第06講相似三角形的判定（第1課時）（八大題型）

學習目標

1、了解相似三角形的概念;

2、掌握相似三角形的判定-預備定理，判定定理1、

2；

3、會自主證明相似三角形的判定定理。

02思維導圖

03知識清單

La._

一、相似三角形

相似三角形：如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應相等，且它們各有的三邊對應成

比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形

在兩個相似三角形中，對應相等的角及其頂點分別是它們的對應角和對應頂點，以對應頂點為端點的

邊是它們的對應邊.兩個三角形是相似三角形，也可以表述為“兩個三角形相似”，或“一個三角形與另一個三角

210pr>r>A

形相似”.如在2L45C和AA'3'C'中，如乙4=N4,N3=N3',￡C=—=—=—=k,

A'B'B'CC'A'

我們就說AAFC與JM'B'C'相似，記作人就是它們的相似比，力”讀作，湘似于，’

【方法規(guī)律】①相似三角形的對應角相等、對應邊成比例.

②兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比（或相似系數(shù)）.

③當兩個相似三角形的相似比k=i時，這兩個相似三角形就成為全等三角形；全等三角形是相似三角

形的特例.

④設△ABC與△ABC的相似比為k,A人口。與4ABC的相似比為k\貝U就目

二、相似三角形的判定

①利用定義判定相似三角形

例△A8C與△OEF的各角度數(shù)和邊長如圖所示，則△ABC與△OEF能否相似？說明理由.

A

*。。\尸焉工

453

解：因為NA=70。，N3=60。，所以NC=50。.

因為N尸=60。，ZE=50°,所以NO=70。.

所以NA=NO,/B=/F,NC=NE

AB_3BC3AC_3.6_3

乂因為;而=',而=1，DE~2A~2f

Art

所以能=器=器.所以△ABCS^DFE.

Ur"UtL

【方法規(guī)律】判斷兩個三角形相似，一定要具備兩個條件：一是對應角相等，二是對應邊成比例.另

外在書寫兩個三角形相似時，一定要將對應的頂點寫在對應的位置上.

②預備定理

△ABC中，D是AB上任意一點，過D作DE〃:BC,交AC邊于E,那么△ADE與△ABC是否相似？

【分析】判斷它們是否相似，由①對應角是否相等，②對應邊是否成比例去考慮.能否得對應角相等？

根據(jù)平行線性質與一個公共角可以推出①，而對應邊是否成比例呢？可根據(jù)平行線分線段成比例的基本事

實，推得”=匹，通過度量發(fā)現(xiàn)匹="，所以可以判斷出△ADE與△ABC相似.

ACBCBCAB

思考（1）你能否通過演繹推理證明你的猜想？

（2）若是DE〃:BC,DE與BA、CA延長線交于E、D,那么△ADE與△ABC還會相似嗎？試試

看，如果相似寫出它們對應邊的比例式.

由DE〃:BC,得——=—=——（三角形一邊平行線的性質的推論），NADE=/B,/AED=NC.又

BCABAC

/口人￡=/：6人。因止匕4ADE^AABC.

【歸納結論】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相

似.

③.相似三角形判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三

角形相似.

分析相似三角形的預備定理，給我們提供了證明兩個三角形相似的一條思路和依據(jù).由此考慮移動其中

一個三角形，構造出具有預備定理的圖形特征的圖形，

④.判定定理2：如果兩個三角/\.邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.

類似證明判定定理1的分帛北線AB、AC上截取AD=ATBI,AE=AI。，構造△ADE,則

△ADE^AA!BICi如果所得圖形中有相似三角形預備定理條件中的平行線，那么這個圖形就具有預備

定理的圖形特征.

【方法規(guī)律】此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必

需是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.

【即學即練1】如圖，在VABC中，DE〃BC,AD=3,AE=2,BD=4.

求證：AADEs/\ABC；

【即學即練2】如圖，。是AC上一點，DE//AB,ZB=ZDAE.求證：7ABJNDAE.

【即學即練3】如圖，D、E分別是VABC的邊AB、AC上的點，AB=8,BD=5,AC=6,CE=2,求證:

AADES^ACB.

【即學即練4】如圖，AB=AC,^AADC,。在AC異側，且AD=CD,ZBAC=ZADC,E是BC延長

線上一點，連接AE交CD于點尸.求證：Z\ABC^AZMC.

【即學即練5】如圖，點E,歹分別在正方形ABC￡＞的邊BC,C￡＞上，BE=3,EC=6,CF=2.求證:

Z\ABEs/\ECF.

04題型精講

題型1:預備定理證三角形相似

【典例1].如圖，AB,CD相交于點O,AC|[2￡＞.：^OAC^AOBD

AC

O

DB

題型2：兩角對應相等證三角形相似

【典例2].已知：如圖，在AA8C和AAbC中，ZA=ZA\NB=/B'.求證：

【典例3].已知：如圖所示，AC,3。相交于點0,連接AB,C￡>,且ZAB￡>=ZACD,求證：^AOB^/\DOC.

【典例4].如圖，在RtAABC中，ZB=90°,點。在AC邊上，DE1AC交BC于點E.求證：△CDE^/\CBA.

【典例5].如圖，在Rt^AjSC中，ZACB=90°,CD_LAB于Z).

求證：Ss/xABC.

【典例6].如圖，D4_L4B于A,EBLAB^B,C是A8上的動點，若/DCE=90。.求證：&ACDsABEC

E

題型3：結合其他幾何知識，用兩角對應相等證三角形相似

【典例7].如圖，在等邊三角形A8C中，點分別在8C,上,且NAOE=60。.求證：AADC^^DEB.

【典例8].如圖，在AABC中，NABC=2NC,點E為AC的中點，AOLBC于點。，即延長后交48的

延長線于點尸，求證：AAEFS^ABC.

【典例9].如圖，RtAABC中，ZABC=90°,BFJ.AC于F,A。是/BAC的平分線，OG_LAZ)交AC于

G,AD與BF交于點E.

(1)求證：AABEfDCG

(2)△A5Z)~A_~/\_9AABE~^DCG

題型4：兩邊對應成比例且夾角相等證三角形相似

【典例10].已知：O、E是AABC的邊48、AC上的點，AB=8,AD=3,AC=6,AE=4,求證：Z\ABC^/\AED.

A

D,

E

BC

【典例11].如圖，在△ABC中，BC=8,AC=4,。是5C邊上一點，CD=2.求證△ABCs/MC.

【典例12].如圖，CE與BD交于點A,AC=2,AE=3,AB=4,AD=6,求證：△ADEs^ABC.

【典例13].如圖，尸是“LBC的邊A3上的一點.

(1)如果NAC尸=N5,ZVIC尸與AABC是否相似？為什么？

(2)如果二大==，2XAC尸與金。是否相似？為什么？如果算=*呢？

ACABCPAC

【典例14].如圖，已知E是AABC的中線AD上一點，且應PMEDS.求證：^ADC:ACDE.

【典例15].如圖，已知NBAE=/CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.

求證：AABCs/iAED.

D

A

B-------E----------------------C

【典例16].如圖，BD,CE分別是AC與A3邊上的高.

求證：AADES^ABC.

題型5：在特殊平行四邊形中證三角形相似

【典例17].如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，ZACD=ZABE.求證：^ABC^^AEB.

【典例18].如圖，已知正方形ABCD中，BE平分03C且交CD邊于點E,將ABCE繞點C順時針旋轉

到AOC尸的位置，并延長班交。產于點G.求證：

(1)ABDGSQEG；

Q)BGLDF.

【典例19].如圖，四邊形ABCD是正方形，點G為邊8上一點，連接AG并延長，交BC的延長線于點

F,連接3D交AF于點E,連接EC.求證：

⑴NDAE=NDCE；

⑵/XEGCSAECF.

題型6：添加一個條件使三角形相似

【典例20].如圖，在AABC中，AC>AB,點。在AC邊上（點。不與A,C重合）.若再增加一個條件

能使△ABDsaACB,則這個條件是；結合你所添加的條件，證明

[典例21].如圖，在AABC和VADE中，已知Z1=Z2,請你添加一個條件:,使△至Cc^AADE,

并說明理由.

【典例22].已知：如圖，AD,BC交于點、0,請?zhí)砑右粋€條件,使得AABOSACDO,然后再加

以證明.

【典例23].如圖，在AABC中，點。在AB上，連接8.請?zhí)砑右粋€條件一，使得△ACDS/VRC,然后

再加以證明.

A

題型7：能使三角形相似的條件綜合辨析

【典例24】.如圖，如果NBAZ）=NC4E,那么添加下列一個條件后，仍不能確定VAD￡與AABC相似的是

ABDEABAC

A.ZB=ZDB./C=ZAED

而一法^D~~AE

【典例25].如圖，在疑。中，。是AC上一點，下列給出的條件不能得出△AB0SA4CB的是（）

B.ZABD=ZACB

ABBC

C.AB2=ADACD.ZADB=ZABC

【典例26].如圖，下列條件能使△即小和△。尸。相似的有（）

ADAEAnBP

①/B=/C；②黑@ZADB=ZAEC；④——二

ACABABPC

C.4個D.5個

題型8：判斷與已知三角形相似的三角形個數(shù)

【典例27].如圖，在中，ZABC=90°,E、下分別為AC、8C的中點，連接政，以為AE的中

點，過點X作HOLAC,交BC于點D,連接DE,則與AABC相似（不含AABC）的三角形個數(shù)為（）

【典例28].如圖，在RtAABC中，ZACS=90°,。是A3邊的中點，APLCD于點E,交8C邊于點尸,

連接。尸，則圖中與"CE相似的三角形共有（）

C.4個D.5個

'P

05強化訓練

一、單選題

1.如圖，下列條件不能判定VABC與VADE相似的是（）

AEDE

A.——=——B.ZB=ZADEC.ZC=ZAED

ACAB~\C~~BC

2.下列命題是真命題的是（）

A.有一個角是36。的兩個等腰三角形相似

B.有一個角是45。的兩個等腰三角形相似

C.有一個角是60。的兩個等腰三角形相似

D.有一個角是鈍角的兩個等腰三角形相似

3.下列各組條件中，一定能推得入45。與△DEF相似的是（

ABBC口ABBC

A.--J&ZB=ZEB.--=---1aZA=ZE

EFDEEFDE

ABBC口ABBC

C.「；=丁且NA=NDD.——且aZA=ZE

DEEFDEEF

4.已知在VABC中，ZA=78。，AB=4,AC=6,下列陰影部分的三角形與原VABC不相似的是（

ARAB

■C

5.如圖，已知VABC與△￡）￡尸，下列條件一定能推得它們相似的是（）

A

AA

BCEF

A.NA=NDNB=/EB.NA=ND且=

DFEF

Art人「

C.ZA=NBND=NED.NA=ZE且——=——

DEDF

6.如圖，點P在VABC的邊AC上，添加一個條件可判定,其中添加不正確的是（）

B

CPA

ApARABAC

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.——=——D.

ABAC~AP~~CB

7.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、AB上的點，下列命題中，假命題是（）

C

AEB

AnnFAnA17

.若黑=笠，貝隈與相似

A.若:7；==，則AADE與AABC相似BADEAABC

AC￡>CDCEB

AriAp

C-%TAC,則與AMC相似D.若ZADE=ZB,貝SADE與AABC相似

8.如圖，分別以下列選項作為一個已知條件，不一定能得到△A02與△COD相似的是（）

AODOAOBOAODO

D.ZBAC=ZBDC

~co~Ho~co~15dHo~~co

9.如圖，在VABC中，NA8C=NC=ZB￡>C=NAED=72。.則圖中相似三角形共有（）

10.如圖，將VABC繞點3順時針旋轉，使得點A落在邊AC上，點A、C的對應點分別為。、E,邊DE

交3c于點尸，連接CE,下列兩個三角形不一定相似的是（）

A.ABAD與ABCEB.NBDF與AECF

C.ABAC與ABDED.ADBF與ACEB

二、填空題

11.圖中的兩個三角形是否相似，（填“是”或“否”）.

12.如圖，A3與C。相交于點O,連接AC,3。，添加一個條件,使.你添加的條件是

13.如圖，已知N1=N2,請?zhí)砑右粋€條件，使得△ABCSAADE.

14.點D在VABC的邊AB上，n.AC2=ADAB,貝IAABC?AACD,理由是

15.如圖，已知NA=/BCD=NE=60。，則圖中相似三角形是—.

16.已知：在VABC中，尸是上一點，連接CP,當滿足條件：ZACP=或NAPC=或AC?=

時，△ACPSA43C.

A

BC

17.如圖，E是口ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F,圖中對相似三角形.

E

18.如圖，△鈿。的頂