而a1,a2,???,am和b1,b2,???,bm均線性無關(guān).(3)若只有當(dāng)λ1,λ2,???,λm全為0時(shí),等式λ1a1+???+λmam+λ1b1+???+λmbm=0才能成立,則a1,a2,???,am線性無關(guān),b1,b2,???,bm亦線性無關(guān).解由于只有當(dāng)λ1,λ2,???,λm全為0時(shí),等式由λ1a1+???+λmam+λ1b1+???+λmbm=0成立,所以只有當(dāng)λ1,λ2,???,λm全為0時(shí),等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+???+λm(am+bm)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,???,am+bm線性無關(guān).取a1=a2=???=am=0,取b1,???,bm為線性無關(guān)組,則它們滿足以上條件,但a1,a2,???,am線性相關(guān).(4)若a1,a2,???,am線性相關(guān),b1,b2,???,bm亦線性相關(guān),則有不全為0的數(shù),λ1,λ2,???,λm使λ1a1+???+λmam=0,λ1b1+???+λmbm=0同時(shí)成立.解a1=(1,0)T,a2=(2,0)T,b1=(0,3)T,b2=(0,4)T,λ1a1+λ2a2=0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2=0?λ1=-(3/4)λ2,?λ1=λ2=0,與題設(shè)矛盾.11.設(shè)b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,證明向量組b1,b2,b3,b4線性相關(guān).證明由已知條件得a1=b1-a2,a2=b2-a3,a3=b3-a4,a4=b4-a1,于是a1=b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4=b1-b2+b3-b4+a1,從而b1-b2+b3-b4=0,這說明向量組b1,b2,b3,b4線性相關(guān).12.設(shè)b1=a1,b2=a1+a2,???,br=a1+a2+???+ar,且向量組a1,a2,???,ar線性無關(guān),證明向量組b1,b2,???,br線性無關(guān).證明已知的r個(gè)等式可以寫成,上式記為B=AK.因?yàn)閨K|=1≠0,K可逆,所以R(B)=R(A)=r,從而向量組b1,b2,???,br線性無關(guān).13.求下列向量組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:(1)a1=(1,2,-1,4)T,a2=(9,100,10,4)T,a3=(-2,-4,2,-8)T;解由,知R(a1,a2,a3)=2.因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例,故a1,a2線性無關(guān),所以a1,a2是一個(gè)最大無關(guān)組.(2)a1T=(1,2,1,3),a2T=(4,-1,-5,-6),a3T=(1,-3,-4,-7).解由,知R(a1T,a2T,a3T)=R(a1,a2,a3)=2.因?yàn)橄蛄縜1T與a2T的分量不成比例,故a1T,a2T線性無關(guān),所以a1T,a2T是一個(gè)最大無關(guān)組.14.利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組:(1);解因?yàn)?所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組.(2).解因?yàn)?所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組.15.設(shè)向量組(a,3,1)T,(2,b,3)T,(1,2,1)T,(2,3,1)T的秩為2,求a,b.解設(shè)a1=(a,3,1)T,a2=(2,b,3)T,a3=(1,2,1)T,a4=(2,3,1)T.因?yàn)?而R(a1,a2,a3,a4)=2,所以a=2,b=5.16.設(shè)a1,a2,???,an是一組n維向量,已知n維單位坐標(biāo)向量e1,e2,???,en能由它們線性表示,證明a1,a2,???,an線性無關(guān).證法一記A=(a1,a2,???,an),E=(e1,e2,???,en).由已知條件知,存在矩陣K,使E=AK.兩邊取行列式,得|E|=|A||K|.可見|A|≠0,所以R(A)=n,從而a1,a2,???,an線性無關(guān).證法二因?yàn)閑1,e2,???,en能由a1,a2,???,an線性表示,所以R(e1,e2,???,en)≤R(a1,a2,???,an),而R(e1,e2,???,en)=n,R(a1,a2,???,an)≤n,所以R(a1,a2,???,an)=n,從而a1,a2,???,an線性無關(guān).17.設(shè)a1,a2,???,an是一組n維向量,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是:任一n維向量都可由它們線性表示.證明必要性:設(shè)a為任一n維向量.因?yàn)閍1,a2,???,an線性無關(guān),而a1,a2,???,an,a是n+1個(gè)n維向量,是線性相關(guān)的,所以a能由a1,a2,???,an線性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n維向量都可由a1,a2,???,an線性表示,故單位坐標(biāo)向量組e1,e2,???,en能由a1,a2,???,an線性表示,于是有n=R(e1,e2,???,en)≤R(a1,a2,???,an)≤n,即R(a1,a2,???,an)=n,所以a1,a2,???,an線性無關(guān).18.設(shè)向量組a1,a2,???,am線性相關(guān),且a1≠0,證明存在某個(gè)向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,a2,???,ak-1線性表示.證明因?yàn)閍1,a2,???,am線性相關(guān),所以存在不全為零的數(shù)λ1,λ2,???,λm,使λ1a1+λ2a2+???+λmam=0,而且λ2,λ3,???,λm不全為零.這是因?yàn)?如若不然,則λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=???=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+???+λkak=0,ak=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+???+λk-1ak-1),即ak能由a1,a2,???,ak-1線性表示.19.設(shè)向量組B:b1,???,br能由向量組A:a1,???,as線性表示為(b1,???,br)=(a1,???,as)K,其中K為s?r矩陣,且A組線性無關(guān).證明B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)=r.證明令B=(b1,???,br),A=(a1,???,as),則有B=AK.必要性:設(shè)向量組B線性無關(guān).由向量組B線性無關(guān)及矩陣秩的性質(zhì),有r=R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(K)}≤R(K),及R(K)≤min{r,s}≤r.因此R(K)=r.充分性:因?yàn)镽(K)=r,所以存在可逆矩陣C,使(b1,???,br)C=(a1,???,as)KC=(a1,???,ar).為K的標(biāo)準(zhǔn)形.于是因?yàn)镃可逆,所以R(b1,???,br)=R(a1,???,ar)=r,從而b1,???,br線性無關(guān).20.設(shè),證明向量組α1,α2,???,αn與向量組β1,β2,???,βn等價(jià).證明將已知關(guān)系寫成,將上式記為B=AK.因?yàn)?所以K可逆,故有A=BK-1.由B=AK和A=BK-1可知向量組α1,α2,???,αn與向量組β1,β2,???,βn可相互線性表示.因此向量組α1,α2,???,αn與向量組β1,β2,???,βn等價(jià).21.已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x=3Ax-A2x,且向量組x,Ax,A2x線性無關(guān).(1)記P=(x,Ax,A2x),求3階矩陣B,使AP=PB;解因?yàn)锳P=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-A2x),所以.(2)求|A|.解由A3x=3Ax-A2x,得A(3x-Ax-A2x)=0.因?yàn)閤,Ax,A2x線性無關(guān),故3x-Ax-A2x≠0,即方程Ax=0有非零解,所以R(A)<3,|A|=0.22.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:(1);解對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換,有,于是得.取(x3,x4)T=(4,0)T,得(x1,x2)T=(-16,3)T;取(x3,x4)T=(0,4)T,得(x1,x2)T=(0,1)T.因此方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(-16,3,4,0)T,ξ2=(0,1,0,4)T.(2).解對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換,有,于是得.取(x3,x4)T=(19,0)T,得(x1,x2)T=(-2,14)T;取(x3,x4)T=(0,19)T,得(x1,x2)T=(1,7)T.因此方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(-2,14,19,0)T,ξ2=(1,7,0,19)T.(3)nx1+(n-1)x2+???+2xn-1+xn=0.解原方程組即為xn=-nx1-(n-1)x2-???-2xn-1.取x1=1,x2=x3=???=xn-1=0,得xn=-n;取x2=1,x1=x3=x4=???=xn-1=0,得xn=-(n-1)=-n+1;???;取xn-1=1,x1=x2=???=xn-2=0,得xn=-2.因此方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1,0,0,???,0,-n)T,ξ2=(0,1,0,???,0,-n+1)T,???,ξn-1=(0,0,0,???,1,-2)T.23.設(shè),求一個(gè)4?2矩陣B,使AB=0,且R(B)=2.解顯然B的兩個(gè)列向量應(yīng)是方程組AB=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解.因?yàn)?所以與方程組AB=0同解方程組為.取(x3,x4)T=(8,0)T,得(x1,x2)T=(1,5)T;取(x3,x4)T=(0,8)T,得(x1,x2)T=(-1,11)T.方程組AB=0的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1,5,8,0)T,ξ2=(-1,11,0,8)T.因此所求矩陣為.24.求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為ξ1=(0,1,2,3)T,ξ2=(3,2,1,0)T.解顯然原方程組的通解為,即,(k1,k2∈R),消去k1,k2得,此即所求的齊次線性方程組.25.設(shè)四元齊次線性方程組I:,II:.求:(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系;(2)I與II的公共解.解(1)由方程I得.取(x3,x4)T=(1,0)T,得(x1,x2)T=(0,0)T;取(x3,x4)T=(0,1)T,得(x1,x2)T=(-1,1)T.因此方程I的基礎(chǔ)解系為ξ1=(0,0,1,0)T,ξ2=(-1,1,0,1)T.由方程II得.取(x3,x4)T=(1,0)T,得(x1,x2)T=(0,1)T;取(x3,x4)T=(0,1)T,得(x1,x2)T=(-1,-1)T.因此方程II的基礎(chǔ)解系為ξ1=(0,1,1,0)T,ξ2=(-1,-1,0,1)T.(2)I與II的公共解就是方程III:的解.因?yàn)榉匠探MIII的系數(shù)矩陣,所以與方程組III同解的方程組為.取x4=1,得(x1,x2,x3)T=(-1,1,2)T,方程組III的基礎(chǔ)解系為ξ=(-1,1,2,1)T.因此I與II的公共解為x=c(-1,1,2,1)T,c∈R.26.設(shè)n階矩陣A滿足A2=A,E為n階單位矩陣,證明R(A)+R(A-E)=n.證明因?yàn)锳(A-E)=A2-A=A-A=0,所以R(A)+R(A-E)≤n.又R(A-E)=R(E-A),可知R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n,由此R(A)+R(A-E)=n.27.設(shè)A為n階矩陣(n≥2),A*為A的伴隨陣,證明.證明當(dāng)R(A)=n時(shí),|A|≠0,故有|AA*|=||A|E|=|A|≠0,|A*|≠0,所以R(A*)=n.當(dāng)R(A)=n-1時(shí),|A|=0,故有AA*=|A|E=0,即A*的列向量都是方程組Ax=0的解.因?yàn)镽(A)=n-1,所以方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量,即基礎(chǔ)解系的秩為1.因此R(A*)=1.當(dāng)R(A)≤n-2時(shí),A中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為0,故A*=O,從而R(A*)=0.28.求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:(1);解對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,有.與所給方程組同解的方程為.當(dāng)x3=0時(shí),得所給方程組的一個(gè)解η=(-8,13,0,2)T.與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為.當(dāng)x3=1時(shí),得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系ξ=(-1,1,1,0)T.(2).解對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,有.與所給方程組同解的方程為.當(dāng)x3=x4=0時(shí),得所給方程組的一個(gè)解η=(1,-2,0,0)T.與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為.分別取(x3,x4)T=(1,0)T,(0,1)T,得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系ξ1=(-9,1,7,0)T.ξ2=(1,-1,0,2)T.29.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知η1,η2,η3是它的三個(gè)解向量.且η1=(2,3,4,5)T,η2+η3=(1,2,3,4)T,求該方程組的通解.解由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是4,系數(shù)矩陣的秩為3,所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量,且由于η1,η2,η3均為方程組的解,由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)=(3,4,5,6)T為其基礎(chǔ)解系向量,故此方程組的通解:x=k(3,4,5,6)T+(2,3,4,5)T,(k∈R).30.設(shè)有向量組A:a1=(α,2,10)T,a2=(-2,1,5)T,a3=(-1,1,4)T,及b=(1,β,-1)T,問α,β為何值時(shí)(1)向量b不能由向量組A線性表示;(2)向量b能由向量組A線性表示,且表示式唯一;(3)向量b能由向量組A線性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.解.(1)當(dāng)α=-4,β≠0時(shí),R(A)≠R(A,b),此時(shí)向量b不能由向量組A線性表示.(2)當(dāng)α≠-4時(shí),R(A)=R(A,b)=3,此時(shí)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),而向量組a1,a2,a3,b線性相關(guān),故向量b能由向量組A線性表示,且表示式唯一.(3)當(dāng)α=-4,β=0時(shí),R(A)=R(A,b)=2,此時(shí)向量b能由向量組A線性表示,且表示式不唯一.當(dāng)α=-4,β=0時(shí),,方程組(a3,a2,a1)x=b的解為,c∈R.因此b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1,即b=ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3,c∈R.31.設(shè)a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T,c=(c1,c2,c3)T,證明三直線l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0,(ai2+bi2≠0,i=1,2,3)l3:a3x+b3y+c3=0,相交于一點(diǎn)的充分必要條件為:向量組a,b線性無關(guān),且向量組a,b,c線性相關(guān).證明三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組,即有唯一解.上述方程組可寫為xa+yb=-c.因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為c能由a,b唯一線性表示,而c能由a,b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a,b線性無關(guān),且向量組a,b,c線性相關(guān).32.設(shè)矩陣A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4線性無關(guān),a1=2a2-a3.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程Ax=b的通解.解由b=a1+a2+a3+a4知η=(1,1,1,1)T是方程Ax=b的一個(gè)解.由a1=2a2-a3得a1-2a2+a3=0,知ξ=(1,-2,1,0)T是Ax=0的一個(gè)解.由a2,a3,a4線性無關(guān)知R(A)=3,故方程Ax=b所對應(yīng)的齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中含一個(gè)解向量.因此ξ=(1,-2,1,0)T是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系.方程Ax=b的通解為x=c(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T,c∈R.33.設(shè)η*是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解,ξ1,ξ2,???,ξn-r,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:(1)η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r線性無關(guān);(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,???,η*+ξn-r線性無關(guān).證明(1)反證法,假設(shè)η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r線性相關(guān).因?yàn)棣?,ξ2,???,ξn-r線性無關(guān),而η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r線性相關(guān),所以η*可由ξ1,ξ2,???,ξn-r線性表示,且表示式是唯一的,這說明η*也是齊次線性方程組的解,矛盾.(2)顯然向量組η*,η*+ξ1,η*+ξ2,???,η*+ξn-r與向量組η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r可以相互表示,故這兩個(gè)向量組等價(jià),而由(1)知向量組η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r線性無關(guān),所以向量組η*,η*+ξ1,η*+ξ2,???,η*+ξn-r也線性無關(guān).34.設(shè)η1,η2,???,ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解,k1,k2,???,ks為實(shí)數(shù),滿足k1+k2+???+ks=1.證明x=k1η1+k2η2+???+ksηs也是它的解.證明因?yàn)棣?,η2,???,ηs都是方程組Ax=b的解,所以Aηi=b(i=1,2,???,s),從而A(k1η1+k2η2+???+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+???+ksAηs=(k1+k2+???+ks)b=b.因此x=k1η1+k2η2+???+ksηs也是方程的解.35.設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩為r,η1,η2,???,ηn-r+1是它的n-r+1個(gè)線性無關(guān)的解.試證它的任一解可表示為x=k1η1+k2η2+???+kn-r+1ηn-r+1,(其中k1+k2+???+kn-r+1=1).證明因?yàn)棣?,η2,???,ηn-r+1均為Ax=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,???,ξn-r=ηn-r+1-η1均為Ax=b的解.用反證法證:ξ1,ξ2,???,ξn-r線性無關(guān).設(shè)它們線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)λ1,λ2,???,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+???+λn-rξn-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+???+λn-r(ηn-r+1-η1)=0,12亦即-(λ+λ+???+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+???+λn-rηn-r+1=0,由η1,η2,???,ηn-r+1線性無關(guān)知-(λ1+λ2+???+λn-r)=λ1=λ2=???=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,???,ξn-r線性無關(guān).ξ1,ξ2,???,ξn-r為Ax=b的一個(gè)基礎(chǔ)解系.設(shè)x為Ax=b的任意解,則x-η1為Ax=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,???,ξn-r線性表出,設(shè)x-η1=k2ξ1+k3ξ2+???+kn-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+???+kn-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3???-kn-r+1)+k2η2+k3η3+???+kn-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3???-kn-r+1,則k1+k2+k3???-kn-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+???+kn-r+1ηn-r+1.36.設(shè)V1={x=(x1,x2,???,xn)T|x1,???,xn∈R滿足x1+x2+???+xn=0},V2={x=(x1,x2,???,xn)T|x1,???,xn∈R滿足x1+x2+???+xn=1},問V1,V2是不是向量空間？為什么？解V1是向量空間,因?yàn)槿稳ˇ?(a1,a2,???,an)T∈V1,β=(b1,b2,???,bn)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+???+an=0,b1+b2+???+bn=0,從而(a1+b1)+(a2+b2)+???+(an+bn)=(a1+a2+???+an)+(b1+b2+???+bn)=0,λa1+λa2+???+λan=λ(a1+a2+???+an)=0,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,???,an+bn)T∈V1,λα=(λa1,λa2,???,λan)T∈V1.V2不是向量空間,因?yàn)槿稳ˇ?(a1,a2,???,an)T∈V1,β=(b1,b2,???,bn)T∈V1,有a1+a2+???+an=1,b1+b2+???+bn=1,從而(a1+b1)+(a2+b2)+???+(an+bn)=(a1+a2+???+an)+(b1+b2+???+bn)=2,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,???,an+bn)T?V1.37.試證:由a1=(0,1,1)T,a2=(1,0,1)T,a3=(1,1,0)T所生成的向量空間就是R3.證明設(shè)A=(a1,a2,a3),由,知R(A)=3,故a1,a2,a3線性無關(guān),所以a1,a2,a3是三維空間R3的一組基,因此由a1,a2,a3所生成的向量空間就是R3.38.由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空間記作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空間記作V2,試證V1=V2.證明設(shè)A=(a1,a2),B=(b1,b2).顯然R(A)=R(B)=2,又由,知R(A,B)=2,所以R(A)=R(B)=R(A,B),從而向量組a1,a2與向量組b1,b2等價(jià).因?yàn)橄蛄拷Ma1,a2與向量組b1,b2等價(jià),所以這兩個(gè)向量組所生成的向量空間相同,即V1=V2.39.驗(yàn)證a1=(1,-1,0)T,a2=(2,1,3)T,a3=(3,1,2)T為R3的一個(gè)基,并把v1=(5,0,7)T,v2=(-9,-8,-13)T用這個(gè)基線性表示.解設(shè)A=(a1,a2,a3).由,知R(A)=3,故a1,a2,a3線性無關(guān),所以a1,a2,a3為R3的一個(gè)基.設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v1,則,解之得x1=2,x2=3,x3=-1,故線性表示為v1=2a1+3a2-a3.設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v2,則,解之得x1=3,x2=-3,x3=-2,故線性表示為v2=3a1-3a2-2a3.40.已知R3的兩個(gè)基為a1=(1,1,1)T,a2=(1,0,-1)T,a3=(1,0,1)T,b1=(1,2,1)T,b2=(2,3,4)T,b3=(3,4,3)T.求由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的過渡矩陣P.解設(shè)e1,e2,e3是三維單位坐標(biāo)向量組,則,,于是,由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的過渡矩陣為.第五章相似矩陣及二次型1.試用施密特法把下列向量組正交化:(1);解根據(jù)施密特正交化方法,,,.(2).解根據(jù)施密特正交化方法,,,.2.下列矩陣是不是正交陣:(1);解此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣.(2).解該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量,且兩兩正交,故為正交陣.3.設(shè)x為n維列向量,xTx=1,令H=E-2xxT,證明H是對稱的正交陣.證明因?yàn)镠T=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,所以H是對稱矩陣.因?yàn)镠TH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩陣.4.設(shè)A與B都是n階正交陣,證明AB也是正交陣.證明因?yàn)锳,B是n階正交陣,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交陣.5.求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);解,故A的特征值為λ=-1(三重).對于特征值λ=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是對應(yīng)于特征值λ=-1的特征值向量.(2);解,故A的特征值為λ1=0,λ2=-1,λ3=9.對于特征值λ1=0,由,得方程Ax=0的基礎(chǔ)解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是對應(yīng)于特征值λ1=0的特征值向量.對于特征值λ2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是對應(yīng)于特征值λ2=-1的特征值向量.對于特征值λ3=9,由,得方程(A-9E)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是對應(yīng)于特征值λ3=9的特征值向量.(3).解,故A的特征值為λ1=λ2=-1,λ3=λ4=1.對于特征值λ1=λ2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是對應(yīng)于特征值λ1=λ2=-1的線性無關(guān)特征值向量.對于特征值λ3=λ4=1,由,得方程(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1,0,0,1)T,p4=(0,1,1,0)T,向量p3和p4是對應(yīng)于特征值λ3=λ4=1的線性無關(guān)特征值向量.6.設(shè)A為n階矩陣,證明AT與A的特征值相同.證明因?yàn)閨AT-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,所以AT與A的特征多項(xiàng)式相同,從而AT與A的特征值相同.7.設(shè)n階矩陣A、B滿足R(A)+R(B)<n,證明A與B有公共的特征值,有公共的特征向量.證明設(shè)R(A)=r,R(B)=t,則r+t<n.若a1,a2,???,an-r是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,顯然它們是A的對應(yīng)于特征值λ=0的線性無關(guān)的特征向量.類似地,設(shè)b1,b2,???,bn-t是齊次方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系,則它們是B的對應(yīng)于特征值λ=0的線性無關(guān)的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,???,an-r,b1,b2,???,bn-t必線性相關(guān).于是有不全為0的數(shù)k1,k2,???,kn-r,l1,l2,???,ln-t,使k1a1+k2a2+???+kn-ran-r+l1b1+l2b2+???+ln-rbn-r=0.記γ=k1a1+k2a2+???+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+???+ln-rbn-r),則k1,k2,???,kn-r不全為0,否則l1,l2,???,ln-t不全為0,而l1b1+l2b2+???+ln-rbn-r=0,與b1,b2,???,bn-t線性無關(guān)相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的關(guān)于λ=0的特征向量,所以A與B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.設(shè)A2-3A+2E=O,證明A的特征值只能取1或2.證明設(shè)λ是A的任意一個(gè)特征值,x是A的對應(yīng)于λ的特征向量,則(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因?yàn)閤≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是說λ=1或λ=2.9.設(shè)A為正交陣,且|A|=-1,證明λ=-1是A的特征值.證明因?yàn)锳為正交矩陣,所以A的特征值為-1或1.因?yàn)閨A|等于所有特征值之積,又|A|=-1,所以必有奇數(shù)個(gè)特征值為-1,即λ=-1是A的特征值.10.設(shè)λ≠0是m階矩陣Am?nBn?m的特征值,證明λ也是n階矩陣BA的特征值.證明設(shè)x是AB的對應(yīng)于λ≠0的特征向量,則有(AB)x=λx,于是或B(AB)x=B(λx),BA(Bx)=λ(Bx),從而λ是BA的特征值,且Bx是BA的對應(yīng)于λ的特征向量.11.已知3階矩陣A的特征值為1,2,3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ,則?(1)=3,?(2)=2,?(3)=3是?(A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|?(A)|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12.已知3階矩陣A的特征值為1,2,-3,求|A*+3A+2E|.解因?yàn)閨A|=1?2?(-3)=-6≠0,所以A可逆,故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.令?(λ)=-6λ-1+3λ2+2,則?(1)=-1,?(2)=5,?(-3)=-5是?(A)的特征值,故|A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|?(A)|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13.設(shè)A、B都是n階矩陣,且A可逆,證明AB與BA相似.證明取P=A,則P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB與BA相似.14.設(shè)矩陣可相似對角化,求x.解由,得A的特征值為λ1=6,λ2=λ3=1.因?yàn)锳可相似對角化,所以對于λ2=λ3=1,齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解,因此R(A-E)=1.由知當(dāng)x=3時(shí)R(A-E)=1,即x=3為所求.15.已知p=(1,1,-1)T是矩陣的一個(gè)特征向量.(1)求參數(shù)a,b及特征向量p所對應(yīng)的特征值;解設(shè)λ是特征向量p所對應(yīng)的特征值,則(A-λE)p=0,即,解之得λ=-1,a=-3,b=0.(2)問A能不能相似對角化？并說明理由.解由,得A的特征值為λ1=λ2=λ3=1.由知R(A-E)=2,所以齊次線性方程組(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量.因此A不能相似對角化.16.試求一個(gè)正交的相似變換矩陣,將下列對稱陣化為對角陣:(1);解將所給矩陣記為A.由=(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩陣A的特征值為λ1=-2,λ2=1,λ3=4.對于λ1=-2,解方程(A+2E)x=0,即,得特征向量(1,2,2)T,單位化得對于λ2=1,解方程(A-E)x=0,即.,得特征向量(2,1,-2)T,單位化得對于λ3=4,解方程(A-4E)x=0,即.,得特征向量(2,-2,1)T,單位化得.于是有正交陣P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(-2,1,4).(2).解將所給矩陣記為A.由=-(λ-1)2(λ-10),得矩陣A的特征值為λ1=λ2=1,λ3=10.對于λ1=λ2=1,解方程(A-E)x=0,即,得線性無關(guān)特征向量(-2,1,0)T和(2,0,1)T,將它們正交化、單位化得,.對于λ3=10,解方程(A-10E)x=0,即,得特征向量(-1,-2,2)T,單位化得.于是有正交陣P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(1,1,10).17.設(shè)矩陣與相似,求x,y;并求一個(gè)正交陣P,使P-1AP=Λ.解已知相似矩陣有相同的特征值,顯然λ=5,λ=-4,λ=y是Λ的特征值,故它們也是A的特征值.因?yàn)棣?-4是A的特征值,所以,解之得x=4.已知相似矩陣的行列式相同,因?yàn)?,所以-20y=-100,y=5.對于λ=5,解方程(A-5E)x=0,得兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量(1,0,-1)T,(1,-2,0)T.將它們正交化、單位化得,.對于λ=-4,解方程(A+4E)x=0,得特征向量(2,1,2)T,單位化得.于是有正交矩陣,使P-1AP=Λ.18.設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=2,λ2=-2,λ3=1;對應(yīng)的特征向量依次為p1=(0,1,1)T,p2=(1,1,1)T,p3=(1,1,0)T,求A.解令P=(p1,p2,p3),則P-1AP=diag(2,-2,1)=Λ,A=PΛP-1.因?yàn)?所以.19.設(shè)3階對稱陣A的特征值為λ1=1,λ2=-1,λ3=0;對應(yīng)λ1、λ2的特征向量依次為p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,-2)T,求A.解設(shè),則Ap1=2p1,Ap2=-2p2,即,---①.---②再由特征值的性質(zhì),有x1+x4+x6=λ1+λ2+λ3=0.---③由①②③解得,,,,.令x6=0,得,x2=0,,,.因此.20.設(shè)3階對稱矩陣A的特征值λ1=6,λ2=3,λ3=3,與特征值λ1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1,1,1)T,求A.解設(shè).因?yàn)棣?=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1,1,1)T,所以有,即---①.λ2=λ3=3是A的二重特征值,根據(jù)實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)定理知R(A-3E)=1.利用①可推出.因?yàn)镽(A-3E)=1,所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3,解之得x2=x3=x5=1,x1=x4=x6=4.因此.21.設(shè)a=(a1,a2,???,an)T,a1≠0,A=aaT.(1)證明λ=0是A的n-1重特征值;證明設(shè)λ是A的任意一個(gè)特征值,x是A的對應(yīng)于λ的特征向量,則有Ax=λx,λ2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=λaTax,于是可得λ2=λaTa,從而λ=0或λ=aTa.設(shè)λ1,λ2,???,λn是A的所有特征值,因?yàn)锳=aaT的主對角線性上的元素為a12,a22,???,an2,所以a12+a22+???+an2=aTa=λ1+λ2+???+λn,這說明在λ1,λ2,???,λn中有且只有一個(gè)等于aTa,而其余n-1個(gè)全為0,即λ=0是A的n-1重特征值.(2)求A的非零特征值及n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.解設(shè)λ1=aTa,λ2=???=λn=0.因?yàn)锳a=aaTa=(aTa)a=λ1a,所以p1=a是對應(yīng)于λ1=aTa的特征向量.對于λ2=???=λn=0,解方程Ax=0,即aaTx=0.因?yàn)閍≠0,所以aTx=0,即a1x1+a2x2+???+anxn=0,其線性無關(guān)解為p2=(-a2,a1,0,???,0)T,p3=(-a3,0,a1,???,0)T,???,pn=(-an,0,0,???,a1)T.因此n個(gè)線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為.22.設(shè),求A100.解由,得A的特征值為λ1=1,λ2=5,λ3=-5.對于λ1=1,解方程(A-E)x=0,得特征向量p1=(1,0,0)T.對于λ1=5,解方程(A-5E)x=0,得特征向量p2=(2,1,2)T.對于λ1=-5,解方程(A+5E)x=0,得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3),則P-1AP=diag(1,5,-5)=Λ,A=PΛP-1,A100=PΛ100P-1.因?yàn)棣?00=diag(1,5100100,5),,所以.23.在某國,每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn),有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村,假設(shè)該國總?cè)丝跀?shù)不變,且上述人口遷移的規(guī)律也不變.把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1).(1)求關(guān)系式中的矩陣A;解由題意知xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn,yn+1=yn+pxn-qyn=pxn+(1-q)yn,可用矩陣表示為,因此.(2)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等,即,求.解由可知.由,得A的特征值為λ1=1,λ2=r,其中r=1-p-q.對于λ1=1,解方程(A-E)x=0,得特征向量p1=(q,p)T.對于λ1=r,解方程(A-rE)x=0,得特征向量p2=(-1,1)T.令,則P-1AP=diag(1,r)=Λ