補(bǔ)上一課三角函數(shù)中的參數(shù)范圍問題

題型分析三角函數(shù)中的參數(shù)問題主要是指函數(shù)了=Zsin(0x+e)中①與9的求解,

或所涉及的區(qū)間端點(diǎn)參數(shù)的求解，一般是利用所給函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱

性等進(jìn)行.

題型一三角函數(shù)的單調(diào)性與。的關(guān)系

例1已知函數(shù)道x)=sin"+卻0>0)在區(qū)間［謂號(hào)］上單調(diào)遞增，則①的取值范

圍為()

A.(0,1B.(0,I

「18］「3二

C.g,』D.［g,2

答案B

解析法一由題意得

〃CO71.兀、兀?…~

--^+彳2一2+2左兀，k^Zj,

<

2①兀?兀,兀?…~

口-+%W］+2E,k^Z,

，Q

①—8k,kRZ,

則J］

coW1+3左，左￡Z,

—8k>0,k^Zj,

又Q0,所以彳］

5+3左>0,kRZ,

所以k=0,則0<co<1.

法二?、?1,則/(x)=sinQ+*),

令^+2forWx+*W自+2E,左?Z,

714冗

得§+2析WxW3"+2Mi,左￡Z,

J?4TI~\「7i2兀

當(dāng)左=0時(shí)，函數(shù)四%)在區(qū)間［§,工|上單調(diào)遞減，與函數(shù)人x)在區(qū)間［―4，不上單

調(diào)遞增矛盾，

故0W1,結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知選B.

感悟提升確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間之間的包含關(guān)系，建立不等式，即可

求3的取值范圍.

訓(xùn)練1（2024?山東名校聯(lián)考）已知函數(shù)八x）=cos（0x+e|0野，一；為兀0

的零點(diǎn)，直線為/）圖象的對(duì)稱軸，且?。┰谛?，上單調(diào)，則①的最大值

為（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因?yàn)?4是y（x）=cos（0x+夕）的零點(diǎn)，

7T7T

所以一a①+夕=依兀+］，攵1￡z；

7T7T

因?yàn)橹本€X=4是Xx）=COS（0x+夕）圖象的對(duì)稱軸，所以4。+夕=左2兀，左2Gz.

TT7T

所以/①=（左2一左1）兀一1,k\,foGZ,

則①=2左一1,左?Z,顯然①為奇數(shù).

結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)①=5時(shí)，

因?yàn)殛?yáng)君,所以9=一今

所以/（X）=cos（5x—點(diǎn)），

當(dāng)反方時(shí)，5》一產(chǎn)匕12；>

所以負(fù)x）=cos（5x—在信，季）上單調(diào)遞減，

所以0=5符合題意，

所以①的最大值為5.

題型二三角函數(shù)的對(duì)稱性與。的關(guān)系

例2（多選）（2024?大同質(zhì)檢）將函數(shù)寅x）=sin（0x+聿）（O>0）的圖象向右平移駕個(gè)單

位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，若網(wǎng)x）=〃）g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)停0）對(duì)稱，則?？?/p>

取的值為（）

A.gB.；C.lD.4

答案CD

解析將函數(shù)義x)的圖象向右平移亮個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=

同蟲一駕)+6j=

又因?yàn)镕(x)=/(x)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)俘，04寸稱，

所以F(x)=sin^cox+^cos^cox

=gsin(20x+鼻)的圖象關(guān)于點(diǎn)仔，0)對(duì)稱，

兀71

則2泣1+§=左兀，左￡Z,

3左一1

所以CD=-2-，左GZ,

又因?yàn)棰伲?,所以。的最小值為1,

故CD可取的值為1,4.

感悟提升三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為

￡相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為《，這就說明，我們可根據(jù)三

角函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)研究其周期性，解決問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用整體代換的思想，建

立關(guān)于。的不等式組，進(jìn)而可以研究的取值范圍.

訓(xùn)練2已知函數(shù)＜x)=2sin(0X—標(biāo)①＞；,x?R),若山)的圖象的任何一條對(duì)稱軸

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間(3兀，An),則①的取值范圍是()

2]「871729

Ml,可6

18,24

-52]「811一1117-1723

C.—I1-----D?a萬(wàn)U

3」@12.18,24

答案C

解析因?yàn)槿四说膱D象的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間(3兀,

471),

12兀

所以一三4兀一3兀，

2CO

所以3＜。三1,故排除A,B；

TTTT7TTT

又左兀①?！猅,且左兀+兀-T,

3左+2__3-+5

解得,左?Z,

9、①、12

251

當(dāng)左=0時(shí)，gWtyW正，不滿足]<oWl,

52

當(dāng)k=l時(shí)，符合題意，

Q11

當(dāng)左=2時(shí)，正，符合題意,

1]7

當(dāng)k=3時(shí)，gWcoW5,

此時(shí)①不存在，故C正確，D不正確.

題型三三角函數(shù)的最值與①的關(guān)系

JTJT

例3（2024?濰坊質(zhì)檢）已知函數(shù)/（x）=sin（3%+夕），其中O>0,|0|W/,一^為〃）的

零點(diǎn)，且?0?乂金恒成立，人x）在區(qū)間（一專，合）上有最小值無(wú)最大值，則co

的最大值是（）

A.llB.13C.15D.17

答案C

解析由題意，直線x=￡是八%）的一條對(duì)稱軸，

所以

7T7T

即a①+9=左1兀+],左IGZ,①

又1_*0,

JT

所以一4①+°=左2兀，②

由①②，得口=2（依一左2）+l,ki,foez,

又“￥）在區(qū)間（一R,/J上有最小值無(wú)最大值，

所以4起一「金）弋

喏*，解得0W16.

COO

綜上，先檢驗(yàn)①=15,

7T7T

當(dāng)①=15時(shí)，由①得4X15+夕=左1兀+],左1GZ,

II13兀

即9=①兀一飛一，k\GZ,

又勿或與所以9=一今，

此時(shí)fix)=sin(l5x,

當(dāng)正〔一運(yùn)司時(shí)，15%一產(chǎn)［一萬(wàn)，yj,

當(dāng)15L￡=一會(huì)即戶一壽時(shí)，加)取得最小值，無(wú)最大值，滿足題意.

故①的最大值為15.

感悟提升利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于①的不等

式(組)，進(jìn)而求出①的值或取值范圍.

訓(xùn)練3已知函數(shù)八x)=2sinox在區(qū)間［一亨不上的最小值為—2,則①的取值范

圍是.

答案(一8,-2］U|,+H

解析顯然0W0.若①>0,

,「三71兀兀

當(dāng)工￡—1，a時(shí)，一①①，

7T7T

因?yàn)楹瘮?shù)加)=2sin①x在區(qū)間［一§,4］上的最小值為一2，

所以一加W甘，解得心|.

若0V0,當(dāng)一$彳時(shí)，卻W①xW—卻，

因?yàn)楹瘮?shù)人x)=2sincox在區(qū)間［一不上的最小值為一2，

所以扣W甘，解得①W—2.

綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)①的取值范圍是(一8,-2］u［|,+8).

題型四三角函數(shù)的零點(diǎn)與0的關(guān)系

例4(2023?新高考I卷)已知函數(shù)次x)=cos①x—1(O>0)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3

個(gè)零點(diǎn)，則①的取值范圍是.

答案［2,3)

解析法一函數(shù)/(x)=cos(DX-\在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即coscox

=1在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)根,

因?yàn)?>0,xG［0,2n］,

所以coxG［0,2am］,

則由余弦函數(shù)的圖象可知，4TIW2①兀<6兀,

解得2W①<3,即①的取值范圍是［2,3）.

法二函數(shù)/（x）=cos①x—l在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即cos0x=l在區(qū)

間［0,2同有且僅有3個(gè)根,

根據(jù)函數(shù)了=35%在［0,2兀］上的圖象可知cosx=l在區(qū)間［0,2兀］有2個(gè)根，

所以若cos①x=l在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)根，

2X—<2TI,

co

則函數(shù)y=cos①X在［0,2汨內(nèi)至少包含2個(gè)周期，但小于3個(gè)周期，即1c

2兀

3X—>2TI,

Ico

又0>0,所以2W0<3,

即①的取值范圍是［2,3）.

法三由題意知cosc?x=l,

0Iz-jr

得①x=2E,kRZ,即》=組.

CD

因?yàn)?（x）在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

「4兀-

一且兀，

CD

所以「解得2W①<3.

6兀c

—>2兀，

Ico

感悟提升三角函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)之間的“水平間隔”為最根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)，可以研究。的取值.

訓(xùn)練4（2022?全國(guó)甲卷）設(shè)函數(shù)加）=sin"+§在區(qū)間（0,兀）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)、

兩個(gè)零點(diǎn)，則①的取值范圍是（)

答案C

解析由題意可得①>0,故由工￡（0,兀），

/日兀但,Tl\

行①X十兀①十

5冗it7冗1319

根據(jù)函數(shù)段）在區(qū)間（0,兀）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，知萬(wàn)y7ito+§W5，得石y（?W石.

根據(jù)函數(shù)加）在區(qū)間（0,兀）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，知2兀<兀。+畀3兀，得/<。割.

綜上，①的取值范圍為手!.

■課時(shí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

7T3TT

1.若直線X1=4，X2=4是函數(shù)八x）=sin（?x（o>0）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則①

=（）

31

A.2B，2C.lD，2

答案A

解析依題意得函數(shù)?。┑淖钚≌芷?/p>

T=^=2X件一點(diǎn)）=兀，解得0=2.

2.若住0）是函數(shù)/（x）=sincox+coscox圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則co的一個(gè)取值是

（）

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析因?yàn)?（x）=sincox+coscox

=^/2sin^cox+^,

由題意，知怎=/sin吃+番=0,

所以-""依ez），

即①=8左一2（左GZ）,當(dāng)左=1時(shí)，co=6.

3.設(shè)函數(shù)J（x）=cos（0x—親）（0>0）.若怎）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則co的最

小值為（）

125

A，2BJC.4D.2

答案B

解析由題意，當(dāng)x=；時(shí)，函數(shù)人X）有最大值，

故怎!=1，即詈一看=2也（左?Z）,

2

所以0=8左+§（左?Z）,

2

又0>0,所以當(dāng)左=0時(shí)，0min=§.

4.已知函數(shù)〃）=/sin（0x+g）（Z>0,o>0）的圖象向左平移疊個(gè)單位長(zhǎng)度后與原

圖象重合，則實(shí)數(shù)。的最小值是（）

A.］B.1C.與D.8

答案B

解析由題可知，亍是該函數(shù)周期的整數(shù)倍，

即斗=§X鼠左?Z,解得①=空，左?Z,

4①5

Q

又切>0,故當(dāng)左=1時(shí)，其最小值為，

5.（2024?長(zhǎng)春質(zhì)測(cè)）定義域?yàn)椋?,兀］的函數(shù)/（x）=（、Bsincox—coscox）coscox+^（co>0）

的值域?yàn)閇T4則。的取值范圍是（）

（31「3「

A.I0,2B./，3

（nri2一

c[o,/D.[§,3_

答案D

解析因?yàn)镴[x）=yj3sinCDXCOSCOX—cos1COX

y[31+cos2cox,1

=2sin2cox-----2----+]=sin

由一可得一gwsin（2s—

TTTTTT

因?yàn)镺WxWm所以一X忘25：—不忘2?？谝?,

由題意可得畀2初一臺(tái)普，

,12

解得

6.（2024?陜西名校聯(lián)考）函數(shù)段）=sin"+%>0）在［0,1］上有唯一的極大值，則

0的取值范圍為（）

「13兀一

A?兀，工

答案c

jr

解析令t=cox+j,

,兀I兀

當(dāng)xe［O,1］時(shí)，行，。+1.

因?yàn)楹瘮?shù)於）=sin"+］）（①>0）在［0,1］上有唯一的極大值,

JT7T

所以函數(shù)尸sin/在①上有唯一極大值,

,兀71

①十]>],

所以彳解得a）G

,兀,5兀

0十

7.（2024-馬鞍山質(zhì)檢）已知函數(shù)加）=1211（5+0）（。>0,|夕|<舒的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,4）,

若函數(shù)人乃在區(qū)間［0,兀］上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)①的取值范圍是（)

一2

B.3-1)

「5

D.3-9

答案D

解析由條件可知a）=tan9=4,儂專

所以9=$義x）=tan（0x+?.

II［兀兀I兀

當(dāng)工￡［0,兀］時(shí)，①%+§￡①兀十§,

若函數(shù)次x）在區(qū)間［0,兀］上恰有2個(gè)零點(diǎn)，

7T58

則2兀Wq兀+鏟3兀，解得］

8.函數(shù)加）=sin"+S）（0>0）在區(qū)間一知，系上單調(diào)遞增，且存在唯一

5兀］

x°e［°，至J使得人猶）=1，則①的取值范圍為（）

A.仁,可B.|j,2_

答案B

解析由正弦函數(shù)性質(zhì)，得

7T7T7T

2kJi——/或69%+4?2左兀+/,Z,

口門2左兀2兀772kli?兀八?、

崗京一獲WxWk+菰gZ）,

???〃）在[一知,學(xué)2兀」上單調(diào)遞增,

〃5兀、2人兀2兀

——

OCD3”

.*.5（壯Z）,

2712^7171

、3'①3①

-4—12左

0

則，〈竺里**

①72

又切>0,則0<①W今

又存在唯一次￡0,y,使得人xo)=l,

-r—)|]?兀z—兀5兀Q)?兀

而此時(shí)M①xo+%￡不~6~+6，

5兀,兀5兀214

等Wcovy,

21

綜上，有分60萬(wàn)

9.已知函數(shù)y(x)=cos"+])(0>0)的一條對(duì)稱軸為直線x=p一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)

佬，0),則o的最小值為.

答案2

解析?.?函數(shù)的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最短距離為(，兩條對(duì)稱軸間的最短距離為今

對(duì)稱中心(有0)到對(duì)稱軸x=1間的距離用周期可表示為「言=(+竽左?Z,

2兀

入,：T=一,."=2+4左，

CD

.,.左=0時(shí),①有最小值2.

10.已知函數(shù)五x)=sin(0x+9)(o>0,OWOWTT)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)

去oj對(duì)稱，且在區(qū)間[o,外上是單調(diào)函數(shù)，則①=0=.

答案2I

TT

解析由題意得9=左兀+],kRZ,

7T

又0W夕WTI,所以夕=/，

所以/（X）=COScox,

由圖象關(guān)于庫(kù)04寸稱得詈=也十全左?Z,

得0=4左+2,左?Z,

又加）在"外上是單調(diào)函數(shù)，可得詈骨,

所以0W2,所以0=2.

11.已知函數(shù)五x）=sin"+§（①>0）,若怎,=/卻且於）在區(qū)間京等內(nèi)有最大

值，無(wú)最小值，則co=.

答案2

7T

解析由題意知當(dāng)時(shí)，｛、）取得最大值，

即日口+胃=2左兀+冷（左￡Z）,

解得co=6k+^k^Z）,

又2-6-3<2,即0>3，

所以0<①V3,又①〉0,所以①

12.（2022?全國(guó)乙卷）記函數(shù)/（x）=cos（5：+9）（69>0,0<夕<兀）的最小正周期為T.若｛7）

=坐，x=5為義X）的零點(diǎn)，則①的最小值為.

答案3

解析因?yàn)?=呼，挎）=坐,

所以cos（2兀+夕）=坐，即cos9=坐.

7T

又0<9<兀，所以9=不

所以人x）=cos（ox+3）.

jr

因?yàn)閤=g為兀冷的零點(diǎn)，

所以+^=^+kn（k?Z）,

解得co=9k+3（kGZ）.

又0>0,所以當(dāng)左=0時(shí)，①取得最小值，

且最小值為3.

【B級(jí)能力提升】

JT

13.（2024?福建部分地市質(zhì)檢）函數(shù)八x）=2sin（0x+5）（①eR）恒有加）?！?兀），且〃）

在［—/JT行JI］上單調(diào)遞增，則①的值為（）

A」%B6C6D-6^6

答案B

解析易知①WO,因?yàn)楹阌胸?《/（2兀）,

所以當(dāng)x=2兀時(shí)，真x）取得最大值，

7T7T

所以2兀①+d=］+2衍I,左?Z,

解得①=2+左，左?Z,

因?yàn)榧樱┰冢垡蝗上單調(diào)遞增，

所以"一*最即簫兀，

解得0<|OW2.

①當(dāng)0<（wW2時(shí)，因?yàn)椋垡?1不731

所以0x+2?—熱+去.

因?yàn)橐鶻）在［一T不T不7T上單調(diào)遞增，

兀I兀兀IC7

一不①十％三~2'2%兀'

所以《左?Z,

兀兀兀

jco十％十2上兀，

—12k,

解得kGZ,

①W1+6鼠

所以4—12左＞0,且1+6左＞0,kb.

解得一

故/=O0=/.

②當(dāng)一2WcovO時(shí)，因?yàn)閏o=~^~\~k,kRZ,

所以①=一焉或口=—

匕匕］\）5兀,一11兀71

所以不一不［—石，9J5

TT7T

故〃）在［—5雪上單調(diào)遞減，不滿足題意.

同理可得。=—那也不滿足題意，

所以故選B.

14.已知函數(shù)7（x）=sin（（ox+夕）（co>0,|夕修外,X=—；為/（X）的零點(diǎn)，直線x=；為y

=/3）圖象的對(duì)稱軸,上單調(diào)，則①的最大值為（）

A.11B.9C.7D.5

答案B

解析由題意知日一（一點(diǎn)）=（十:,

P嚴(yán)2左+1絲士

即2—414co

所以0=2左+1（左?N*）,

當(dāng)①=11時(shí)，由題意可得：><由+0=阮+/左?Z,解得夕=一點(diǎn),

所以函數(shù)｛x）=sin（llx,

（兀5喻）兀（13兀23喻

當(dāng)）?痣J時(shí)，llx—［玄，旅〉

所以八X）在區(qū)間島，笥上不單調(diào)，

所以①wn；

當(dāng)co=9時(shí)，

JTJT

由題意可得aX9+9=E+],左?Z,

解得9=今

所以函數(shù)1x）=sin（9x十.，

,,（re5兀、?,Ji/3兀3喻

xeU8，引時(shí)，9“+片岸TJ,

所以五X）在區(qū)間信，茸上單調(diào)，

所以①=9.

15.（2024?黃岡模擬）已知函數(shù)y=/）的圖象是由函數(shù)>=<:05s（O>0）的圖象向左平

移焉個(gè)單位長(zhǎng)度所得，若函數(shù)y=Ax）在區(qū)間（兀，2兀）上單調(diào)，則。的取值范圍是

eq（5]「5ir

口本13司u[d，運(yùn)

7T

解析y=/a