第03講比例線段（第2課時(shí)）（十一大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、學(xué)會自主運(yùn)用一元二次方程的解法在比例線段中

的應(yīng)用推出黃金分割數(shù)；

2、會解有關(guān)黃金分割的題；

3、掌握黃金分割的定義并能確定一條線段的黃金分割

點(diǎn)。

02思維導(dǎo)圖

1.黃金分割

-2比例中項(xiàng)

I3.黃金分割的畫法

（題型1：解黃金數(shù)、證黃金分割點(diǎn)

（題型2:已知全線段，求較長線段

（題型3:已知全線段，求較短線段的長

「題型4:已知較長或較短線段，求全線段的長

一題型5:分類討論較長線段和較短線段的長

題型6:由比例中項(xiàng)轉(zhuǎn)化為黃金分割問題解決

（題型7:兩個(gè)黃金分割點(diǎn)問題

I題型8:黃金分割的實(shí)際應(yīng)用

I題型9:有關(guān)黃金分割的式子綜合辨析

I題型10：黃金分割的幾何應(yīng)用

03知識清單

——

一、知識引入

例題如圖24-9,已知線段AB的長度是1,點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)‘舞’;，求線段AP的長.

I--■—X---------<4—/T—I

圖24-9

解設(shè)線段AP的長為x,那么線段PB的長為l-x.,得到關(guān)于x的方程

即x2+lx-l2=0.

/cdR/—>14■店

解得「

因?yàn)椋ㄉ崛ィ?，所以，線段AP的長是遭『口￡

Z4

在比例式‘‘「’中，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)都是線段AP,這時(shí)線段AP稱為線段AB與PB的比例中項(xiàng).

\VAH

如果點(diǎn)P把線段AB分割成AP和PB（AP>PB）兩段（如圖24-9）,其中AP是AB和P的比例中項(xiàng)，那么稱

這種分割為黃金分割（goldensection）,點(diǎn)P稱為線段AB的黃金分割點(diǎn).

AP與AB的比值?；?稱為黃金分割數(shù)（簡稱黃金數(shù)）.黃金分割數(shù)是一個(gè)無理數(shù)，在應(yīng)用時(shí)常取它的近

似值0.618.

【即學(xué)即練1】

已知線段AB=6cm,C為線段A3的黃金分割點(diǎn)（AC>3C）,則AC=.

【答案】（36一3）cm

【分析】利用黃金分割的定義計(jì)算即可.

【解析】解：?.?點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AOBC,

.ACy/5-l

"~AB~2

：.AC=AB=^^-x6=[345-3ym,

故答案為：（375-3）cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義，若C為線段的黃金分割點(diǎn)（AC>3C）,則喘=與1,熟練

應(yīng)用黃金分割的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練2】

若線段長為2cm,尸是A3的黃金分割點(diǎn)且24>尸3,則線段3P=cm.

【答案】（3-6）/卜君+3）

【分析】根據(jù)黃金分割的概念及上4>尸5得到尸4=或二從而求出上4的長，再根據(jù)P3=AB-上4進(jìn)

2

行計(jì)算即可得到答案.

【解析】解：尸是AB的黃金分割點(diǎn)且上4>PB,

:.PA=^^AB,

2

線段AB長為2cm,

PA=1-2cm=^A/5-ijcm,

.-.=AB-PA=2-（A/5-l）=（3-A/5）cm,

故答案為：（3-75）.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成兩段，其中較長線段是較短線段與整個(gè)線段的比例

中項(xiàng)，那么就說這條線段被這個(gè)點(diǎn)黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)，并且較長線段是整個(gè)線段

【即學(xué)即練3】

已知，點(diǎn)尸、。是線段的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，若AB=8,則PQ的長是

【答案】8喬-16/-16+8君

【分析】先由黃金分割的比值求出BP=AQ=4行-4,再由尸。=4。+3尸-鉆進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：如圖，「點(diǎn)尸、Q是線段A3的黃金分割點(diǎn)，山?=8,

APOBBP=AQ=AB=4s/5-4,

D2

；.PQ=AQ+BP-AB=2卜石-4）-8=8&-16,

故答案為：875-16.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線段A3分成兩條線段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例

中項(xiàng)（即AB:AC=AC:8。，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，熟記黃金比是解題

的關(guān)鍵.

二、作一條線段的黃金分割點(diǎn)：

如圖，已知線段4B,按照如下方法作圖：

（1）經(jīng)過點(diǎn)8作BD_LAB,jtBD=-AB.

2

(2)連接A。，在D4上截取DE=DA

(3)在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

溫馨提示：

一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

【即學(xué)即練。

已知線段A3,試用尺規(guī)作圖畫出線段的黃金分割點(diǎn)C,使得AC>3C,保留作圖痕跡，不寫作法.

AB

【答案】見解析

【分析】先作線段的垂直平分線得到的中點(diǎn)。，過點(diǎn)2作鉆的垂線PB,再在PB上截取3。=30,

連接AD,在ZM上截取=然后在AB上截取AC=AE,則點(diǎn)C滿足條件.

【解析】解：如圖，點(diǎn)C為所作.

理由：設(shè)AB=2x(x>0),

由垂直平分線的性質(zhì)可得，4。=3。=』*2尤=彳，

2

由作圖可知3￡?=8。=彳，則。E=r>8=x,

PB±AB,

：.ZABD=90°

AD=^AB2+BD2=小x，

AE=AD-DE^^X-X=(45-\^X,

AC=AE=(V5-l)x,

BC=AB-AC=AE=2X-[75-1)X=(3-A/5)X,

-：AC2=(75-1)2x2=(6-275)x2,AbBC=2x.(3-灼x=(6-2向無之，

AC2=ABBC,

即線段AB的黃金分割點(diǎn)為C.

【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割點(diǎn)、垂直平分線的作圖和性質(zhì)、勾股定理、二次根式的運(yùn)算等知識，準(zhǔn)確作

圖是解題的關(guān)鍵.

題型精講

題型1:解黃金數(shù)（比）、證黃金分割點(diǎn)［學(xué)生自主利用一元二次方程的解法求黃金分割數(shù)］

AT

【典例11如圖，點(diǎn)C是線段A3的黃金分割點(diǎn)，計(jì)算線段的黃金比會的值.

AB

I||

ACB

【答案】黃金比為避二L

2

【分析】本題考查的是黃金分割的含義，本題設(shè)線段4?=1,較長的線段AC的長為x,結(jié)合圖形可得

AOBC,結(jié)合黃金分割點(diǎn)的含義建立方程求解即可.

【解析】解：設(shè)線段AB=1,較長的線段AC的長為x,結(jié)合圖形可得AC>BC,

。是線段AB的黃金分割點(diǎn)，

AC2=ABBC,即

解得：士=1+石,％=」~—（舍去負(fù)值），

1222

,AC_X_y/5-l

"AB-?"2

答：黃金比為避二L

2

【典例2］.已知線段VN=1,在MN上有一點(diǎn)A,如果⑷V=qi,求證：點(diǎn)A是MN的黃金分割點(diǎn).

【答案】見解析

【分析】先求得AM=返口，即可得到4竺=絲=叵4，結(jié)論得證.

2MNAM2

【解析】解：???跖V=1,AN=九反

2

J5-1

/.AM=MN-AN=-——，

2

..AM_AN_75-1

?'MN~~\M~2

???點(diǎn)A是MN的黃金分割點(diǎn).

【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的口5,較長的線段=原線段

2

的旦.

2

題型2：已知全線段，求較長線段

【典例3].已知B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB>BC,若AC=10,則AB的長為.（結(jié)果保留根號）

【答案】5A/5-5

【分析】利用黃金分割比的定義求解即可.

【解析】由題意得：絲=更二1,

AC2

???AC=10,

AB=--AC=5y/5—5,

2

故答案為：5A/5-5

【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關(guān)鍵.

【典例4].如果P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=2cm,那么較長線段AP的長是cm.

【答案】（-1+6）

【分析】本題考查了黃金分割的定義，關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.

根據(jù)黃金分割的定義解答.

【解析】解：設(shè)AP=xcm,

根據(jù)題意列方程得，X2=2（2-X）,

即f+2x-4=0,

解得下=-l+\fs,x2=-1-A/5（負(fù)值舍去）.

故答案為：（-1+V5）.

【典例5】.點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（AC>3C）,若3c=2,則AC=

【答案】指+1/1+小

【分析】此題考查黃金分割，根據(jù)黃金分割的概念把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與

較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割.

【解析】解：由題意得：ABBC=AC2,

VAB^AC+BC,BC=2,

：.（AC+2）-2=AC2,

解得：AC=45+1，負(fù)值已舍去.

故答案為6+1.

題型3：已知全線段，求較短線段的長

【典例6].已知點(diǎn)P是線段A5的黃金分割點(diǎn)，且AB=16,則AP=.

【答案】24-8A/5/-8A/5+24

【分析】本題考查的是黃金分割的概念，掌握黃金分割的概念、黃金比值為史二1是解題的關(guān)鍵.根據(jù)黃金

2

比值為1二！計(jì)算即可.

2

【解析】解：點(diǎn)尸是線段的黃金分割點(diǎn)，AP<BP,

.—@」AB=8g-8,

2

.,.AP=AB-8P=16-（86-8）=24-86，

故答案為：24-875.

【典例7].如圖，C為線段A3的黃金分割點(diǎn)，AOBC,并且AC=2,則BC=.

Ati

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】本題主要考查了黃金分割的定義，先根據(jù)黃金分割的定義得出AC=叵2AB,然后求出

2

2

='一下一1一#+1,再求出結(jié)果即可.

2

【解析】解：?點(diǎn)C為線段A2的黃金分割點(diǎn)，AOBC,

：.AC=^^-AB,

2

AB=—j=—=6+1

/.51，

2

：,BC=AB-AC=y/5+1-2=y/5-l,

故答案為：A/5-I.

【典例8].已知點(diǎn)尸是線段上的黃金分割點(diǎn)，PB>PA,PB=2,那么PA=.

【答案】也-11-1+亞

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知總是較長線段；則尸3=好二'A3,代入數(shù)據(jù)即可求解.

2

【解析】解：?.?尸為線段A8的黃金分割點(diǎn)，且尸

貝=即^^AB=2,

22

/.AB=y/5+\

/.PA=A8-必=6+1-2=若-1

故答案為百-1

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割的概念，熟練掌握把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短

線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割是解題的關(guān)鍵.

題型4：已知較長線段或較短線段，求全線段的長

【典例9].已知點(diǎn)尸是線段A3上的黃金分割點(diǎn)，PB>PA,PB=2,那么

【答案】75+1/1+75

【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比值是叵工計(jì)算即可.

2

【解析】解：點(diǎn)尸是線段A3上的黃金分割點(diǎn)，PB>PA,

PB_5/5-1

..---------，

AB2

QPB=2,

2x2

AB=書+1,

V5-1

故答案為：75+1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握把線段分成兩條線段AC和且使AC

是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段黃金分割是解答本題的關(guān)鍵.

【典例101已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且如果AP=石-1,那么AB=_.

【答案】2

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得=進(jìn)而即可求解.

2

【解析】解：???點(diǎn)尸是線段AB的黃金分割點(diǎn)，S.AP>BP,

'：AP=y/5-l,

：.AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割的定義，掌握黃金分割點(diǎn)與黃金比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型5：分類討論較長線段和較短線段的長

【典例11】已知線段AB=4,點(diǎn)尸是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AP的長為.

【答案】22或6-26

【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)，分兩種情況即可得出AP的長.

【解析】解：當(dāng)尸時(shí)，

AP=^^~AB=^^x4=2小一2,

22

當(dāng)時(shí)，AP=4-（2^5-2）=6-2A/5

故答案為：2斯-2或6-26.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段與全線段的比等于較短

線段與較長線段的比，這樣的線段分割叫做黃金分割,他們的比值避二1叫做黃金比;熟記黃金分割的公式：

2

較長的線段=原線段的近二1是解題關(guān)鍵.注意有兩種情況.

2

題型6：由比例中項(xiàng)轉(zhuǎn)化為黃金分割問題解決

【典例12].已知點(diǎn)尸是線段上的一點(diǎn)，S.AP2=ABPB，如果鉆=10,那么AP的長是.

【答案】-5+5A/5/5A/5-5

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出方程解題即可.

【解析】解：設(shè)AP的距離為x,則尸8=10-x,

根據(jù)題意列方式：

AP2=ABPB,

x2=10（10-x）,

整理得：

x~+10x—100=0，

a=l,b=10,c=—100,

根據(jù)求根公式x=-b士dac=T0±3°2-=T0±1°A=一5±56，

2a22

—

解出玉=-5+5^/5■,%2—5—5\/5（舍去）.

故答案為：-5+5卮

【典例13].已知線段A3=8cm,點(diǎn)C在線段AB上，S.AC2=BCAB,那么線段AC的長—cm.

【答案】4君_4/-4+4有

【解析】根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得到答案.

【解答】解："：AC2=BCAB,

???點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC,

,AC=A/5-1^Ag=2^1X8=（4A/5-4）cm,

22

故答案為：475-4.

【點(diǎn)評】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為吏匚是解題的關(guān)鍵.

2

題型7：兩個(gè)黃金分割點(diǎn)問題

【典例14].已知，點(diǎn)尸、。是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，若AB=8,則尸。的長是.

【答案】8A/5-16/-16+8A/5

【分析】先由黃金分割的比值求出BP=AQ=46-4,再由尸。=4。+5尸-鉆進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：如圖，???點(diǎn)尸、Q是線段A3的黃金分割點(diǎn)，山?=8,

APOBBP=AQ=AB=4布-4,

匚2

PQ=AQ+BP-AB=2^y/5-^-8=8y/5-16,

故答案為：8A/5-16.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線段A3分成兩條線段AC和BC（AC>8C）,且使AC是4?和BC的比例

中項(xiàng)（即AB:AC=AC:B。，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，熟記黃金比是解題

的關(guān)鍵.

【典例15].已知線段跖V的長是20前,點(diǎn)尸、。都是線段的黃金分割點(diǎn)，則點(diǎn)尸、。之間的距離是__cm.

【答案】（20A/5-40）/（-40+20V5）

【分析】設(shè)PM=皿，貝iJPN=（20-x）a〃，根據(jù)題意得：x：20=（20—x）:x，可求出尸河=（106-10刖,

從而得到PN=@0-10石）cm,同理可得QN=（106-10卜根，即可求解.

【解析】解：如圖，設(shè)PM=xcm,則RV=（2。一x）cm,

IIII

MQPN

根據(jù)題意得：

x:20=（20-x）:x,解得：X=10A/5-10,

gpPM=（10V5-10）cm,

貝l]PN=20-（106-10）=（30-10灼cm,

同理州=（10瓶一10卜加,

所以點(diǎn)P、Q之間的距離是（10石-10卜（30-10向=（20君-40卜機(jī).

故答案為：（20君-40）.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的知識，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握黃金分割的定義：C是上一點(diǎn)，且AC：

AB=BC：AC,那么C點(diǎn)就是AB黃金分割點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【典例16].已知線段AB=10CMP、。是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則PQ=.

【答案】（104-20卜機(jī)

【分析】本題主要是考查了黃金分割點(diǎn)的概念，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念解答即可，熟記黃金分割分成的兩

條線段和原線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，可知AQ=B尸=Y1」xlO=（5石-5卜111,

貝1」尸0=40+32-42=仁君一5）*2-10=（10君一20人111,

故答案為：（10君-20km.

III___________I

APQB

題型8：黃金分割的實(shí)際應(yīng)用

【典例17].主持人在舞臺上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好.若舞臺長AB=20米,

主持人從舞臺一側(cè)3進(jìn)入，她至少走一米時(shí)恰好站在舞臺的黃金分割點(diǎn)上.（結(jié)果保留根號）

4PB

【答案】（30-1075）

【分析】本題考查了黃金分割.根據(jù)黃金分割的概念，可求出AP,BP,即可求解.

【解析】解：由題意知A5=20米，

.BPAPA/5-I

>?--,

APAB2

AP=20x^^-=（lO-x/5-10）,

.?加=20-（10君-10）=（30-104）米,

故主持人從舞臺一側(cè)點(diǎn)8進(jìn)入，則他至少走（30-1。6）米時(shí)恰好站在舞臺的黃金分割點(diǎn)上,

故答案為：（30-10石）.

【典例18].校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，AB=10c〃2,點(diǎn)P為的黃金分割點(diǎn)

（AP>PB）,那么"的長度為

【答案】（5/一5上!《

【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算,

即可解答.

【解析】解：,?,點(diǎn)P為A3的黃金分割點(diǎn)（AB=10cm,

/.AP=^^-AB=5（V5-l）=（5V5-5）cm,

???故答案為：（575-5）cm.

【典例19].如圖，樂器上的一根弦AB=60cm,兩個(gè)端點(diǎn)AB固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)8的

黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)。是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則C,。之間的距離為（）

A.（30\/^-30）cmB.（604-120）cm

C.（40^-30）cmD.（120-30-75）cm

【答案】B

【分析】本題主要考查線段成比例.黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比

等于另一部分與這部分之比.其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為叵4，由此即可求解.

2

【解析】解：弦AB=60cm,點(diǎn)。是靠近點(diǎn)3的黃金分害U點(diǎn)，設(shè)工，則AC=60—%,

=Jlzl,解方程得，%=90-3075,

602

點(diǎn)。是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，設(shè)AD=y,則即=60-y,

A60-2=A/5-1；解方程得，y=90-406,

602

C,。之間的距離為60-x-y=60—90+30/一90+306=606一120,

故選:B.

題型9:有關(guān)黃金分割的式子綜合辨析

【典例20].如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC>3C）,下列結(jié)論錯誤的是（）

ACR

BC_ACACV5-1緇。0.618

A.B.BC2=ABACC.D.

ACABAB2

【答案】B

【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)：線段上一點(diǎn)分線段對應(yīng)成比例，且短比長等于長比全，等于史二1。0.618,

2

則這個(gè)點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：???點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（AC>8C）,

，AC2=ABBC,

故錯誤的是選項(xiàng)B,

故選B.

【典例21].已知M是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且那么下列各項(xiàng)正確的是（）

A.A"=占二！B.4絲=嶼二1c.g"=好二1D.是A"與43的比例中項(xiàng)

AB2MB2AB2

【答案】A

【分析】本題主要考查黃金分割點(diǎn)的定義，把一條線分割成兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部

分與這部分之比等于避二1即可得到答案.

2

【解析】解：由于/是線段A2上的黃金分割點(diǎn)，

,AMBM_A/5-I

,,下一而一2'

故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C錯誤；

由比例中項(xiàng)定義可知，選項(xiàng)D錯誤.

故選A.

【典例22].已知點(diǎn)C把線段黃金分割，且AC<CB,那么下列等式中，成立的是（）

A.AC2=CBABB.CB2=ACAB

?AC遙-1nAB3-75

AB2AC2

【答案】B

【分析】本題主要考查了黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵，難度適

中.

根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣

的線段分割叫做黃金分割，他們的比值|與叫做黃金比，從而得出答案.

【解析】解：,點(diǎn)C把線段A3黃金分割，S.AC<CB,

.ACBC

CB2=ACAB.

故選：B.

【典例23].已知點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，且滿足但感=蜃&；工適則下列式子成立的是……（）

A.耨R./M；6-：11「虎-二

A.---=由----;"D.---=----;C.-蟠--=-I---;Dn.-0-就-=>Z國----1

您W學(xué)，.卷%,湎&AC：&

【答案】B

【解析】試題分析：把AB當(dāng)作已知數(shù)求出AC,求出BC,再分別求出各個(gè)比值，根據(jù)結(jié)果判斷即可.

AC2=BC*AB,

AC2-BC?AB=O,

AC2-(AB-AC)AB=O,

AC2+AB?AC-AB2=0,

22

A--AB±JAB-4x1x(-AB)

2x1

???邊長為正值，

/.AC=T+括AB,BC=AB-AC=,

22

.AC_-1+A/5_V5-1

??--

AB22

-1+百

AC2-1+下1+括CB2

BC~3-75-3-75-2，就-1+?-2

2

即選項(xiàng)A、C、D錯誤，只有選項(xiàng)B正確；

故選B.

考點(diǎn)：黃金分割.

【典例24].點(diǎn)尸是線段的黃金分割點(diǎn)，且AP＞尸3,則下列等式不成立的是()

.PB75-10APA/5-I

AP22

C.AP2=ABBPD.AB1=AP-+PB1

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞尸則二竺="=心二即可.

APAB2

【解析】???點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且

.PB_AP75-1

"^P~AB2

?*-AP2=PBAB

:.A、B、C等式成立，D等式不成立

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金比例的公式.

題型10：黃金分割的幾何應(yīng)用

【典例25].如圖，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E,連接BE,延長DA至兄使得EF=BE,

以"為邊作正方形AFGH,則點(diǎn)H即是線段AB的黃金分割點(diǎn).若記矩形小”的面積為既，正方形AFG”

的面積為邑，則S]與邑的大小關(guān)系是()

A.5t>52B.5]<S2C.S\=S,D.不能確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、黃金分割點(diǎn)等知識點(diǎn)，利用黃金分割點(diǎn)的定義得到

AH?=府.AS是解答本題的關(guān)鍵.先根據(jù)//是A3的黃金分割點(diǎn)求出4由=3//.48，得出

2

S2=AH,S1=BHBC=BHAB.

【解析】解：??.點(diǎn)”即是線段回的黃金分割點(diǎn)，

AH?=BH?AB，

2

S2=AH,Sl=BHBC=BHAB,

S1=S?.

故選：c.

【典例26].新定義:兩邊之比等于黃金比的矩形叫做黃金矩形，如圖，矩形ABCD是黃金矩形（）,

點(diǎn)E、P分別在邊AD、BC±,將矩形沿直線E尸折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在CD邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為

BF

A:,過點(diǎn)￡作EG,3c于點(diǎn)G,當(dāng)矩形A5GE也是黃金矩形（AE<AB）時(shí)，則二二=（）

亞-1

C.3-亞D.5-275

2

【答案】D

【分析】本題考查黃金比，矩形與折疊，勾股定理.

連接2Z，根據(jù)黃金矩形的定義設(shè)CO=AB=（石-l）a,AD=BC=2a,AE=AB=（3-,證明

RtA'B'E^Rt。四（m）得到2'。=4石=（3-司。，從而收=。-8'。=僅逐一4）“，設(shè)BF=B'F=x,

則

CF=BC—BF=2a—x,在RtAB'CF中，根據(jù)QC?+C尸=2爐構(gòu)造方程，求解得至lj2F=（10-4君）。，從

（10-4A/5）<7

而變==5-2A/5?

BC2a

【解析】連接BZ,

BGFC

???矩形ABC。是黃金矩形，AB<BC,任二L,

BC2

CD=AB=^5/5—1j<2,AD=BC=2a,

\?矩形ABGE是黃金矩形，AE<AB,

.AE_A/5-1

??-----------,

AB2

AE=J^-AB=^a=（3-yf5^a，

四邊形是四邊形ABFE翻折得到，

/.A'E=AE=[3-y/5）a,ZE4B=NE4B=90°,

DE=A￡>-AE=2fl-（3-V5）?=（A/5-l）?,

DE=AB=A!B',

??,在矩形A?CD中，?D90?,

又B，E=EB，

：.RtAB*RtDEB'（HL）,

：.B，D=A，E=（3-#）a,

：.gC=CO-B7）=（若-l）a-（3-君”=修遂-4）a,

設(shè)BF=B'F=x,貝ij

CF=BC—BF=2a-x,

,:在RtAB'CF中，BrC2+CF2=BfF2,

??—4）Q]+（2Q—X）=x

解得：元=(10-4A國a,

2尸=(10-4⑹a,

故選：D

【典例27］.如果一個(gè)等腰三角形的頂角為36。，那么可求其底邊與腰之比等于在二1,我們把這樣的等腰

2

三角形稱為黃金三角形.如圖，在一ABC中，AB^AC=1,ZA=36°,..A?C看作第一個(gè)黃金三角形;作—ABC

的平分線3。，交AC于點(diǎn)△3CD看作第二個(gè)黃金三角形；作N3CD的平分線CE,交BD于點(diǎn)E,..CDE

看作第三個(gè)黃金三角形……以此類推，第2024個(gè)黃金三角形的腰長是（）

【答案】A

【分析】本題考查了黃金三角形，規(guī)律型等知識;

由黃金三角形的定義得=同理求出0）=（與=［與,可得第1個(gè)黃

金三角形的腰長為AB=AC=1,第2個(gè)黃金三角形的腰長是與1，第3個(gè)黃金三角形的腰長是［與^，

第4個(gè)黃金三角形的腰長是［告口,得出規(guī)律第〃個(gè)黃金三角形的腰長是［存,即可得出答案.

【解析】解：：ABC是第1個(gè)黃金三角形，第1個(gè)黃金三角形的腰長為他=AC=1,

.BC75-1

??-------,

AB2

^=Jhl=Jhl,

BC22AB

???△5CD是第2個(gè)黃金三角形，

???0=史匚，第2個(gè)黃金三角形的腰長是苴二1,

BC22

,CD*

qCDE是第3個(gè)黃金三角形,

:H第3個(gè)黃金三角形的腰長是

DE#CD=

.?.第4個(gè)黃金三角形的腰長是

，第〃個(gè)黃金三角形的腰長是

第2024個(gè)黃金三角形的腰長是

故選：A.

【典例28].如圖1,點(diǎn)尸將線段"分成一條較小線段釬和一條較大線段研如果左而，那么稱點(diǎn)

設(shè)絲=理

尸為線段AB的黃金分割點(diǎn),=k,則?就是黃金比,并且汰a0.618.

BPAB

APB

圖1

(1)以圖1中的AP為底，3尸為腰得到等腰ZWB(如圖2),等腰/WB即為黃金三角形，黃金三角形的定

義為：滿足之第=泮藏。0618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：；

腰底+腰----

(2)如圖1,設(shè)AB=1,請你說明為什么人約為0.618；

(3)由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線/將一個(gè)面積為

S的圖形分成面積為加和面積為邑的兩部分(設(shè)'<$2),如果3=去，那么稱直線/為該圖形的黃金分割

J,O

線.(如圖3),點(diǎn)尸是線段的黃金分割點(diǎn)，那么直線CP是aABC的黃金分割線嗎？請說明理由;

(4)圖3中的一MC的黃金分割線有幾條？

【答案】（1）滿足電=王之。0.618的矩形是黃金矩形

長長+寬

（2）見解析

（3）直線CP是ABC的黃金分割線，理由見解析

（4）無數(shù)條

【分析】（1）仿照題意進(jìn)行定義即可;

（2）（3）根據(jù)線段黃金分割點(diǎn)的概念和三角形的面積公式進(jìn)行分析；

（4）根據(jù)（2）中的結(jié)論，得到這樣的直線有無數(shù)條.

【解析】（1）解：由題意得，滿足芟=隹%。0.618的矩形是黃金矩形,

故答案為：滿足卷0.618的矩形是黃金矩形；

⑵解：???金殷M

BPAB

：.BP=kAB=k,

：,AP=AB-BP=1-k,

.l-k小

k

：.k2+k-l=0,

解得k=—―-?0.618（負(fù)值舍去）；

2

（3）解：直線C尸是,.ABC的黃金分割線，理由如下：

???點(diǎn)尸是線段的黃金分割點(diǎn),

.AP_BP

??麗一筋’

設(shè)4.ABC的邊AB上的高為九則

O-APXhAps-BPXhBnPp

SAAPC=2=絲S^BPC=2=

BPAB

,△BPC-BPxhS^BC-ABxh

22

?,?直線CP是ABC的黃金分割線.

（4）解：由（2）知，在3C邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q,則A。也是黃金分割線，設(shè)AQ與CP交于點(diǎn)

W,則過點(diǎn)W的直線均是&ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割圖形，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

y=>

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，若點(diǎn)。是線段的黃金分割點(diǎn)（AD>BD）,AB=6,則的長是（）

aJ?

AI）H

A.3B.3A/5-1C.9-375D.3君-3

【答案】D

【分析】本題主要考查了黃金分割.根據(jù)黃金分割的定義可得A。=避二lx6,即可求解.

2

【解析】解：?.?點(diǎn)。是線段的黃金分割點(diǎn)（AB=6,

/.4D=^^x6=3石-3.

2

故選：D

2.已知點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（AP<P5）,則依:AB的值為（）

A3-A/5pA/5—1廠1+^5「3—A/5

A.---------n.-------c.--------D.----------

2224

【答案】B

【分析】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵，其中二lag.根據(jù)

2

黃金比是墾1求出針的長，即可得出答案.

2

【解析】解：??,點(diǎn)尸是線段A3的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（"<心）,

?"”血

.PBA/5-I

??---------

AB2

故選：B.

3.如果點(diǎn)尸把線段分割成針和兩段，下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成點(diǎn)P為線段黃金分割點(diǎn)的是（）

A.AB=4,AP^y/5+2B.AB=4,AP=亞-2

C.AB=2,AP=A/5+1D.AB=2,AP=V5-1

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可.

【解析】：點(diǎn)P把線段分割成AP和BP（AP>B尸）兩段,

APBPAPAB-AP

：.——=——，即nn——=-------,

ABAPABAP

.APV5-1

??----=--------，

AB2

A、VAB=4,AP=y/5+2,

：.也=縣2坐史故A項(xiàng)錯誤；

AB42

B、VAB=4,APf-2,

.?.絲=避二。且二1,故B項(xiàng)錯誤；

AB42

C、VAB=2,AP=A/5+1,

.?.”=縣1》吏二1,故c項(xiàng)錯誤；

AB22

D、VAB^2,AP=>/5-l,

，絲=避二故D項(xiàng)正確；

AB2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與

較大的比值，則這個(gè)比值即為黃金分割，記住定義是解題的關(guān)鍵.

4.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,則下列各式不正確的是（）

A.AP：BP=AB：APB.AP=^^~AB

2

C.BP=^^-ABD.AP-0.618AB

2

【答案】C

【分析】直接根據(jù)黃金分割的概念排除選項(xiàng)即可.

【解析】由題意得：

AP：BP=AB：AP,故A正確；

AP=^^AB,故B正確；

2

AP=^^-AB

2

■■BP=AB-AP=AB,故C錯誤；

2

?名2.236,AP=AB?0.618AB,故D正確.

2

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割點(diǎn)，熟記黃金分割點(diǎn)的概念是解題的關(guān)鍵.

5.黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，是因?yàn)樗先藗兊囊曈X習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、

平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品.在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個(gè)有著“最美比例”的鸚鵡螺，點(diǎn)8

是線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB>BC,若AC=16cm,那么A3的長為（）cm

A.24-875B.48-166C.875-8D.1675-16

【答案】C

【分析】本題考查了黃金分割的