第15講正弦、余弦及其特殊角的銳角三角比的值（六大題型）

02思維導(dǎo)圖

廠1.直角三角形的性質(zhì)（續(xù)）

一一2.正弦'余弦的概念

I3.特殊角的正弦、余弦的銳角三角比的值

r題型1：正弦、余弦的概念

/題型2:求銳角的正弦、余弦值

L題型3：特殊角的正弦、余弦的銳角三角比的值

J題型4:已知特殊角的正弦、余弦的銳角三角比的值，求該角

'題型5:根據(jù)特殊角的正弦、余弦的銳角三角比的值，判斷三角形的形狀

題型6:同角、互余角的正弦、余弦的關(guān)系

03知識(shí)清單

一、直角三角形中30。角的性質(zhì)（續(xù)）

ZA=30°,設(shè)邊長(zhǎng)a的長(zhǎng)度為m

勾股定理+直角三角形30°角性質(zhì)

二、銳角的三角比一正弦、余弦

I、先看特殊情景:

O1

①在R3ABC中,NC=90o,NA=30,則—=—

c2

銳角/的對(duì)邊

給定一個(gè)銳角一個(gè)確定值

A直角三角形的斜邊

bJ3

②在RtAABC中,NC=90o,NB=60,則-=——

c2

銳角8的對(duì)邊

給定一個(gè)銳角一個(gè)確定值

B直角三角形的斜邊

思考：對(duì)于一個(gè)直角三角形，如果給定了它的一個(gè)銳角的大小，那么它的對(duì)邊與斜邊的比值是否是一個(gè)確

定的值？

II、再看一般情景：

如圖所示，任意畫一個(gè)銳角A,在角A的一邊上任意取點(diǎn)，例如取Bi、B?、B3三點(diǎn)，再分別過(guò)這三個(gè)點(diǎn)向另

一邊作垂線，垂足依次為點(diǎn)Ci、C2、C3,從而得到三個(gè)直角三角形，即AABiCi、AAB2c2和AAB3c3

因?yàn)檫@三個(gè)直角三角形有公共的銳角A,所以△ABCis△AB2c2s△AB3c3

于是得生&B2c°B3c3

可AB】AB2AB3

由此可見，如果給定直角三角形的一個(gè)銳角，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的長(zhǎng)度的比值就是一個(gè)確定的數(shù).

m、

如圖，當(dāng)直角三角形中一個(gè)銳角的大小變化時(shí)，這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的長(zhǎng)度的比值隨著變化嗎？

提示：比較/ADC、NAEC的對(duì)邊與斜邊的比值來(lái)確定是否變化。

IV、

通過(guò)上面的討論，可以得到：如凰在R3ABC中（NC=90。）,當(dāng)銳角A的大小確定后，不論R3ABC

的邊長(zhǎng)怎樣變化，/A的對(duì)邊BC與斜邊AB的比值總是確定的，即

銳角的對(duì)邊

4=一個(gè)確定值

直角三角形的斜邊

A

我們把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦.銳角A的正弦記作sinA,

同理，在R3ABC中（NC=90。）,當(dāng)銳角A的大小確定后，不論RtAABC的邊長(zhǎng)怎樣變化，NA的鄰邊

BC與斜邊AB的比值也總是確定的

我們把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦.銳角A的余弦記作cosA,

4銳角A的鄰邊ACb

斜邊ABc

V、

任何一個(gè)銳角的正弦、余弦的值都是正實(shí)數(shù)，且正弦和余弦的值小于i（為什么?）.

0<sinA<1,0<cosA<l.

提示：我們可以畫一個(gè)三角形，已知NC=90。，當(dāng)銳角A無(wú)限接近90。時(shí)，a無(wú)限接近c(diǎn),b無(wú)限接近0；

當(dāng)銳角A無(wú)限接近0。時(shí)，b無(wú)限接近c(diǎn),a無(wú)限接近0

銳角的三角比：一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比。

三、銳角的三角比的特殊角的值一正弦、余弦

I、模型引入

NA=30。，設(shè)邊長(zhǎng)a的長(zhǎng)度為m

勾股定理+直角三角形30°角性質(zhì)

勾股定理+等角對(duì)等邊

Qm

n、特殊角的三角比值

利用三角比的定義，可求出30。、45。、60。角的各三角比值，歸納如下:

銳角口sinacosa

30°也

22

45°更更

~2~2

也J

60°

22

【方法規(guī)律】

(1)通過(guò)該表可以方便地知道30。、45。、60。角的各三角比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳

角的三角比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若立，則銳角5-45幾

2

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

就劃、811147>血60?的值依次為，而co$30°、cos45°、cos60°的值的順序正

222

好相反

ni、銳角三角比之間的關(guān)系

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°.

(1)互余關(guān)系：sjn4=coS(9CT-4)=co$6，cosA=sin(90*-ZJ4)=sinB>

(2)平方關(guān)系：sin2J+cosJ^4=1；

【即學(xué)即練1】在RtZXABC中，ZC=90°,若ABC的三邊都縮小5倍，則sinA的值()

A.放大5倍B.縮小5倍C.不變D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在RtZkABC中，ZC=90°.銳角A的對(duì)邊。與斜邊c的比叫做

/A的正弦，記作sinA.直接利用銳角的正弦的定義求解.

【解析】解：：NC=90。，

sinA=ZA的對(duì)邊與斜邊的比，

：..ABC的三邊都縮小5倍，

二/A的對(duì)邊與斜邊的比不變，

，sinA的值不變.

故選：C.

【即學(xué)即練2】如圖，已知在Rtz^ABC中，?B90?,則cosA=()

c

AB

AAB□BCABcBC

A.D.C.L）.——

BCABACAC

【答案】C

【分析】本題考查余弦的定義，根據(jù)余弦的定義即可解答.

Af!

【解析】解：在Rt^ABC中，cosA=———.

AC

故選：c.

【即學(xué)即練3】計(jì)算sin60。-B的結(jié)果等于（）

A.--B.1C,-曲D.正

2222

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，掌握二次根式的運(yùn)算的運(yùn)算法則是解答本題

的關(guān)鍵.先將sin60。的值代入計(jì)算，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則運(yùn)算即可.

【解析】解：sin60°-5/3=-\/3=.

22

故選：C.

題型精講

題型1:正弦、余弦的概念

【典例1】.在比AABC中，ZC=90,那么銳角A的正弦等于（）

銳角岫對(duì)邊°銳角岫對(duì)邊小銳角岫鄰邊銳角嫡鄰邊

A----------------------R----------------------0----------------------

銳角岫鄰邊斜邊斜邊銳角朗勺對(duì)邊.

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可直接得出結(jié)果.

銳角朗勺對(duì)邊

【解析】在曲AABC中，NC=90,那么銳角A的正弦=

斜邊

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，需要熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義.

【典例2].在RtAABC中，ZC=90°,2A的余弦是（）

AABcBCACcAC

A.——B.——C.—D.—

ACABABBC

【答案】C

【分析】根據(jù)角的余弦可進(jìn)行求解.

【解析】解：在RtAABC中，ZC=90°,貝Ijcos/A=——；

AB

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的余弦，熟練掌握求一個(gè)角的余弦是解題的關(guān)鍵.

【典例3].在RtZXABC中，ZC=90°,若ABC的三邊都縮小;，貝”nA的值（）

A.縮小;B.放大3倍C.不變D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義，正確理解正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.變

化后的三角形與原三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得/A的大小不變，即得答案.

【解析】在中，NC=90。，若“1BC的三邊都縮小;，則變化后的三角形與原三角形相似，可知/A

的大小沒有發(fā)生變化，故sinA的值不變.

故選C.

題型2：求銳角的正弦值、余弦值

【典例4】.在放ABC中，NC=90。，ZA=60°,求sinA的值.

【答案】B

2

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值解答.

【解析】解：sinA=sin60°=—.

2

【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)值，熟記各角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【典例5].如圖，RtABC中，NC=90。，AC=5,BC=12,貝iJsinB的值為.

A

【答案】得

【分析】根據(jù)勾股定理可求出A3的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義即可求出答案.

【解析】解：根據(jù)勾股定理可求出

AB=A/AC2+BC2=A/52+122=13，

5

Z.sinB=—

AB13

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，求角的正弦值.掌握正弦是直角三角形中對(duì)邊與斜邊的比是解題關(guān)鍵.

【典例6].已知在RtAABC中，ZC=90°,AB=6,BC=2,那么sinA的值是.

【答案】|

【分析】畫出圖形，直接利用正弦函數(shù)值的定義進(jìn)行求解即可.

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)值的定義.正弦函數(shù)值等于對(duì)邊

比斜邊.

【典例7].如圖，在放一ABC中，NC=90。，求sinA和sinB的值.

34512

【答案】圖（1）sinA=1,sinB=—,圖（2）sinA二一，sinB=一

551313

【分析】圖（1）利用勾股定理求出A3的長(zhǎng)度，再利用三角函數(shù)的定義求出sinA,sinB,圖（2）利用勾

股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用三角函數(shù)的定義求出sinA,sin3即可.

【解析】解：如圖（1）,在Rt^ABC中，由勾股定理得

AB=ylAC2+BC2=A/42+32=5.

sinB=處，

AB5AB5

如圖(2),在Rt^ABC中，由勾股定理得

AC=>JAB2-BC2=V132-52=12?

.?.si"上9,

AB13AB13

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理.掌握三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

【典例8].如圖，在RtABC中，ZC=90°,BC=2AC,貝(jsin3=()

A.1B.2C.—D.—

255

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理，可得A2與BC的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案.

【解析】解：???/C=90。，BC=2AC,

；?AB=7AC2+BC2=行AC，

sinB上產(chǎn)=正,故C正確.

ABy]5AC5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先利用勾股定理得出與AC的關(guān)系，再利用正弦函數(shù)的定義.

【典例9].如圖，分別求Na和4的正弦、余弦.

【答案】sina=|,cosa=|；sin°—1,cos^=|

【分析】如圖，利用勾股定理先求解再利用銳角的正弦，余弦，正切的定義直接計(jì)算即可.

【解析】解：如圖，???NC=90。,48=9,4。=?，

A

BC=y/AB2-AC2=y,

2736

.BCM3y4

???sina=—=—=-,cosa=—=-

AB9595

3627

—4—3

sin^=-1-=-,cos^=-1-=-

【典例10].如圖，在中，NC=90。，AB=10,BC=6,求sinA,cosA的值.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可.

【解析】解：在Rt.ABC中，ZC=90°,AB=l0,BC=6,

AC=\lAB2-BC2=A/102-62=8，

BC63

貝I]sinA=----=—

AB105

8sL84

AB105

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

題型3：特殊角的銳角的正弦值、余弦值

【典例111計(jì)算sin30。的值是（）

A.&B.|C.變D.正

222

【答案】B

【分析】根據(jù)30度角的正弦值直接得到答案.

【解析】解：sin3（T=；,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了角度的正弦值，正確掌握各特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【典例12].sin45。的值等于（）

A.gB.—C.1D.J2

22

【答案】B

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【解析】解：sin45°=@.

2

故選：B.

【典例13】.應(yīng)cos6（F-sin45。的值等于（）

A.0B.底一歷C.72D.正一1

22

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、二次根式減法運(yùn)算等知識(shí)，先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再由二

次根式減法運(yùn)算求解即可得到答案，熟記特殊角的三角函數(shù)值、二次根式減法運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【解析】解：V2cos60°-sin45°

G一立

22

=0,

故選：A.

【典例14].一一右的值等于（）

cos60°

行

A.—百B.-2C.—D.-1

2

【答案】B

【分析】本題考查了特殊角的余弦，根據(jù)60度的余弦值即可得一一方.

cos60°

【解析】解：.；cos60o=g,

—!—=(-1)-1=-2

cos6002

故選：B.

【典例151下列式子中不成立的是（）

1

A.及cos45。=2sin30。B.sin30°cos60°=-sin2945°

2

C.cos450-sin45°=0D.3sin(30°+30°)=sin300+sin30°

【答案】D

【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入計(jì)算得出答案.

【解析】解：A.0cos45。=逝乂*=1,2sin30°=2x1=l,原式成立，故此選項(xiàng)不合題意；

B.sin30°cos60°=ix-i=i,；sii?45=二，原式成立，故此選項(xiàng)不合題意；

C.cos450-sin45°=^-^=0,故原式成立，故此選項(xiàng)不合題意；

22

D.3sin(30o+30o)=3sin60°=—,sin3O°+sm3O°=l,原式不成立，故此選項(xiàng)符合題意；

2

故選：D.

【典例16].表-2xcos45。的值等于()

A.夜B.2A/2C.20-1D.2垃-2上

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，首先化簡(jiǎn)二次根式和特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘法，最后計(jì)算減

法，求出算式的值即可.

【解析】V8-2xcos45°

=2母-a

=6

故選：A.

題型4：已知特殊角的銳角的正弦值、余弦值，求該銳角

【典例17].已知cosA=；,則NA=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出角度，即可得到答案.

【解析】解：cosA=cos60°=^,

.?.ZA=60。，

故選：C.

【典例18].已知Na為銳角，且cosa=走，則N(z=()

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【解析】解：cosa=為銳角，

2

a—30°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值求角度，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【典例19].在R3A5C中，ZC=90°,BC=1,AC=5那么NB的度數(shù)是()

A.15°B.45°C.30°D.60°

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，求出tanB的值，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值得出答案.

【解析】解：在RtaABC中，ZC=90°,

..._ACA/3FT

?tanBn-------=—=v3>

BC1

???ZB=60°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查直角三角形的邊角關(guān)系，特殊銳角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確解答的

前提.

【典例20].若a是銳角，sin(c+15);號(hào),那么銳角a等于()

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【分析】由$畝45°=^^可得(a+15)=45°即可確定a.

【解析】解：：sin45o=乎，sin(a+15)=1,a是銳角

(a+15)=45。,即a=30°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定(。+15)=45。成為解答本題的關(guān)

鍵.

題型5：根據(jù)特殊角的銳角的正弦值、余弦值判斷三角形的形狀

【典例21].在.ABC中，若10sin4-1]+cosB=0,則ABC是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】根據(jù)題意可得0sinA-1=0，與一cosB=0.據(jù)此即可求得答案.

【解析】根據(jù)題意，得

\p2sinA—1=0，------cosB=0.

2

可得

sinA=-，cosB=.

22

則

ZA=ZB=45°.

所以，ZC=90°.

所以，A5C為等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定，牢記30。，45°,60。的銳角三角函數(shù)值是解題

的關(guān)鍵.

【典例22].在一ABC中，若COSAJ+[；-sing]=0,/A,都是銳角，則一ABC是_________三

角形.

【答案】等腰

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可得，cosA=且，sinB=l求得/A,ZB,即可求解.

22

【解析】解：由8$4-￥+&-4回=0可得

cosA-=0,—sinB=0

22

BPcosA=—,sinB=-,

22

解得NA=30。，ZB=30°,則NC=120。

則一ABC為等腰三角形，

故答案為：等腰

【點(diǎn)睛】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值.

4

【典例23].如果。是銳角，且cosa=《,那么sin。的值（)

12-34

A.-B.-C.一D.-

5555

【答案】C

【分析】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握同角的三角函數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

4

根據(jù)題意得cosa=—,禾！J用sin2a+cos2a=1求出答案.

【解析】解：sin2a+cos2a=1,

故選：C.

【典例24].已知a是銳角，sina=cos30°,則a的值為（）

A.60°B.45°C.30°D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知”=90。-30。，計(jì)算即可得出結(jié)果.

【解析】解：Qa是銳角，sin?=cos30°,

.-.a=90°-30°=60°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余

角的余弦值，BPsinA=cos（90°-A）.

題型6：同角、互余角的正弦、余弦的關(guān)系

【典例25].一個(gè)銳角的余角的正弦值與這個(gè)銳角的相等（填銳角三角比名稱）

【答案】余弦值

【分析】本題主要考查了余角，以及三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)舉例可得出結(jié)論.

【解析】解：例如：ZA=30°,NA的余角為90°-30。=60。，

sin60°=-

2

又：cos30°=—

2

.?.一個(gè)銳角的余角的正弦值與這個(gè)銳角的余弦值相等，

故答案為：余弦值.

2

【典例26].在RtZkABC中，NC=90。，若sinA="則cosA=（）

A「小n6

A.---R.---C.--D.----

3232

【答案】C

【分析】根據(jù)sitAl+cos2A=1,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解析】解：由題意得：si/A+cos2A=1,

/.cosA=—，

3

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)值的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握sin2A+cos2A=l.

【典例27].如果a是銳角，則下列成立的是（）

A.sina+cosa=lB.sina+cosa>lC.sina+cosa<lD.sina+cosa<l

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)是對(duì)邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，三角形的兩邊之和大于第三邊，可得答案.

【解析】解：?.?a、b是直角邊，c是斜邊,

,.aba+b

..sm(x+cosct=—+—=------

ccc

*.*a+b>c,

c

sina+cosa>l.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用正弦函數(shù)是對(duì)邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊是解題關(guān)鍵.

【典例28].在RrjLBC中，NC=90。.-A的正弦、余弦之間有什么關(guān)系？（提示：利用銳角三角比的

定義及勾股定理.）

【答案】sin2A+cos2A=1

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦等于對(duì)邊比斜邊，余弦等于鄰邊比斜邊，再結(jié)合勾股定理即可求得答案.

【解析】解：如圖，

A

CR

?.?在中，ZC=90°,

-sinA=^,cosA=^

ABAB

:由勾股定理，AC2+BC2=AB2.

sin2A+cos2A

BC2AC2

-AB7AB2

BC2+AC2

―_AB5-」

=1,

sin2A+cos2A=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)的正弦等于對(duì)邊比斜邊，余弦等于鄰邊比斜邊

是解題關(guān)鍵.

____________

就強(qiáng)化訓(xùn)練

一.選擇題

1.RSA8C的邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，則cosA的值（）

A.不變B.變大C.變小D.無(wú)法判斷

【分析】根據(jù)題意可得所得的三角形與原三角形相似，從而可得/A的大小沒有發(fā)生變化，即可解答.

【解析】解：的邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，

所得的三角形與原三角形相似，

...ZA的大小沒有發(fā)生變化，

cosA的值不變，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.在RtA4BC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,那么cosA的值是（）

A.3B.近c(diǎn).3D.A

5443

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解析】解：在RtAABC中，NC=90。，AB=4,AC=3,

cosA=AC=2

ABI

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.在RtA4BC中，ZC=90°,AC=1,BC=3,那么/A的正弦值是（）

A3v15

D.-------------C.3D-3

■1010

【分析】先在R3ABC中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可

解答.

【解析】解：在R3A8C中，ZC=90°,AC=1,BC=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.計(jì)算我cos30°的值是（）

A.AB.1C.gD.3

22

【分析】先計(jì)算cos30°考,再計(jì)算二次根式乘法即可.

【解析】解；V3cos30°=V3X除=4，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，二次根式的乘法計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊

三角函數(shù)的取值.

5.在AABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,則sinA的值是（）

A.AB.3c.3D.A

5543

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值的定義解答即可.

【解析】解：在中，ZC=90°,AB=5,BC=4,

則sinA=^-=A,

AB5

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵.

6.在R3ABC中，NC=90。，inA=-＞則cosA的值為（）

s3

A.-1B.C.2D.亞

3334

【分析】令8C=x,貝i]4B=3x,由勾股定理求出AC=JAB2-BC2=2&X,由銳角的余弦定義即可求

出cosA=￡C=2^反.

AB3

【解析】解：R3ABC中，NC=90。，sinA=AC=』，

AB3

.?.令BC=尤，則AB=3x,

?"C*AB2_BC2=2仿,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，關(guān)鍵是令BC=x,AB=3x,由勾股定理求出AC=

2&x,掌握銳角的正弦，余弦定義.

7.A4BC中，ZA,都是銳角，且sinA=亞，cosB=工,貝!]AABC的形狀是()

22

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.銳角三角形或鈍角三角形

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出/A，N8的度數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【解析】解：：sitVl=YZ,cosB=I,

22

AZA=45°,48=60。，

.,.NC=75°,

...△ABC的形狀是銳角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

8.已知a為銳角，cos(Cl-20°)有，則a等于()

A.30°B.50°C.60°D.80°

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值求得a-20。的值，然后求得a的度數(shù)即可.

【解析】解：,已知a為銳角，cos(a-20°)

2

Aa-20°=30°,

.?.a=50°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.

9.若sina>cosa,則銳角a的取值范圍是()

A.0°<a<45°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.45°<a<90°

【分析】利用cosa=sin(90°-a),載根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性，即可求出a的取值范圍.

【解析】解：Vcosa=sin(90°-a),sina>cosa,

sina>sin(900-a),

.,.a>90°-a,

Aa>45°,

又Ya為銳角，

A45o<x<90°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的增減性是正確解答的關(guān)鍵.

10.下列選項(xiàng)正確的是（)

A.sin31°+cos310<lB.sin31°+cos31°>2

C.sin31°+cos31°=lD.sin31°+cos31°>l

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可判斷.

在R3ABC中，NC=90°,NA=31°,

sin31°=^-,cos31°=-^-,

ABAB

sin31o+cos31。=區(qū)+螞=BC+AC，

ABABAB

'：BC+AC>AB,

ABC+AC>b

ABAB

.?.sin31°+cos31°>l,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的增減性，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解

題的關(guān)鍵.

填空題

11.已知在△ABC中，NC=90。，A2=8,AC=6,那么cosA的值是.

【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解.

【解析】解：在AABC中，ZC=90°,AB=S,AC=6,

.■.cosA=—=A=JL.

AB84

故答案為：2.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)的定義，正確記憶定義是解題的關(guān)鍵.

12.若2cosNA=1,則銳角NA=°

【分析】先計(jì)算出cos/A=_l,然后根據(jù)60。的余弦值為上求解.

22

【解析】解：v2cosZA=l,

cosZA=A,

2

???銳角NA=60。.

故答案為：60.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

13.已知sina?sin45o=」，則銳角a為

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出sina=匹,即可得出答案.

2

【解析】解：Vsina-sin45°=A

2

..V21

..sina*-——=—

22

故sina=^-,

2

則銳角a為45。.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

14.在△ABC中,若12sinA_l|+-cosB|=0,則NC=.

【分析】利用非負(fù)數(shù)和為零得出2sinA-1=0,隼_cosB=0,求出NA、度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和

定理求解即可.

【解析】解：???|2sinA-l|+|-^-cosB|=0,

.*.2sinA-1=0,cosB=0,

4皿$cosB冬,

AZA=30°,ZB=45°,

.\ZC=180°-ZA-NB=105°.

故答案為：105。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是

四則混合運(yùn)算的應(yīng)用.

15.比較大小：sin80°sin50°（填“>”或

【分析】根據(jù)一個(gè)銳角的正弦值隨著角度的增大而增大進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：由于“一個(gè)銳角的正弦值隨著角度的增大而增大”可知，

,.?80°>50°,

.".sin80°>sin50°,

故答案為：>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，掌握“一個(gè)銳角的正弦值隨著角度的增大而增大”是正確判斷

的前提.

16.如果在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,4),射線OP與無(wú)軸的正半軸所夾的角為a,那么

a的余弦值等于.

【分析】畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出OP,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可.

解：過(guò)尸作軸于A,

VP(3,4),

：.PA=4,0A=3,

由勾股定理得：0P=5,

.??a的余弦值是怨=旦，

0P5

過(guò)答案為：旦.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.

17.在RtAABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,貝?。輈os(ZA-ZB)=.

【分析】設(shè)CD=x,根據(jù)勾股定理列方程，求出x的值，再得出AZ)=8O=2-x,再根據(jù)銳角三角函數(shù)

的定義求出cos(ZA-ZB)即可.

【解析】解：過(guò)A作/區(qū)4。=/8,交BC于點(diǎn)。，

VBC=2,

.,.BD—AD—2-x,

根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2,即「+7=(2-X)2

解得x=3,

4

.".AD=2--,

44

cos(NA-ZB)=cosZCAD=-^-1=4

AD旦5

故答案為：A.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵.

18.因?yàn)閏os60°=，■，cos240°所以cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°,由此猜想：當(dāng)a為

銳角時(shí)，有cos(180°+a)=-cosa,由此可知：cos210°=.

【分析】當(dāng)a為銳角時(shí)有cos(180°+a)=-cosa.把210。代入計(jì)算即可.

【解析】解:Vcos(180°+a)=-cosa,

**,cos210°=cos(180°+30°)=-cos300=--^-

故答案為：當(dāng).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，本題是信息題，按照一般地當(dāng)a為銳角時(shí)有cos(1800+a)

=-cosa去答題.同時(shí)熟記特殊角的三角函數(shù)值也是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

19.計(jì)算：2sin30°+cos600-cos245°

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是記住特殊角的三角函數(shù)值，屬于中考?？碱}型.

20.根據(jù)圖示填空：

(1)sinB=———

(2)cosZACD=

【分析】(1)、(2)直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.

【解析】解：(1)sin8=包.=空>.

BCAB

故答案為：BC,AC；

(2)cosZACD=^-.

AC

故答案為：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.

21.在AABC中，/C=90。，AC=4,BC=2,求48的余弦值.

【分析】先利