期末必刷題02熱考題與壓軸題（24題型76題）

盛型大裳合

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題型一幾何圖形的角度計(jì)算問(wèn)題題型十三解三元一次方程組及應(yīng)用

題型二根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求解題型十四整式/分式的化簡(jiǎn)求值

題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型十五整式的乘除與幾何圖形中的應(yīng)用

題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型十六配方法的應(yīng)用

題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用題型十七選用合適的方法分解因式

題型六利用平移的性質(zhì)求解題型十八因式分解的應(yīng)用

題型七與平行線有關(guān)的折疊問(wèn)題題型十九特殊方法分解因式

題型八平行線與三角板綜合題型二十分式加減的實(shí)際應(yīng)用

題型九與平行線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型二十一根據(jù)分式方程解的情況求解

題型十二元一次方程組的特殊解法題型二十二與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題

題型十一已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型二十三從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息

題型十二二元一次方程組的應(yīng)用題型二十四統(tǒng)計(jì)圖綜合

駁型大通關(guān)

題型一幾何圖形的角度計(jì)算問(wèn)題

1.“蒼南1號(hào)”是我國(guó)第一個(gè)平價(jià)海上風(fēng)電項(xiàng)目，服務(wù)于國(guó)家“雙碳”戰(zhàn)略，具有顯著的環(huán)境效益和經(jīng)

濟(jì)效益.如圖1所示，風(fēng)電機(jī)的塔架OP垂直于海平面，葉片。4,OB,OC可繞著軸心0旋轉(zhuǎn)，且

ZAOB=ZBOC=ZAOC.

B

C

A

P

圖1圖3

⑴如圖2,當(dāng)。4L0P時(shí)，求/BOP的度數(shù).

(2)葉片從圖3位置(Q4與。尸重合)開始繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后NAOP與乙BOP互補(bǔ)，則旋轉(zhuǎn)的

最小角度是多少度？

2.如圖，已知點(diǎn)4O、3在同一直線上，OCLOD,OE平分■NBOC.

⑴若々8=20。，求4OC和NDOE的度數(shù).

(2)若恰好平分ZBOE,求/BOD的度數(shù).

3.如圖，點(diǎn)。是直線砂上一點(diǎn)，射線(M,OB,OC在直線EP的上方，射線OD在直線EP的下方，且

OF平分/COD,OA±OC,OBVOD.

(1)若/OOP=40。，求—AO3的度數(shù)；

⑵若。4平分/BOE,求/O,的度數(shù).

題型二根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求解

4.如圖，已知AB1AC于點(diǎn)4ZC+ZEDC=90°.

(1)試說(shuō)明/54￡+/￡'=180。.(填空)

已知AB1AC,得NBAC=90。，所以NC+=90°,

又已知NC+N￡DC=90。，根據(jù),得ZB=/EDC,根據(jù),

得AB〃DE,根據(jù),得/比立+/石=180。.

⑵若NC=NEAC,NE=55。,求的度數(shù).

5.如圖，在三角形A3C中，E是AC上一點(diǎn)，EF//BC,交于點(diǎn)/，。是BC上一點(diǎn),

ZAFE=NCDE.

(1)DE與A3平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵若N3=130。，求ZDEF的度數(shù).

6.如圖，已知CD〃3E,Zl+Z2=180°.

(1)試問(wèn)—4FE與/ABC相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若ND=2NAEF,/1=136。，求O的度數(shù).

題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

7.如圖，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接OE,作NCW的角平分線分別交線段AD,0c于點(diǎn)/，點(diǎn)G,

已知AB〃CD,AD//BC.

(1)試說(shuō)明ABED=2ZDFE；

⑵若NB=105。，N￡>FE=28。，求NCDE的度數(shù).

8.如圖，AB//CD,E,尸分別是AB,C。上的點(diǎn)，EG平分/AEF交CD于點(diǎn)、G,GH平分NEGD交

EF于點(diǎn)、H.

(1)當(dāng)NA￡G=70。時(shí)，求N1的度數(shù);

⑵當(dāng)4=28。時(shí)，求N2的度數(shù).

（2）如圖②，連接30,若點(diǎn)￡,尸在線段上，且滿足=并且。E平分/4DF,求/EDB

的度數(shù)；（用含〃的代數(shù)式表示）

⑶如圖③，在（2）的條件下，將線段BC沿著射線的方向向右平移，當(dāng)NAED=NCB。時(shí)，求

的度數(shù).（用含加的代數(shù)式表示）

題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

10.已知：如圖，直線a〃6,點(diǎn)48分別是a,6上的點(diǎn)，APB是a,6之間的一條折線，且

ZAPB<90°,。是a,6之間且在折線APB左側(cè)的一點(diǎn).

⑴若Nl=30°,ZP=84°,貝iJ/2=度；

⑵若NQ的一邊與Bl平行，另一邊與PB平行，請(qǐng)?zhí)骄縉Q,Zl,N2間滿足的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由:

⑶若/。的一邊與以垂直，另一邊與尸3平行，請(qǐng)直接寫出/Q,Z1,22之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

11.【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”.

如圖1,已知點(diǎn)/是BC外一點(diǎn)，連接AB,AC.求/BAC+/B+/C的度數(shù).

解：過(guò)點(diǎn)力作即〃臺(tái)C,

AZB=,ZC=

又,:ZEAB+ABAC+ADAC=180°.

ZB+ZBAC+ZC=.

【問(wèn)題解決】（1）閱讀并補(bǔ)全上述推理過(guò)程.

【解題反思】從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將/胡C,/B,NC

“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決.

【方法運(yùn)用】（2）如圖2,已知BE、CE交于點(diǎn)￡,ZBEC=80°,求NB-NC的度數(shù).

（3）如圖3,若AB〃CD,點(diǎn)尸在AB,CD外部，請(qǐng)直接寫出—3,ND,一3尸￡）之間的關(guān)系.

12.如圖，已知AB〃CE）,分別探索下列四個(gè)圖形中/APC與—A,ZC的關(guān)系.

如圖③，ZAPC=；如圖④，ZAPC=.

⑵得到圖②結(jié)論的過(guò)程如下：（補(bǔ)足理由）

過(guò)9點(diǎn)作又?：XB"8、CD（同平行于第三條直線的兩直線平行）

?/PQ//AB,PQ//CD

：.ZAP。=,ZCPQ=（）

,/ZAPC=ZAPQ+ZCPQ（圖形性質(zhì)）

ZAPC=（等量代換）

⑶仿照（2）,在圖③、④中，選一個(gè)寫出得到結(jié)論的過(guò)程（給出理由）.

13.如圖，AB〃CD,點(diǎn)E、尸分別在直線AB,CD±,P為直線AB和CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

00<ZEPF<180°.

圖1圖2

圖3圖4

⑴如圖1,/EPF、ZAEP、/PfC之間的數(shù)量關(guān)系為

⑵如圖2,/EPF、ZAEP./PfC之間的數(shù)量關(guān)系為

⑶如圖3,QE,。尸分別平分/PEB和/P￡E),點(diǎn)P在跖左側(cè)，點(diǎn)。在EF右側(cè).

①若NEPF=60。,求/E。F的度數(shù).

②猜想規(guī)律：/EPP與/EQ尸的數(shù)量關(guān)系可表示為一.

③如圖4,若乙BEQ與乙DFQ的角平分線交于點(diǎn)2，與NOfQ的角平分線交于點(diǎn)。2，NBEQ?與

ZDFQ的角平分線交于點(diǎn)Q，……依此類推，則ZEPF與/EQzg尸的數(shù)量關(guān)系是二

題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

14.如圖1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸.如圖2是

手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知CG//EF,ZBAG=150°,ZAGC=80°,求

/。跖的度數(shù).

圖2

15.在學(xué)習(xí)完《相交線與平行線》后，同學(xué)們對(duì)平行線產(chǎn)生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識(shí)在班

級(jí)開展課題學(xué)習(xí)活動(dòng)，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

(1)【問(wèn)題初探】如圖1,ZCDF+ZDFE=1^Q°,ZC=ZDAE,求證：AD//BC.

(2)【拓展探究】在(1)的條件下，試問(wèn)/ADENAES與NDFE之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理

由.

(3)【遷移應(yīng)用】

①路燈維護(hù)工程車的工作示意圖如圖2,工作籃底部與支撐平臺(tái)平行，已知Zl=31。，則N2+N3=_；

②一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架與吊線尸G平行，燈桿CD與底部支架"所成銳角

a=15。，頂部支架所與燈桿CD所成銳角￡=45。，求取與FG所成銳角的度數(shù).

16.(1)如圖1,在48兩地間修一條筆直的公路，從/地測(cè)得公路的走向?yàn)楸逼珫|60。，如果4、8兩地

同時(shí)開工，直接寫出/a為多少度時(shí)，才能使公路準(zhǔn)確接通？

(2)如圖2,經(jīng)測(cè)量，8處在/處的南偏西56。的方向，。處在/處的南偏東17。的方向，C處在方處的北

偏東85。的方向，求NC的度數(shù).

17.【數(shù)學(xué)抽象】實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所

夾的銳角相等，如圖①，一束光線加射到平面鏡a上，被a反射后的光線為，則入射光線〃，反射光線〃

與平面鏡a所夾的銳角相等，即/1=N2.

(1)利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB,。是平行放置的兩面平面鏡，

請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線〃為什么和離開潛望鏡的光線〃是平行的？

(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)兩次反射后，入射光線"與反射光線〃之間的位置關(guān)系

會(huì)隨之改變.若入射光線〃與反射光線〃平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角/ABC為多少度？

題型六利用平移的性質(zhì)求解

18.如圖1,在AABC中，NC=70。，AABC的周長(zhǎng)為12cm,邊AB在直線/上，將AABC沿著直線/平移

得到ADEF,(A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。，E,F),

⑵如圖2,當(dāng)5CL的時(shí)，求乙BED的度數(shù)；

⑶在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)NBED=3NCB/時(shí)，則/BED的度數(shù)為

19.（1）觀察計(jì)算：如圖1,在5義5的網(wǎng)格中，將線段A3向右平移，得到線段49,連接A4"BB',

①線段48平移的距離是,

②四邊形ABBA:的面積為；

（2）動(dòng)手操作：如圖2,在5x5的網(wǎng)格中，將折線ACB向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到折線AC'?.

①面出平移后的折線AC的；

②連接A4'，BB'，多邊形ACB'BC'A的面積為；

［說(shuō)明：在正方形網(wǎng)格中，1個(gè)格長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度］

（3）類比探索：如圖3,在一塊長(zhǎng)為。米，寬為6米的長(zhǎng)方形草坪上，修建一條寬為小米的小路（小路寬

度處處相同），請(qǐng)直接寫出小路的面積.

20.在圖①中，將線段44向右平移1個(gè)單位得到線段月與，從而得到封閉圖形44與4（即陰影部

分）：在圖②中,將折線A&4向右平移1個(gè)單位得到折線用電員，從而得到封閉圖形444星與4（即陰

影部分）.

圖⑤

（1）圖①，圖②圖形中，除去陰影部分后，將剩余部分拼在一起就是如圖③的圖形，若剩余部分的面積分

別是際s2（圖①，圖②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)均為。個(gè)單位，寬均為％個(gè)單位），貝,邑=

S［（填“>”或“=”或“<”）；

(2)如圖④，一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地由一條彎曲的小路和草地組成.這條彎曲的小路(即陰影部分)任何地方的

水平寬度都是2m,除去小路部分后，空白部分表示的草地的圖形可拼在一起形成一個(gè)正方形，若這個(gè)正

方形的面積是70m二則原長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為m,寬為m?

(3)如圖⑤，一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地由兩條彎曲的小路(陰影部分)和草地組成.豎直方向小路任何地方的水平

寬度都是2m,水平方向小路任何地方的豎直寬度都是1m.除去小路部分后，空白部分表示草地的圖形拼

在一起形成一個(gè)長(zhǎng)方形，且這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，面積是70mz.計(jì)劃用不超過(guò)5100元的總費(fèi)用將

兩條小路改鋪成鵝卵石路面，若每平方米路面的鋪設(shè)費(fèi)用(人工費(fèi)+材料費(fèi))約為200元，請(qǐng)問(wèn)總預(yù)算

5100元夠嗎？并說(shuō)明理由.

題型七與平行線有關(guān)的折疊問(wèn)題

(1)若/￡＞跖=30。，求NCFG的度數(shù)；

⑵若/DEF=n。,則NCfG的度數(shù)為(直接寫出結(jié)果).

22.如圖1,將一條對(duì)邊互相平行的紙條進(jìn)行兩次折疊，第一次折疊的折痕為A8,且4=25。，第二次折

疊的折痕為CD.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,若CD〃AB,則/2=.

⑵如圖3,若CD〃BE,則/2=.

23.如圖，已知四邊形紙片ABC。的邊AB〃CD,E是邊CO上任意一點(diǎn)，沿仍折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)

F的位置.

圖①圖②圖③

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：NC=60。，NFED=45。,則.

(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)下落在四邊形ABC。的內(nèi)部，探究/FED,ZABF,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明；

(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)廠落在邊C。的上方，則(2)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成

立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.

題型八平行線與三角板綜合

24.如圖①所示的是一副三角尺，ZC=ZF=90°,ZA=ZB=45°,ZD=30°,ZE=60°.

(1)將兩個(gè)三角尺按如圖②所示的方式擺放，使點(diǎn)A與點(diǎn)下重合，點(diǎn)E在直角邊AC上，斜邊AB與斜邊

DE相交于點(diǎn)G,求ZBGD的度數(shù)；

⑵如圖③，將三角尺ABC的直角頂點(diǎn)放在直線上，^AB//MN,三角尺DEF的頂點(diǎn)E在直線MN

上，直角邊。尸與斜邊A8相交于點(diǎn)尸，則ZDEM與乙有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)直線〃尸Q,三角板ABC和三角板DE尸按照?qǐng)D④所示放置，直角頂點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，并且在直線

PQ上，直角頂點(diǎn)p在直線上，NPDF=30。,直角邊與DF重合.若將三角板ABC繞點(diǎn)。以每秒

6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將三角板DE尸繞點(diǎn)。以每秒18。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒

(0<?<15).在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)邊AB與三角板的一條邊平行時(shí)，求出所有滿足條件的/的值.

25.綜合與探究：

將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中/A=30。，-3=60。，ZD=ZE=45°.

AAA

(備用圖1)(備用圖2)

(1)若ZBCD=110。，求NACE的度數(shù);

⑵求證ZBCD+ZACE=180°；

(3)若按住三角板ABC不動(dòng)，三角板。CE繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)一周，當(dāng)CE〃AB時(shí)，直接寫出NACE的度數(shù).

26.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課，同學(xué)們用一副直角三角板(分別記為三角形ABC和三角形DE尸，其中

NBAC=/EDF=90°,/ABC=30°,NDEF=ZDFE=45°,S.AC<DE）開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

圖3

操作發(fā)現(xiàn):

⑴如圖1,將三角形ABC沿方向移動(dòng)，得到三角形44G，AB〃M，如果BC=5,瓦C=2,那么

CC,=；

(2)將這副三角板如圖2擺放，并過(guò)點(diǎn)E作直線。平行于邊BC所在的直線6,點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，則N1的度

數(shù)為度(直接寫出結(jié)果)；

(3)在(2)的條件下，如圖3,固定三角形”產(chǎn)，將三角形ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判

斷直線BC和直線6是否垂直，并說(shuō)明理由.

題型九與平行線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

27.如圖，射線連接AB,點(diǎn)尸是射線40上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，BC,8。分別平

分/和/PBN,分別交射線A〃于點(diǎn)C,D.

⑴當(dāng)NA=60。時(shí)，求證：NCBD=ZA；

(2)用含/4的式子表示NCBD為(直接寫出答案)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZAPS與加汨之間的數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)寫出它們關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

28.如圖，AB//CD,定點(diǎn)E,尸分別在直線AB,CD上，在平行線AB,C￡＞之間有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足

0°<ZEPF<180°.

F

圖1圖2

(1)試問(wèn)NAEP,乙EPF,/PRC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解：由于點(diǎn)P是平行線AB,C。之間有一動(dòng)點(diǎn)，因此需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在

E尸的左側(cè)時(shí)，ZAEP,ZEPF,/P"滿足數(shù)量關(guān)系為,如圖2,當(dāng)尸點(diǎn)在E尸

的右側(cè)時(shí)，ZAEP,NEPF,/PfC滿足數(shù)量關(guān)系為.

⑵如圖3,QE,Q尸分別平分/PEB和/PED,且點(diǎn)尸在所左側(cè).

①猜想NEP尸與/的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖4,若4陽(yáng)2與NOPQ的角平分線交于點(diǎn)9，與NDFQ的角平分線交于點(diǎn)。-NBEQ?與

ZDPQ的角平分線交于點(diǎn)Q；此次類推，則NEPF與NE2025歹滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出結(jié)果)

29.已知，AB//CD,點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)H為一動(dòng)點(diǎn).

⑴如圖1,當(dāng)H在與C。之間時(shí)，點(diǎn)廠在48上，連接FE、EH、HG,若ZAGH=NFED,求證：

HG//EF.

⑵如圖2,在(1)的條件下，F(xiàn)K平分NAFE交CD于點(diǎn)、K,EH//KF,GM平分/HGB,且有

ZKFE:ZMGH=m:n.

①當(dāng)〃2=7,〃=3時(shí)，求/GHE的度數(shù)；

②當(dāng)EM平濟(jì)ZHED,GM,交于點(diǎn)M時(shí)，若/GME=54。,求加：〃的值.

(3)如圖3,當(dāng)〃在AB上方，EH交AB于點(diǎn)F,NAG8的角平分線的反向延長(zhǎng)線和NDEH的角平分線相

交于點(diǎn)M,NBGM的角平分線和ZDEM的角平分線相交于點(diǎn)依此類推，請(qǐng)論證與/”之間的數(shù)

量關(guān)系，并直接寫出N"與/加"的數(shù)量關(guān)系（用含〃的式子表示）

題型十二元一次方程組的特殊解法

4尤+3>,6尤一y

38

30.情境珍珍在學(xué)習(xí)解二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題，解方程組：

4x+3y+6x-y_]]

62

嘗試（1）若用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò).如果把方程組的（4x+3y）

看成一個(gè)整體，把（6x-y）看成一個(gè)整體，通過(guò)換元法，可以解決問(wèn)題，具體如下.

請(qǐng)將下面解題過(guò)程補(bǔ)充完整.

m=18

解：設(shè)4x+3y=〃z,6x-y=n,則原方程組可化為,解關(guān)于加，〃的方程組，得“，所以

72=16

4x+3y=18

/“解這個(gè)方程組，得

6x—y=16

3（2x+y）-2（x-2y）=26

應(yīng)用（2）利用上述方法解方程組

2（2x+y）+3（x-2y）=13

31.閱讀下列一段材料，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元

法，就是解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.換元

的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元.

1+1=12

XV設(shè)片,1一m+n=12

例如解方程組2:則原方程組可化為2根+〃=2。,解化簡(jiǎn)之后的方程組得

x

—+—=20

1％y

-=8x=-

即:，所以原方程組的解為:

運(yùn)用以上知識(shí)解決下列問(wèn)題:

12八

—I—=2

；的解.

（1）求方程組2

—I—=4

xy

3x+5y=Ux=23（x-2）+5（y+l）=ll

（2）關(guān)于x,y二元一次方程組辦+1”12的解為■「則方程組°（尤-2）+11（"1）=12的觸力

）=1

3.2X+2-3?+1=111

(3)舉一反三：方程組<的解為一.

2x+'+2-y=86

題型十一已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)

32.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次方程組的問(wèn)題:

3x+4y=3①

已知關(guān)于x,J的二元一次方程組的解滿足2x+3y=l③，求機(jī)的值.

x+2y—2-3m(2)

將①③聯(lián)立可得一哈哈！直接將

個(gè)新的不含機(jī)的二①+②可以更簡(jiǎn)

元一次方程組.便地求出加的值[X

小云小輝

(1)按照小云的方法，尤的值為,y的值為

⑵請(qǐng)按照小輝的思路求出加的值.

\2x+3y=m

33.若方程組Q。的解滿足1->=5,求加的值.

[3x+5y=m+2

(3x+2y=2m

34.如果關(guān)于筋p的二元一次方程組:‘的解互為相反數(shù)，求〃的值.

[x-y=3m+5

[3x—y=7[x-\-by=a

35.若方程組,J和方程組.'。有相同的解.

+y=b[2x+y=8

(1)求方程組正確的解.

⑵求a,6的值.

題型十二二元一次方程組的應(yīng)用

36.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車4s

店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售.據(jù)了解，購(gòu)進(jìn)2輛A型新能源汽車、3輛3型新能源汽車共需85萬(wàn)

元；購(gòu)進(jìn)3輛A型新能源汽車、2輛8型新能源汽車共需90萬(wàn)元.

(1)問(wèn)A、8兩種型號(hào)的新能源汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬(wàn)元？

(2)若該公司計(jì)劃正好用180萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車(兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出

符合要求的購(gòu)買方案.

(3)銷售1輛A型汽車可獲利1.8萬(wàn)元，銷售1輛B型汽車可獲利1.2萬(wàn)元.假如這些新能源汽車全部售

出，在(2)中的購(gòu)買方案中，哪種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

37.初春是甲型流感病毒的高發(fā)期.為做好防控措施，某校欲購(gòu)置規(guī)格為200mL的甲品牌消毒液和規(guī)格為

500mL的乙品牌消毒液若干瓶.已知購(gòu)買1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；購(gòu)買3瓶甲

品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元.

⑴求甲、乙兩種品牌消毒液每瓶的價(jià)格.

(2)若該校需要購(gòu)買甲、乙兩種品牌消毒液總共4000mL,則需要購(gòu)買甲、乙兩種品牌消毒液各多少瓶(兩

種消毒液都需要購(gòu)買)？請(qǐng)求出所有的購(gòu)買方案.

(3)若該校采購(gòu)甲、乙兩種品牌消毒液共花費(fèi)5000元，該校在校師生共1000人，平均每人每天都需使用

10mL的消毒液，則這批消毒液可使用多少天？

38.某校七年級(jí)為了表彰“數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平測(cè)試”中表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)，準(zhǔn)備用480元錢購(gòu)進(jìn)筆記本作為獎(jiǎng)

品.若A種筆記本買20本，B本筆記本買30本，則錢還缺40元；若A種筆記本買30本，8種筆記本買

20本，則錢恰好用完.

(1)求人，B兩種筆記本的單價(jià)；

(2)由于實(shí)際需要，需要增加購(gòu)買單價(jià)為6元的C種筆記本若干本.若購(gòu)買A,B,C三種筆記本共75本

(每種筆記本都有購(gòu)買)，錢恰好全部用完，求A種筆記本購(gòu)買了多少本.

39.某廣告公司要利用長(zhǎng)為240cm、寬為40cm的KT板裁切甲、乙兩種廣告牌，已知甲廣告牌尺寸為

40cmx15cm,乙廣告牌尺寸為40cmx35cm.

40cm

甲15cm

735cm

40cm

⑴若該廣告公司用1塊KT板裁切出的甲廣告牌的數(shù)量是乙廣告牌的數(shù)量的3倍，在不造成板材浪費(fèi)的前

提下，求此時(shí)裁切出的甲、乙廣告牌的數(shù)量；

⑵求1塊K7板的所有無(wú)浪費(fèi)裁切方案；

(3)現(xiàn)需要甲、乙兩種廣告牌各500塊，該公司倉(cāng)庫(kù)已有488塊乙廣告牌，還需要購(gòu)買該型號(hào)板材多少塊

(恰好全部用完)？寫出購(gòu)買數(shù)量，并說(shuō)明如何裁切.

題型十三解三元一次方程組及應(yīng)用

3x+2y-z=1①

40.解方程組：,x+y+z=6②

2%-y+z=2③

41.某次智力競(jìng)賽共有3題：第一題30分，第二題30分，第三題40分.每題只有兩種情況：答對(duì)得滿

分，答錯(cuò)得0分.結(jié)束后統(tǒng)計(jì)如下：

(1)答對(duì)3題的有4人，答對(duì)2題的有17人，3題全錯(cuò)的有5人；

(2)答對(duì)第一題與答對(duì)第二題的人數(shù)之和是44,答對(duì)第二題與答對(duì)第三題的人數(shù)之和是36,答對(duì)第一題

與答對(duì)第三題的人數(shù)之和是40.

求這次智力競(jìng)賽的平均成績(jī).

題型十四整式/分式的化簡(jiǎn)求值

42.先化簡(jiǎn)，再求值：2a2(a+l)+6a^——a2-a+2^j,其中a=—1

43.先化簡(jiǎn)，再求值：［(x+2y)(x-2y)-3(2/-孫)+4丁［+］一;X),其中x=l,y=2.

44.先化簡(jiǎn)，再求值：/一會(huì)］十2“丁，，其中從-2、0、2中選一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求

值.

45.先化簡(jiǎn)，再求值：f咚+丁匚，其中7^?+0-2)2=0.

a-bb-a

題型十五整式的乘除與幾何圖形中的應(yīng)用

46.如圖1,在長(zhǎng)方形ABCZ)中放入邊長(zhǎng)分別為。和6的兩張正方形紙片，AE=a,CI=b,陰影部分面積

分別記為E，邑.

①KI=,GD=,HL=(用含。，b,c的式子分別表示)；②若

S、=S。,試證明：—H—=—；

abc

⑵如圖3,若a=6,且，=邑，試探究長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)C1和正方形AEFG的周長(zhǎng)C2之間的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

47.從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖

2).

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是一(請(qǐng)選擇正確的一個(gè))

A.a?—2clb+—b)

B,a2-b2=(〃+/?)(〃一/7)

C.a?+〃b=a(a+/7)

⑵應(yīng)用你從⑴選出的等式，完成下列各題：

①已知/―4V=12,x+2y=4f求x-2y的值.

②計(jì)算：［1一一一—1

48.圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為26的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀

拼成一個(gè)正方形.

⑴觀察圖2,請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式(a+b)2,(a-b)2,仍之間的等量關(guān)系為.

(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若0、〃為實(shí)數(shù)，且〃第=-3,機(jī)-〃=4,試求〃?+”的值.

⑶如圖3,點(diǎn)，是線段A3上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)43=8,兩正方形的面積和

H+邑=28,求圖中陰影部分面積.

題型十六配方法的應(yīng)用

49.閱讀材料：在求多項(xiàng)式/+4x+8的最小值時(shí)，小明的解法如下：

爐+4x+8=d+4尤+4+4=(尤+2)2+4,因?yàn)?元+2『20,所以(x+2)'+4?4,即龍？+4x+8的最小值為

4.請(qǐng)仿照以上解法，解決以下問(wèn)題：

⑴求多項(xiàng)式2d+16X+20的最小值；

(2)猜想多項(xiàng)式-尤2+12元-25有最大值還是最小值，并求出這個(gè)最值.

50.在學(xué)習(xí)了乘法公式“,±6)2=/±2必+廿"的應(yīng)用后，李老師提出問(wèn)題：

求代數(shù)式-Y+2X+2的最大值.同學(xué)們經(jīng)過(guò)探索、合作交流，最后得到如下的解法：

解：一丁+2工+2=—(無(wú)2—2彳+12-12)+2=一(彳一1)2+3

V-(^-l)2<0,-(X-1)2+3<3

當(dāng)-(x—1)2=0時(shí)，—(無(wú)一+3的值最大，最大值為3

—%2+2x+2的最大值是3.

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列問(wèn)題：

⑴求代數(shù)式-V-6y+2的最大直

⑵求代數(shù)式-2a°+8a-3的最大值.

(3)若/一3x+y-10=0,求V—x的最大值.

題型十七選用合適的方法分解因式

51.利用分解因式簡(jiǎn)便運(yùn)算：3.28?-L28X6.56+L28，

52.因式分解:

(1)-2a4+4a2-2;

(2)25(a+36)~(尤+y)+9(3a-Z?)~(-x-y).

53.因式分解:

(1)16(a—6y—9(a+6)~；

(2)4(a+Z?)2-n(ab+b2)+9b2.

題型十八因式分解的應(yīng)用

54.(1)已知。,瓦。是三角形ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足儲(chǔ)+及—10“一126+61=0,求三角形ABC的最長(zhǎng)邊c

的取值范圍；

(2)已知。1,c是三角形ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足片+62+02+50=6°+86+10°,求三角形ABC的周長(zhǎng).

55.某串聯(lián)電路中電流/(單位：A)、電阻&、&、R3(單位：。)、時(shí)間f(單位：s)與熱量Q(單

222

位：J)有下列關(guān)系:Q=IRtt+IR2t+IR3t,如圖，0/=0.6,用=32.7,居=42.4,居=24.9,t=3

時(shí)，求電流流經(jīng)電阻所產(chǎn)生的熱量。.

RiR2Ra

—>—I-

56.已知<7-6=7,ab=-6.

⑴求Y+/的值;

⑵求a%-ab2的值;

⑶求a+b的值

57.求證：對(duì)于任意整數(shù)鼠，多項(xiàng)式("+6)2-(“-2)2的值都能被16整除.

58.在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出問(wèn)題：如何將代數(shù)式d-8x+7進(jìn)行因式分解呢？小季同學(xué)經(jīng)過(guò)思考后作

如下解答：

X?—8.x+7=尤?-8x+16-16+7=(x?—8x+16)-9

=(X-4)2-32=(X-4+3)(X-4-3)=(X-1)(X-7)

小戴同學(xué)在仔細(xì)研讀上述解答過(guò)程后，獲得如下結(jié)論：--8X+7=(X-4)2-9,在代數(shù)式(X-4)2-9中，

(x-4)220,即無(wú)論x取何值，(x-4)2都大于等于0,所以(x-4)~-92-9,則x?-8x+7有最小值為-9.

⑴請(qǐng)仿照小季的解答過(guò)程，將代數(shù)式蘇一14機(jī)+24分解因式；

⑵求代數(shù)式-租2+12機(jī)一18的最大值.

題型十九特殊方法分解因式

59.閱讀：換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.下面是對(duì)多項(xiàng)式

(%2-2x)，-2x+2)+1進(jìn)行因式分解的解題思路：

將“尤2_2尤”看成一個(gè)整體，設(shè)/一2x=m,

則：m(m+2)+l—m2+2m+l—(m+l)2

再將“m”還原為“％2—2/即可.

解題過(guò)程如下：

解：設(shè)——2x=7",

貝U：原式=加(機(jī)+2)+1=nr+2m+1=(m+1)"=(x2—2x+l)

問(wèn)題：

(1)以上解答過(guò)程因式分解的結(jié)果是否徹底？如果沒有徹底，請(qǐng)寫出完整的解答過(guò)程；

⑵請(qǐng)你模仿以上方法，將多項(xiàng)式(爐+6x)(/+6x+18)+81進(jìn)行因式分解.

60.閱讀下列材料：

將爐+2》-35分解因式，我們可以按下面的方法解答：

解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：Y=x.x,-35=(-5)x(+7).

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：

=>7『5x=2x.

、+7

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑?2+2X-35=(X+7)(^-5).

我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.

試用上述方法分解因式：

⑴尤2+5x+4;

(2)x2—6x—l；

61.八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將2a-3M-4+66因式分解.同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組合

作交流，得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2。-3a6)-(4-63

=a(2-36)-2(2-36)=(2-36)(。-2).

解法二：原式=(2。-4)一(3。匕一6勿

=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).

小明由此體會(huì)到，對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式

法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的，這種方法可以稱為分組分解法(溫馨提示：因式分解一定要分解

到不能再分解為止).請(qǐng)你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解.

(1)因式分解：2x2+4%-xy-2y；

⑵因式分解：x1-a2+x+a;

(3)因式分解：ax+a2-lab-bx+b1.

題型二十分式加減的實(shí)際應(yīng)用

62.小明在探究并聯(lián)電阻的總電阻時(shí)，發(fā)現(xiàn)：總電阻R(C)的倒數(shù)等于各并聯(lián)電阻凡，&的倒數(shù)和，即

111

—=--1--

RRxR2'

(1)請(qǐng)用含印和與的式子表示及&.

⑵若Ri，旦均為正整數(shù)，探究與，凡分別取多少Q(mào)時(shí)，總電阻A恰好為2Q?

63.從甲地到乙地有兩條路，每條路的長(zhǎng)度都是3km,其中第一條路是平路，第二條有1km的上坡路、

2km的下坡路.小強(qiáng)在上坡路上的騎車速度為.xkm/h,在平路上的騎車速度為2xkm/h,在下坡路上的騎車

速度為3xkm/h.

⑴當(dāng)小強(qiáng)走第二條路時(shí)，他從甲地到乙地需要多少時(shí)間？

(2)他走哪條路花費(fèi)時(shí)間少？少用多少時(shí)間？

64.【閱讀理解】“作差法”是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法之一：比較代數(shù)式M,N的大小，作差

M-N,若M-N>4,則A/>N；若M—N=G,則"="；若則A/<N.

【方法應(yīng)用】(I)若試比較四與n-L巴1■%+的2大??；

【解決問(wèn)題】(2)嘉嘉和琪琪兩次購(gòu)物均買了同一種商品，嘉嘉兩次都買了機(jī)kg該商品，琪琪兩次購(gòu)買該

商品均花費(fèi)〃元.已知第一次購(gòu)買該商品的價(jià)格為。元/kg,第二次購(gòu)買該商品的價(jià)格為匕元/kg(。力均是

整數(shù)，且請(qǐng)用作差法比較嘉嘉和琪琪兩次所購(gòu)買商品的平均價(jià)格的高低.

題型二十一根據(jù)分式方程解的情況求解

36ITIX

65.已知，關(guān)于工的方程：-+--=---.

x+1x-1(x+l)(x-l)

(1)若方程無(wú)解，求加的取值；

⑵若方程的解為整數(shù)，求整數(shù)加的值.

66.關(guān)于x的分式方程*+含3

x+2

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程有增根;

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程無(wú)解.

67.已知關(guān)于x的分式方程==2-JL.

x—33—x

(1)若加表示的數(shù)是2,解這個(gè)分式方程；

(2)查詢發(fā)現(xiàn)正確答案為“原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中優(yōu)代表的數(shù)是多少.

題型二十二與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題

68.閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可以化

為帶分?jǐn)?shù)，如：3=等=2+|=2|.我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)

大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分

丫2

式”.如一X—]，這樣的分式就是假分式；再如：—3,。2Y這樣的分式就是真分式.類似的，假

x+1x-1x+1x+1

分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式)，如二1=也止2=1一二

x+1x+lX+1

解決下列問(wèn)題：

(1)分式」■是—(填“真分式”或“假分式”)；

(2)將假分式，十+'一」化為帶分式；

x+2

(3)先化簡(jiǎn)主堂一五士zL,并求X取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

x-1xx-3x

69.已知a,6均為不等于0的實(shí)數(shù)，我們定義新運(yùn)算“※”：?！岸?:-4.例如：

abab

j_1__1_

2X1==1

21-2^1

⑴驗(yàn)證新運(yùn)算“※”是否滿足乘法交換律？若滿足，請(qǐng)寫出推導(dǎo)過(guò)程；若不滿足，請(qǐng)舉反例說(shuō)明.

⑵計(jì)算：2024X2025.

3

(3)當(dāng)。=2時(shí)，若。※x=],嘗試求出x的值.

70.定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個(gè)分式為“和諧

分式”.如：上彳=y+。=1+。，則M是“和諧分式”.

x-1x-1x-1x-1x-1x-1

(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是;(只填序號(hào))

①個(gè)；②*;③*;

xxx+12x-l

(2)將“和諧分式”人-2x+2化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式:人-2》+2=____.

X—1X—1

SYx—1丫2_1_

(3)判斷至一口的結(jié)果是否為，，和諧分式”，并說(shuō)明理由.

x+1XX-lx

題型二十三從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息

71.下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖反映的是某超市5月份甲、乙兩種洗衣粉的銷售情況和顧客滿意情況.

第

第

第

第

一

二

三

四

周

周

周

周

看圖回答以下問(wèn)題：

⑴從折線統(tǒng)計(jì)圖看出甲的最大周銷售量是,在第周達(dá)到；乙的最大周銷量是，在

第周達(dá)到.

(2)從折線統(tǒng)計(jì)圖看出______的銷量在整體提升；從條形統(tǒng)計(jì)圖看出_______的滿意情況不好.

(3)通過(guò)觀察兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，顧客滿意度和洗衣粉的銷售量有何關(guān)系？

72.某校為了了解初二學(xué)生寒假期間參加體育鍛煉的天數(shù)，隨機(jī)抽取了部分初二學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并繪制了

如下的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖(部分信息未給出)，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：