第05練平行四邊形

&警［1積累5運(yùn)_用

1.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等。

3.平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等。

4.平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。

5.平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分。

6.平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7.平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

8.平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

9.平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

說明：（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行四邊形的基礎(chǔ)。同時(shí)又是證明線段相等，角相

等或兩條直線互相平行的重要方法。

（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定方法。

1.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，下列條件不能判定四邊形ABC。為平行四邊形

的是（）

A.AB//CD,AD//BC

C.AD=BC,AB//CDD.AB=CD,AD=BC

2.下列條件中不能判定一定是平行四邊形的有（）

A.一組對角相等，一組鄰角互補(bǔ)

B.一組對邊平行，另一組對邊相等

C.兩組對邊相等

D.一組對邊平行，且一條對角線平分另一條對角線

3.已知四邊形A8CD中，AB//CD,添加下列條件仍不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AD//BCD.NC+ND=180。

4.如圖，下列條件中不能判定四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

DC

AZZB7

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,AD//BC

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

5.用反證法證明“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角為直角”時(shí)，應(yīng)先作出的假設(shè)是（）

A.一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角為銳角B.一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角為鈍角

C.一個(gè)三角形中能有兩個(gè)角為直角D.一個(gè)三角形中能有兩個(gè)角為銳角

6.如圖，點(diǎn)E為口ABC。的邊BC上的一點(diǎn)，連接AE,滿足AE=EC,若NB=72。,貝

的度數(shù)為（）

A.80°B.81°C.82°D.83°

7.如圖，口ABCD的對角線AC與5。相交于點(diǎn)O,AB1AC,若AB=4,AC=6,則8。的長為（）

A.5B.8C.10D.11

8.如圖，四邊形ABCD的對角線AC,8。交于點(diǎn)O,則不能判斷四邊形A8CQ是平行四邊形的是（

AD

ZABD=ZBDC,OA=OCB.ZABC=ZADC,AD//BC

ZABC=ZADC,AB=CDD./ABD=/BDC,ZBAD=ZDCB

9.在面積為15的平行四邊形ABC。中，過點(diǎn)A作4E垂直于直線BC于點(diǎn)E,作AF垂直于直線C。于點(diǎn)

F,若A8=5,BC=6,則CE+CT的值為.

10.在DABCD中，周長為20cm,對角線AC交于點(diǎn)O,?。鉆比AOBC的周長多4,則邊.

11.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若△ABC沿射線8c方向平移x個(gè)單位得到△OEF,頂點(diǎn)A,B,

C分別與。，E,尸對應(yīng)，若以點(diǎn)A,D,￡為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則尤的值是.

12.如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，點(diǎn)E在AC上，AD=AE=BE,ZD=108°,則Zfi4c的度

數(shù)是_____________

能力提升練

13.如圖，已知在口ABC。中，ZB=60°,AE±BC,AFLCD,垂足分別為點(diǎn)E、F.

⑴求NEAF的度數(shù)；

(2)如果AB=6,求線段AE的長.

14.如圖，點(diǎn)、B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB〃ED,AC〃FD,AD交BE于點(diǎn)、O.

(1)求證：AD與m互相平分；

(2)若43，4。,4。=3尸,班=8,尸。=2,求AB的長.

A

15.如圖，在nABCZ)中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與QC的延長線交于點(diǎn)孔

⑴求證：CF=CD；

⑵若">=13,AF=10,AD=2AB,連接。E,求QE的長.

(1汝口圖1,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,若3C=4,求8。的長；

⑵點(diǎn)E是直線8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線BE交直線AC于點(diǎn)過點(diǎn)A作交直線8于點(diǎn)E垂足

為點(diǎn)連接FH.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是邊C。上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、。重合）時(shí)，判斷線段8H、ARFH的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

②當(dāng)點(diǎn)E在邊。C的延長線上時(shí)，若NBEC>45。，判斷線段2反、AF,9之間的數(shù)量關(guān)系，在圖3中畫

出圖形并直接寫出結(jié)論，不需證明.

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第05練平行四邊形

積累運(yùn)用

1.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等。

3.平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等。

4.平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。

5.平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分。

6.平行四邊形判定定理1一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7.平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

8.平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

9.平行四邊形判定定理4兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

說明：（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行四邊形的基礎(chǔ)。同時(shí)又是證明線段相等，角相

等或兩條直線互相平行的重要方法。

（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定方法。

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，下列條件不能判定四邊形為平行四邊形

的是（

A.AB//CD,AD//BC

C.AD=BC,AB//CD

【答案】C

【解析】解：A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABC。為平行四邊形，故此選

項(xiàng)不合題意；B、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCO為平行四邊形，故此選項(xiàng)

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不合題意；C、不能判定四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)兩組對邊分別相等的四

邊形是平行四邊形可判定四邊形ABC。為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C.

2.下列條件中不能判定一定是平行四邊形的有（）

A.一組對角相等，一組鄰角互補(bǔ)

B.一組對邊平行，另一組對邊相等

C.兩組對邊相等

D.一組對邊平行，且一條對角線平分另一條對角線

【答案】B

【解析】解：A、能用兩組對角相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；B、不能判定平行四邊形，如

等腰梯形；C、能用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；D、能用兩組對邊分別平行的四

邊形是平行四邊形判定平行四邊形；故選：B.

3.已知四邊形A3。中，AB//CD,添加下列條件仍不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AD//BCD.ZC+Z￡>=180°

【答案】B

【解析】解：A>-：AB=CD,ABI/CD,四邊形ABC。是平行四邊形，不符合題意；B>AD=BC,AB//CD,

一組對邊平行，另一組對邊相等不能推出四邊形ABC。是平行四邊形，符合題意；C>ABI/CD,ADIIBC,

兩組對邊平行，四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；D、?.?"+”=180。，得出AD//BC,根據(jù)AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；故選：B.

4.如圖，下列條件中不能判定四邊形48。是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,AD//BC

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

【答案】D

【解析】解：A,,JAB//CD,AB=CD,

四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B,,：AB//CD,AD//BC,

四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；C、-：AB=CD,AD=BC,

四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、?.?ABaC。，AD=BC,不能得出四邊形ABC。是平

行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D.

5.用反證法證明“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角為直角”時(shí)，應(yīng)先作出的假設(shè)是（）

A.一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角為銳角B.一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角為鈍角

C.一個(gè)三角形中能有兩個(gè)角為直角D.一個(gè)三角形中能有兩個(gè)角為銳角

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【答案】C

【解析】解：用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”第一步應(yīng)假設(shè)一個(gè)三角形中能有兩個(gè)角

為直角.故選：C.

6.如圖，點(diǎn)E為口ABC。的邊BC上的一點(diǎn)，連接AE,滿足AE=EC,若/B=72°,則NACO

的度數(shù)為（）

A.80°B.81°C.82°D.83°

【答案】B

【解析】解：；四邊形ABC。是平行四邊形，

.,.ZBC￡>=180°-ZB=180o-72°=108o,

,:AB=BE,

ZACE=-ZAEB=2T,

2

oo

ZACD=ZJBCD-ZACE=108-27=81°,

故選：B.

7.如圖，DABCD的對角線AC與80相交于點(diǎn)O,ABVAC,若A3=4,AC=6,則8￡）的長為（）

【答案】C

【解析】解：：nABCD,AB=4,AC=6,

\OB=OD,OA=OC=3,

???ABLAC,

\BO=yjAB2+AO2=5,

\80=203=10,

故選C

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8.如圖，四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點(diǎn)、0,則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是()

A.NABD=/BDC,OA=OCB.ZABC=ZADCfAD//BC

C.ZABC=ZADC,AB=CDD.ZABD=ZBDC,ZBAD=ZDCB

【答案】C

【解析】解：vZABD=ZBDCfOA=OC,

又/AOB=/COD,

：.AAOB^/\COD(AAS),

：.DO=BO,

???四邊形A5CO是平行四邊形，故A選項(xiàng)不合題意；,?工。〃3。，

,ZABC+ZBA￡)=180°,

?IZABC=ZADC,

：.ZADC+ZBAD=1SO°,

：.AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故B選項(xiàng)不合題意；VZABD=ZBDCfZBAD=ZDCB,

：./ADB=/CBD,

J.AD//CB,

ZABD=ZBDCf

：.AB//CDf

???四邊形A5co是平行四邊形，故D選項(xiàng)不合題意；C、ZABC=ZADCfA3=CD不能判斷四邊形A5CD

是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：C.

9.在面積為15的平行四邊形ABC。中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線3C于點(diǎn)區(qū)作Ab垂直于直線C0于點(diǎn)

F,若AB=5,BC=6,貝UCE+Cb的值為.

【答案】11+M或1+走

22

【解析】解：；四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD=5,BC=AD=6f

①如圖：

11/24

求出AE=2,AF=3,

2

在RtAABE和RtAA。/中，由勾股定理得：AB^A^+BE2,

把A8=5,代入求出3￡=拽，

22

同理。尸=3若，

；.CE=6+乎，CF=36+5,

即CE+CF=11+11^,

2

②如圖:

同理。F=36,由①知：CE=6-當(dāng),5=36-5,

：.CE+CF=l+^~,

2

故答案為：ii+U且或i+@.

22

10.在DABCD中，周長為20cm,對角線AC交于點(diǎn)O,白。鉆比AOBC的周長多4,則邊AB=

【答案】7cm

【解析】解：:△OAB比AOBC的周長多4,

{OA+AB+OB)-(OC+OB+BC)=4,

又平行四邊形的對角線互相平分，

：.OA=OC,

：.AB-BC=4,即BC=AB-4,

又口ABCD的周長為20CMJ,

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：.1(AB+BC)=20,

即AB+AB-4=IO,

'.AB=1cm,

故答案為7aw.

11.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若△ABC沿射線8C方向平移x個(gè)單位得到△OEF,頂點(diǎn)A,B,

C分別與。，E,尸對應(yīng)，若以點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則尤的值是.

【答案】6或§25或5

O

【解析】解：分3種情況討論：

①當(dāng)￡>E=AE時(shí)，

作垂足為M,ANLBC于N,則四邊形ANEM是平行四邊形，

：.AM=NE,AM=^AD^^x,CN=』BC=3,

.,.齊+呆=6-(3--|-x),

x=6；②當(dāng)AD=AE=x時(shí),

:將△ABC沿射線BC方向平移x個(gè)單位得到△DEF,

，四邊形ABED是平行四邊形，

.'.BE=AD=xf

:?NE=x-3,

VAA^+^VE^AE2,

/.42+(X-3)2=%2,

?25

??X二一.

6

③。E=D4時(shí)，AE=AB=5

故答案為：6或二或5.

6

12.如圖，AC是平行四邊形ABC。的對角線，點(diǎn)石在AC上，AD=AE=BE,ZD=108°,則ZBAC的度

數(shù)是_____________

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DtC

￡

【答案】24。

【解析】解：???四邊形A5C。是平行四邊形，

ZABC=Z￡>=108°,AD=BCf

'：AD=AE=BEf

:?BC=AE=BE,

:?/EAB=/EBA,/BEC=/ECB,

丁ZBEC=ZEAB+ZEBA=2ZEAB,

：.ZACB=2ZCAB,

O

：.ZCAB+ZACB=3ZCAB=\S0-ZABC=1S00-10S°9

：.ZBAC=24°,

故答案為：24°.

13.如圖，已知在口ABC。中，ZB=60°,AELBC,AFXCD,垂足分別為點(diǎn)E、F.

(1)求NEA尸的度數(shù)；

(2)如果A8=6,求線段AE的長.

【答案】(1)60°；(2)373

【分析】(1)解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,

AZB+ZC=180°,

VZB=60°,

.\ZC=120°,

VAEXBC,AFLCD,

：.ZAEC=ZAFC=90°,

在四邊形AECF中，ZEAF+ZAEC+ZC+ZAFC=360°，

14/24

：.ZEAF=60°.

⑵解:在放2kA5E中，ZAEB=90°,AB=6f

VZB=60°,

：.ZBAE=30°,

：.BE=-AB=3,

2

由勾股定理，得

AE=4AB2-BE2=^-32=3^

AE=3^?

14.如圖，點(diǎn)3、尸、a后在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB〃ED,AC〃FD,AD交BE于點(diǎn)、O.

(1)求證：A。與班1互相平分；

(2)若A5，AC,AC=5尸,3￡=8,尸。=2,求的長.

【分析】（1）證明：如圖，連接AE,5O,

:.BC=EFf

AB\\DE,AC\\DF,

ZABC=NDEF,ZACB=NDFE,

ZABC=/DEF

在與△￡)￡尸中，＜BC=斯

ZACB=ZDFE

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:.^ABC^^DEF(ASA)9

:.AB=DE，

又?.?AB[[DE,

，四邊形AB。石是平行四邊形，

二.AD與3月互相平分.

(2)解：?.?5石=8,產(chǎn)C=2,

:.BF+CE=BE-FC=6,

?；BF=CE,

：.BF=CE=3,

，BC=BF+FC=3+2=5,

?.?AC=BF,

AC=3,

?/AB±AC,

:.AB=^BC2-AC2=V52-32=4-

15.如圖，在DABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與OC的延長線交于點(diǎn)?

⑴求證：CF=CD；

⑵若AD=13,AF=10,AD=2AB,連接QE,求。E的長.

【答案】⑴見解析；(2)12

【分析】(1)證明：：四邊形ABC。是平行四邊形,

C.AB//CD,AB=CD,

,:點(diǎn)、F為DC的延長線上的一點(diǎn)，

J.AB//DF,

：.ZBAE=ZCFE,ZECF=ZEBA,

為8C中點(diǎn)，

：.BE=CE,

則在△84后和4CFE中，

'NBAE=NCFE

<NECF=NEBA,

BE=CE

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AABAEVACFE(AAS),

：.AB=CFf

：.CF=CD；(2)由(1)得：CF=CD,△BAE^ACFE,

：.AE=EFfDF=2CD,

9

：AB=CD9

：.DF=2AB,

9：AD=2AB,

：.AD=DFf

U：AE=EF,

：.DE±AF

在RtAADR中AD=13,AE^-AF^105,

22

...DE=A/A02-AE2=A/132-52=12

墟」______

等|拓展練

(1)如圖1,對角線AC、2D交于點(diǎn)。，若3C=4,求8。的長；

(2)點(diǎn)E是直線C￡)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線8E交直線AC于點(diǎn)”，過點(diǎn)A作AFL3E交直線C￡)于點(diǎn)F,垂足

為點(diǎn)M,連接PH.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是邊C。上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C、。重合)時(shí)，判斷線段8H、ARFH的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

②當(dāng)點(diǎn)E在邊。C的延長線上時(shí)，若NBEC>45。,判斷線段8反、AF,FH之間的數(shù)量關(guān)系，在圖3中畫

17/24

出圖形并直接寫出結(jié)論，不需證明.

【答案】(1)3。=46

(2)@BH=AF+FH,證明見解析；②畫圖見解析；當(dāng)90°vZBEC＜180°時(shí)，有AF=BH+FH；當(dāng)

45。＜/88。＜90。時(shí)，有/H=3H+AE當(dāng)ZBEC=90°時(shí)，點(diǎn)尸不存在

【分析】⑴解：???5處

：.0C=-AC,BD=2BO,

2

'：AC±BCfAC=BC,3c=4,

OC=-BC=-x4=2,

22

在肋△BCO中，

BO=^BC1+OC1=V42+22=2A/5，

:?BD=48(2)?BH=AF+FHf

證明：延長Ab和5C交于點(diǎn)G,

VACXBC,AFLBE,

：.ZHBC+ZBHC=ZAHM+/HAF=90°,

■:/BHC=ZAHM,

：./HBC=/HAF,

在△BCH和AACG中，

ZHBC=ZCAG

<BC=AC,

/BCA=/ACG

：.△8CH2△ACG(ASA),

:.BH=AG,HC=CG,

在4^CH和△尸CG中，

HC=CG

<ZHCF=ZGCF,

CF=CF

：.△尸CH2AFCG(SAS),

：.HF=FG,

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：.BH=AG=AF+FG=AF+FH,

②當(dāng)90°vZBECvl80°時(shí)，有AF=BH+FH,如圖，

理由：延長尸“、5。相交于G,連接AG,設(shè)A尸交5c于N,

?.*AC±BC,

???ZHBC+ZBHC=90°f

?:AM±BH,

：.ZHAM+ZBHC=90°f

；.NHBC=NHAM,即NHBC二NCAN,

在45cH和△ACN中，

ZHBC=ZCAN

<BC=AC,

ZBCH=ZACN

：.△5CH之AACMASA),

:.CH=CN,ZBHC=ZANC,

VAC±BC,AC=BC,

：.ZABC=ZBAC=45°f

'：uABC